Guía de verano Mecánica 3º Medios Introducción. Concepto de dirección

Transcripción

1 Guía de verano Mecánica 3º Medios 17 Introducción Esta guía servirá coo un repaso, de las ideas asociadas con una raa de las ateáticas u iportantes para el físico. El algebra vectorial es iportante porque perite escribir en fora conveniente abreviada algunas expresiones u coplicadas. Por ejeplo, en algebra eleental la ecuación 3x 6 es una notación abreviada para todos los posibles pares de valores x e que satisfagan esta ecuación. Es tabién posible describir esta isa relación de otra anera: ostrando un gráfico de esta ecuación coo el de la figura 1. Abos ejeplos son fácilente coprensibles para cualquier estudiante que haa estudiado algebra geoetría analítica, porque puede coprender ka notación abreviada. En la isa fora, el algebra vectorial es fácilente coprensible, una vez que la notación ha sido entendida. Concepto de dirección Fig. 1 Cuando teneos una línea recta, podeos overnos a lo largo de ella en dos sentidos opuestos, dichos sentidos se distinguen asignando a cada una de ellos un signo, positivo o negativo. Una vez que el sentido positivo ha sido deterinado, decios que la línea esta orientada la llaaos un eje. Los ejes coordenados X e Y son líneas orientadas en las cuales los sentidos positivos se han indicado en la figura. El sentido positivo se indica usualente por una flecha. Una línea orientada define la dirección. Las líneas paralelas orientadas en el iso sentido definen la isa dirección figura (a), pero si tienen diferentes orientaciones definen direcciones opuestas figura (b)

2 Ejes coordenados orientadores Direcciones paralelas antiparalelas Fig. Las direcciones en un plano se deterinan por un ángulo, que es el ángulo entre una dirección de referencia la dirección que deseaos indicar, edido e dirección contraria al oviiento de las agujas del reloj figura 3. Las direcciones opuestas corresponden a los ángulos 18 o Fig. 3 En un plano, direcciones opuestas están definidas por los ángulos Escalares Vectores Muchas cantidades físicas quedan copletaente deterinadas por su agnitud, expresada en alguna unidad conveniente. Dichas cantidades se llaan escalares. Por ejeplo, para especificar el voluen de un cuerpo es necesario solaente indicar cuantos etros o pies cúbicos ocupa. Para conocer una teperatura es suficiente leer un teróetro convenienteente colocado. El tiepo, la asa, la carga la energía son tabién cantidades escalares Otras agnitudes físicas requieren para su copleta deterinación, que se añada una dirección a su agnitud. Dichas cantidades las llaaos vectores. El caso ás sencillo es el desplazaiento. El desplazaiento de un cuerpo se deterina por la distancia efectiva que se ha ovido la dirección en la cual se ha ovido. Por ejeplo, si una partícula se desplaza de O a A Fig. 4, el desplazaiento queda deterinado por la distancia d 5 el ángulo 37. La velocidad es tabién una cantidad vectorial, desde que el oviiento se deterina por la rapidez del desplazaiento la dirección del desplazaiento. Análogaente la fuerza la aceleración son cantidades vectoriales.

3 Fig. 4 El desplazaiento en una cantidad vectorial Los vectores se representan gráficaente por segentos de una línea recta que tiene la isa dirección que el vector (indicada por una flecha) una longitud proporcional a la agnitud. La representación V, indica un vector (esto es agnitud ás dirección). La representación V, indica la agnitud de un vector (esto es taaño). Un vector unitario es un vector cua agnitud es uno. Un vector V paralelo al vector unitario u se puede expresar en la fora V uv El negativo de un vector es otro vector que tiene la isa agnitud pero dirección opuesta. Si dos vectores V V son paralelos entre sí, se puede escribir coo V uv ' V V uv, donde el vector unitario es el iso. De esta anera si podeos ' V escribir V V Sua de vectores: étodos geoétricos Método del triángulo Para suar dos vectores, digaos B A (es decir, para obtener A B ) con el étodo del triángulo, priero dibujaos A en una hoja de papel iliétrico usando cierta escala Fig. 5 Por ejeplo, si A es un desplazaiento en etros, una escala conveniente sería 1 c.: 1, de odo que un vector de 1c de longitud en el diagraa corresponda a 1 de desplazaiento. Coo se indica en la Fig. 6, la dirección del vector A se especifica con un ángulo A relativo a un eje de coordenadas, por lo regular el eje X. Luego, dibujaos B con su cola en la punta de A. (Por esto, el étodo tabién se conoce coo étodo de punta a cola.) El vector que va desde la cola de A hasta la punta de B será entonces el vector sua R o la resultante de los dos vectores: R A B

4 Fig. 5 Fig. 6 Si los vectores se dibujaron a escala, se podrá obtener la agnitud de R idiendo su longitud aplicando la conversión de escala. Con un enfoque gráfico así, la dirección del ángulo se ide con un transportador. Si conoceos las R agnitudes direcciones (ángulos ) de A de B, tabién podreos calcular analíticaente la agnitud la dirección de R utilizando étodos trigonoétricos. En el caso del triángulo no rectángulo de la Fig. 7, utilizaríaos las lees de los senos cósenos. (Tarea) Fig. 7 El étodo de punta a cola puede aplicarse a cualquier núero de vectores. El vector que fora la cola del prier vector a la punta del segundo es la resultante o sua de vectores. Para ás de dos vectores, se denoina étodo del polígono. La resultante del triángulo rectángulo de vectores de la Fig. 7 sería ucho ás fácil de calcular, utilizando el teorea de Pitágoras para obtener la agnitud, una función trigonoétrica inversa para obtener el ángulo de dirección. Observe que R está constituido por los coponentes x de A x son la base del étodo analítico de coponentes. B.Tales coponentes

5 Resta de vectores La resta de vectores es un caso especial de la sua: A B A B Es decir, para restar B de A suaos un B negativo a A. Un signo enos sipleente significa que el sentido del vector es opuesto al de aquel que lleva el signo ás (por ejeplo, +x x ). Lo iso es válido para los vectores con notación de negritas. El vector B tiene la isa agnitud que el vector B pero está en sentido opuesto Fig. 8. Fig. 8 Coponentes de vectores étodo analítico de coponentes Probableente el étodo analítico ás utilizado para suar varios vectores sea el étodo de coponentes. En esta guía lo usareos de fora continua, por lo que es indispensable entender bien sus fundaentos. Sua de coponentes rectangulares de vectores Coponentes rectangulares se refiere a coponentes de vectores que foran un ángulo recto ( 9 ) entre sí; por lo regular se toan en las direcciones de las coordenadas rectangulares x. Para el caso general, suponga que se suan A B dos vectores perpendiculares, coo en la Fig. 9. El ángulo recto facilita la tarea. La agnitud de C está dada por el teorea de Pitágoras: C A B La orientación de C relativa al eje x está dada por el ángulo tan 1 B A

6 Esta notación es coo se expresa una resultante en fora de agnitud-ángulo. Fig. 9 Descoposición de un vector en coponentes rectangulares; vectores unitarios La descoposición de un vector en coponentes rectangulares es en esencia el inverso de la sua de los coponentes rectangulares del vector. Dado un vector C la Fig.1 ilustra cóo puede descoponerse en coponentes vectoriales C Y en las direcciones x. Basta copletar el triángulo de vectores con coponentes x. Coo uestra el diagraa, las agnitudes, o longitudes vectoriales, de estos coponentes están dadas por C X C C Y X C cos Csen (Coponentes de vectores) El ángulo de dirección de C tabién puede expresarse en térinos de los CY coponentes, dado que tan, o C tan 1 C C Y X X (Dirección del vector a partir de las agnitudes de los coponentes) Fig. 1

7 Otra fora para expresar la agnitud dirección de un vector inclue vectores unitarios. Por ejeplo, coo se uestra en la Fig. 11, un vector A se puede escribir coo A Aa La agnitud nuérica se representa con A, a se llaa vector unitario. Es decir, su agnitud es 1, pero no tiene unidades, de odo que sipleente indica la dirección del vector. Por ejeplo, una velocidad a lo largo del eje x se escribiría v 4 x (es decir, una agnitud de 4. /s en la s dirección +x). Observe cóo en la Fig. 11 A se representaría ediante esta notación. Aunque a veces se coloca el signo enos antes de la agnitud nuérica, esta cantidad es un núero absoluto; el enos realente se refiere al vector unitario: A Aa A a Es decir, el vector unitario tiene el sentido a (opuesta a a ). Fig. 11 Podeos usar esta notación para expresar explícitaente los coponentes rectangulares de un vector. En algunos casos, podría ser ás conveniente expresar un vector general en esta fora de coponentes de vectores unitarios: C C x C Sua de vectores usando coponentes X El étodo analítico de coponentes para suar vectores iplica descoponer los vectores en coponentes rectangulares suarlos en cada eje de anera independiente. Este étodo se ilustra gráficaente en la Fig. 1 con dos vectores F1 F Las suas de los coponentes x de los vectores que se están suando son entonces iguales a los coponentes correspondientes del vector resultante. Y

8 Fig. 1 El iso principio es válido si teneos que suar tres (o ás) vectores. Podríaos obtener la resultante aplicando el étodo gráfico de punta a cola. Sin ebargo, esta técnica iplica dibujar los vectores a escala usar un transportador para edir ángulos, lo cual quizá se lleve ucho tiepo. De hecho, por lo general es ás conveniente juntar todas las colas en el origen, coo en la Fig. 13. Tapoco es necesario dibujar los vectores a escala, a que el dibujo aproxiado es sólo una auda visual para aplicar el étodo analítico. En el étodo de coponentes, descoponeos los vectores que se van a suar en sus coponentes x, suaos los coponentes respectivos, los recobinaos para obtener la resultante, que se uestra en la Fig 13. Si exainaos los coponentes x, vereos que su sua vectorial tiene la dirección x. Asiiso, la sua de los coponentes tiene la dirección. (Observeos que v está en la dirección su coponente x es cero, que un vector en la dirección x tendría coponente cero.) Si usaos la notación de los signos ás enos para indicar sentidos, escribireos los coponentes x de la resultante coo: vx vx1 vx3 v v v 1 3 Una vez calculados los valores nuéricos de los coponentes de los vectores sustituidos en estas ecuaciones, tendreos los valores de v v coo se uestra en la Fig. 13. Observeos tabién en la Fig. 13 que el ángulo direccional de la resultante se da respecto al eje x, lo iso que los de los vectores individuales de la Fig. 13. Al suar vectores por el étodo de coponentes, usareos coo referencia el eje x ás cercano, es decir, el eje x o el eje x. Esta regla evita tener que anejar ángulos aores que 9 (coo sucede cuando edios los ángulos de la fora acostubrada, en sentido contrario a las anecillas del reloj, respecto al eje x ) que usar fórulas de doble ángulo, coo cos ( 9). Esta restricción siplifica significativaente los cálculos. x

9 Ejeplo: 1.- Dada la figura calcular el vector resultante, la agnitud dirección de el.

10 Solución. Los coponentes rectangulares de los vectores se uestran en la figura. La sua de esos coponentes da, v v x x v v 4,5,77 5, s v 4,6 x 3,7 s s v ( v cos 45 1 v x1 vx vx3 x v 1 v v 3 v cos9 v cos3 ) x v sen s 9, La agnitud del vector resultante 3 s 1 45 v sen9,866 x 4,5,77 5, s v sen3 3 s 1 9, v vx v 4,6 3,7 5, 9 s s s Puesto que el coponente x es negativo el coponente es positivo, la resultante está en el segundo cuadrante, con un ángulo de s,5 tan 1 3,7 4,6 s s 39 9 Por lo tanto la dirección es Ejercicios Teneos dos vectores de desplazaiento: A con agnitud de 8. dirección de 45 por debajo del eje x, B cuas coponentes x son. 4., respectivaente. Encuentre un vector C tal que con agnitud de 6. en la dirección. A B sea igual a un vector D

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