a.- (0; 0), 3xy = 0 3 (0) (0) = 0, 0 = 0, Sí b.- (2; -4), x 2 + y = 0 (2) 2 + (-4) 2 = 0, 20 = 0, No c.- (9; 3), x - y 2 = (3) 2 = 0, 0 = 0, Si

Transcripción

1 Tabién se dice que dos núeros x = x 0 e y = y 0, satisfacen a una ecuación de la fora f (x; y), si al sustituir estos núeros en la ecuación, en lugar de las variables x e y, el prier iebro se convierte en cero. Ejeplo.- En cada caso deterineos si los puntos dados satisfacen la ecuación correspondiente a.- (0; 0), xy (0) (0), 0, Sí Muchos fenóenos pueden describirse utilizando ecuaciones lineales, que son el tipo ás siple para trabajar. Un ejeplo es el chirrido del grillo del árbol de nieve. Los naturalistas establecieron que cuando este grillo chirría, la velocidad de este sonido de N chirridos por inuto está relacionada con la teperatura del aire T en grados Fahrenheit por edio de la ecuación N =,7T - 90 Si T auenta, tabién lo hace N, lo cual significa que el grillo chirría ás rápido en clia cálido.... Geoetría nalítica Se llaa Geoetría nalítica a la parte de la geoetría donde se estudian las figuras y transforaciones geoétricas ediante ecuaciones algebraicas. El filósofo y ateático francés René Descartes, en su tratado «El Discurso del Método» publicado en 67, puso las bases para el naciiento de una nueva teoría. Este trabajo estableció una conexión entre la geoetría euclidiana y el álgebra al deostrar cóo se podía aplicar los étodos de una disciplina en la otra. Este es el fundaento de la geoetría analítica, en la que las figuras se representa ediante expresiones algebraicas. En síntesis, la Geoetría nalítica es una parte de las ateáticas que, entre otras cosas, se ocupa de resolver algebraicaente los probleas de la geoetría. En tal sentido es oportuno saber que los Probleas Fundaentales de la Geoetría nalítica son dos ro. Se conoce la ecuación y se pide construir su gráfica. do. Se conoce la gráfica y se pide deterinar su ecuación.... Ecuación y gráfica de una línea... Ecuación de dos variables Una igualdad de la fora f (x; y), se llaa ecuación de dos variables x e y. Ejeplo.- Las siguientes son ecuaciones de dos variables xy ; x y 0 ; x + y - x + y ; x + y - 6x + y + ; (x - ) + y - b.- (; -), x + y () + (-), 0, No c.- (9; ), x - y 9 - (), 0, Si... Ecuación de una línea Se llaa ecuación de una línea dada (en el sistea de coordenadas asignado) a una ecuación de dos variables que satisfacen a las coordenadas de cualquier punto situado en la línea y que no satisfacen a las coordenadas de ningún otro punto situado fuera de ella. Ejeplo.- Identifiqueos la ecuación de la línea que contiene a los puntos (-; ), (; ) y (-; ) a.- (- ; ) pertenece a x + y (-) + b.- ( ; ) pertenece a x - y () - c.- (- ; ) pertenece a x + y - +..C. Gráfica de una ecuación en La gráfica de una ecuación en, llaada lugar geoétrico, es el conjunto de todos los puntos del plano cartesiano que verifican deterinadas condiciones geoétricas y cuyas coordenadas corresponden a núeros que satisfacen dicha ecuación. Ejeplo.- Construyaos la gráfica de la ecuación x - y. Haceos y = x, y nos ayudaos de una tabla para deterinar algunos puntos de referencia...d. Intersección de líneas f ( x; y) 0 Si se han dado dos líneas f (x; y) y g (x; y), la solución coún del sistea g( x; y) 0 proporciona todos los puntos de su intersección. Ejeplo.- Deterineos los puntos de intersección de las líneas x - y, y x + y Resolveos el sistea de ecuaciones x + y... () x - y... () Suaos (I) + (II) 5x x. Reeplazando en (I) (0) + y y Luego el único punto de intersección de estas líneas es (0 ; 0) 578 Trigonoetría Und. Geoetría nalítica 579

2 ... Pendiente de una recta... Definición Sean (x ; y ) y (x ; y ) dos puntos diferentes sobre una recta no vertical, la pendiente de esta recta es y y Cabio Vertical x x Cabio Horizontal Mediante la definición de pendiente podeos edir la inclinación de una recta L, confore nos oveos a lo largo de ella.... Interpretación trigonoétrica de la pendiente Si x = x x y y = y y representan los cabios en el eje x e y respectivaente, entonces la pendiente de la recta que contiene a los puntos (x ; y ) y (x ; y ) viene dada por la tangente del ángulo de inclinación que define la recta con el seieje positivo de las abscisas. En la figura se ha construido un triángulo rectángulo cuya hipotenusa está contenida en la recta que pasa por los puntos (x ; y ) y (x ; y ). Luego, para deterinar tan aplicaos la definición de R.T y coo y tan x y x concluios que tan Obsérvese que el ángulo de inclinación de la recta se ide en sentido antihorario desde el seieje positivo de «x» hasta la recta. En cuanto al valor de, se debe cuplir que 0º 80º. Ejeplo.- Calculeos los ángulos de inclinación de las rectas de los ejeplos anteriores. Ejeplo.- Deterineos la pendiente de la recta que pasa por (; 5) y (5; ). partir de los datos asuios que (x ; y ) = (; 5) y (x ; y ) = (5; ) plicando la fórula de la pendiente, teneos La razón significa que por cada unidad de auento en x hay un auento de unidades en y. Debido a este auento, la recta se eleva cuando la recorreos de izquierda a derecha. En el er caso, se tiene = tan arc tan 7,56º En el do caso, se tiene = - tan - arc tan(-) 6,56º..C. Tipos de pendientes La inclinación de una recta «L» la deterinaos recorriéndola de izquierda a derecha, por lo tanto, la pendiente de la recta nos da una inforación de la inclinación que debe ser interpretada en ese sentido. Un análisis de la pendiente deterinada por su fórula trigonoétrica nos perite concluir que existen cuatro casos específicos Ejeplo.- Deterineos la pendiente de la recta que pasa por (0; ) y (; -). Haceos (x ; y ) = (0; ) y (x ; y ) = (; -) plicando la fórula de la pendiente 0 La razón - significa que por cada unidad de auento en «x» hay una disinución de unidades en «y». Debido a esta disinución, la recta desciende cuando la recorreos de izquierda a derecha. 580 Trigonoetría Und. Geoetría nalítica 58

3 ... Ecuación de la recta... Fora Punto - Pendiente Si conoceos un punto (x ; y ) y la pendiente de una recta, la ecuación, cuya gráfica sea esa recta, es y y x x y - y = ( x - x ), donde P(x; y) es un punto genérico de la recta. Ejeplo.- Deterineos la ecuación de la recta L que pasa por el punto (5; 9) y cuya pendiente es -. Haciendo (x ; y ) = (5; 9), y reconociendo que =, teneos y - 9 = - (x -5) y - 9 = -x + 0 y = -x Fora Punto - Punto Si conoceos los puntos (x ; y ) y (x ; y ), la ecuación de la recta L que los contiene está dada por..d. Ecuación Siétrica de la Recta Si conoceos los puntos (0; b) y (a; 0) donde la recta L intersecta al eje «y» y «x» respectivaente, entonces la ecuación de ésta viene dada por x a y b Ejeplo.- Calculaos las intersecciones x e y de la recta L cuya ecuación es y = x + 5 Despejando se tiene -x + y = 5 Dividiendo entre 5 x y 5 5 Transforando x y x y 5/ 5 a b Finalente, por coparación a = -5/ b = 5 Observaciones Ecuación Siétrica o Segentaria ra.- Toda recta vertical que intersecta al eje «x» en a, se representa por la ecuación x = a. da.- Toda recta horizontal que intersecta al eje «y» en b, se representa por la ecuación y = b. y - y y y - x - x x - x, donde P(x; y) es un punto genérico de la recta. Ejeplo.- Deterineos la ecuación de la recta L que pasa por los puntos (-; -5) y (; 0) Haciendo (x ; y ) = (-; -5) y (x ; y ) = (; 0), aplicaos la relación dada y teneos y ( 5) (0) ( 5) x ( ) () ( ) y = x +..C. Fora Pendiente - Ordenada al origen Si conoceos el punto (0; b) donde la recta L intersecta al eje «y», a b se llaa «intersección y», y la pendiente de ésta, su ecuación está dada por y - b = (x - 0) y = x + b Ejeplo.- Deterineos la pendiente e intersección y de la recta cuya ecuación es y = 5( - x) Efectuando operaciones en la ecuación de la recta tendreos y - 5x y = -5x + 0 Y por coparación reconoceos = -5 b..e. Ecuación General de la Recta El análisis que nos ha precedido perite deostrar que toda línea recta, en el plano cartesiano, es la gráfica de una ecuación de la fora x + y + C, de pendiente donde,, C son constantes, siendo y no nulas a la vez. - Ejeplo.- Deterineos la ecuación general de la recta cuya fora pendiente-ordenada al origen es y x 5 Transponiendo todos los térinos al er iebro 0 5 x y Multiplicando por 5 x + 5y - 5 Esta es la ecuación general con = ; = 5 y C = Trigonoetría Und. Geoetría nalítica 58

4 ..5. Paraleliso entre dos rectas..5. Definición Dos rectas en el plano son paralelas si no se intersectan. Es iportante recordar aquí el siguiente postulado «Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una paralela»..5. Condición de paraleliso Dos rectas L y L, de pendientes y, son paralelas si se cuple que tan tan Esta últia relación revela que dos rectas paralelas presentan el iso ángulo de inclinación. Ejeplo.- Calculeos el valor de «a», si L es paralela a L. L x - y - 6 L (a + )x - y - 0 Calculaos las pendientes de L y L a Coo L a // L a Perpendicularidad entre dos rectas..6. Definición Dos rectas en el plano son perpendiculares si se intersectan forando ángulos rectos. Es iportante recordar aquí el siguiente postulado «Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una perpendicular»..6. Condición de perpendicularidad Dos rectas L y L, de pendientes y, son perpendiculares si se cuple que - En la figura se uestran dos rectas L y L de pendientes y. Si estas rectas son perpendiculares y el ángulo de inclinación del priero es, entonces el ángulo de inclinación del segundo debe ser + /. Luego tan tan donde tan cot tan lqqd Ejeplo.- Deterina la ecuación de la recta L que pasa por (; ) y es perpendicular a la recta L x - y - Si L x y 0 ; pero L L Reeplazaos L y ( x - ) L x y Posiciones relativas de dos rectas en el plano..7. nálisis ediante las ecuaciones generales Si se dan dos rectas ediante las ecuaciones x + y + C y x + y + C, se pueden presentar los siguientes casos ro. C do. C C ro. C, las rectas tienen un punto coún., las rectas son paralelas...7. Ángulo entre dos rectas, las rectas coinciden, es decir, las ecuaciones deterinan una sola recta. Dos rectas L y L, de pendientes y, foran un ángulo que viene dado por Deostración tan + En la figura se uestran dos rectas L y L de pendientes y. Sean y los ángulos de inclinación de las rectas y el ángulo forado por ellas, entonces se verifica que tan tan Del esquea = + Sustituyendo tan tan( ) tan tan tan tan tan tan lqqd Observa que es la pendiente de la recta inclinada hacia la izquierda y de la recta inclinada hacia la derecha. 58 Trigonoetría Und. Geoetría nalítica 585

5 Ejeplo.- Calcula la tan de la figura ostrada. Observa que Luego se cuple que tan tan tan ( )..8. Distancia de un punto a una recta Sea P(x 0 ; y 0 ) un punto del plano y x +y + C, la ecuación de una recta L. La ecuación de la recta perpendicular es la que se obtiene ultiplicando todos los térinos de esta ecuación por el factor noralizador, definido por la fórula Obteniéndose x0 + y0 + C Ecuación de la recta perpendicular (L ) El signo de debe opuesto al del térino independiente C. Luego la distancia d del punto P(x 0 ; y 0 ) a la recta L, es un núero positivo que se obtiene evaluando la ecuación de la recta perpendicular para las coordenadas de P y viene dado por d x + y +C x y C d x y C 0 0 Ejeplo.- Calcula «d» de la figura ostrada. plicaos la fórula Reduciendo, resulta d = 6 ( ) () d ( ) Nota.- La distancia entre dos rectas paralelas x +y + C y x +y + C está dada por d C C 0.- Dados los puntos anotar a su lado S o N, si pertenece o no a la línea definida por x + y. a. P (; -) b. P (; ) c. P (; -) d. P (; -) e. P 5 (5; -5) f. P 6 (; -) 0.- Para la línea definida por x + y = 5, deterinar las coordenadas de los puntos cuyas abscisas u ordenadas se indican en la siguiente lista a. x... b. x = -... c. x = 5... d. y =... e. y = f. y = Esbozar la gráfica de cada una de las siguientes líneas a. x y b. x xy c. x y d. y 9 e. y x 0.- notar S o N si la línea dada pasa o no por el origen de coordenadas a. x y 0... b. x y 0... c. x y 0... d. x y e. x y x y 0... f. x y x 6y Trigonoetría Und. Geoetría nalítica 587

6 05.- Dada la siguiente lista de líneas se pide anotar al lado sus puntos de intersección con los seiejes positivos Ox y Oy a. x y 9... b. ( x ) ( y ) 5... c. ( x 6 ) ( y ) 5... d. ( x 5 ) ( y ) 9... e. x y x 6y Deterinar y escribir, en cada caso, los puntos de intersección de las dos líneas dadas a. x y ; x + y = 6... b. x y 8 ; x y Deterina y escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (; -) y es paralela a la recta dada a. x 7y +... b. x + 9y... c. 6x y 7... d. x +... e. y Si las rectas x + y + C y x + y + C son perpendiculares, entonces se verifica que + notar S o N si los siguientes pares de rectas son o no perpendiculares a. x y + 5 ; x + y... Prob. 0 Los lados, C y C del triángulo C son dados ediante sus ecuaciones correspondientes x + y 5 ; x y + 0 ; x Deterinar las coordenadas de sus vértices. Sean L ; L C y L C las rectas que contienen a los lados, C y C respectivaente del triángulo C. Prob. 0 Dadas las ecuaciones de dos lados de un paralelograo 8x + y + ; x + y y la ecuación de una de sus diagonales x + y +. Deterinar las coordenadas de los vértices de este paralelograo. Sea CD el paralelograo, cuyos lados, C y la diagonal C están en las rectas L ; L C y L C, respectivaente c. x y 6x y 8 0 ; x y 0 b. x y + ; x y c. 6x 5y + 7 ; 0x + y... d. x y x y 0 ; x y 5 d. 9x y + 5 ; 8x + 6y e. 7x y + ; x + 6y e. x y 8x 0y 0 0 ; x y Deterina y escribe la pendiente de la recta que pasa por los puntos indicados a. P (; -5), P (; )... b. P (-; ), P (7; 8)... c. P (5; -), P (-; 6) Deterina y escribe la pendiente de la recta y su ordenada al origen en cada caso a. 5x y +... b. x + y 6... c. 5x + y +... d. y... e. 5x Del ejercicio anterior, deterinar la tangente del ángulo que fora cada par de rectas a.... b.... c.... d.... e Dos rectas x + y + C y x + y + C foran un ángulo, tal que tan Calcular la tangente del ángulo que fora cada par de rectas a. x y + 5 ; x + y 7... b. x y 5; x y... c. 6x 5y + 7 ; 0x + y... Para calcular las coordenadas de los vértices ; y C debeos resolver los siguientes sisteas de ecuaciones {} = L C L x x y 5 0 {} = L C L (x; y) = (; -) x y 0 0 (x; y) = (-; ) x y 5 0 {C} = L C L C x y 0 0 x C(x; y) = C(; ) Las coordenadas de sus vértices son (; -), (-; ), C(; ) Las ecuaciones dadas, se acoodan a los siguientes lados L 8x + y + L C x + y L C x + y + Luego, para calcular las coordenadas de los vértices ; y C se resuelven los siguientes sisteas de ecuaciones 8x y 0 x y 0 8x y 0 x y 0 {} = L L C (x; y) = (-; 5) {} = L L C (x; y) = (; -) 588 Trigonoetría Und. Geoetría nalítica 589

7 x y 0 x y 0 {C} = L C L C C(x; y) = C(5; -9) Observaos que «M» es punto edio de C, por lo que calculaos sus coordenadas así 5 9 M ; M ; 6 Pero «M» tabién es punto edio de D, esto nos ayuda en el cálculo de las coordenadas del vértice «D». Observa que las coordenadas de C están relacionadas por la ecuación de L C, ahora calculeos el área del triángulo, aplicando x S C x x x x x x 7 6x S 7 6x x S 9 7x Por datos, sabeos que S = 8 Desarrollando 9 7x 8 9 7x 6 Resolviendo x = - x = 5/7 Luego, reeplazando valores en C, obteneos Observa que L 0 y L son paralelos, entonces sus pendientes son iguales, es decir que 0 = = -/ La ecuación de L 0 es de la fora y y L ; M x x 0 (; ) 0 L 0 y L x 0 x + y 7 Prob. 05 Dadas las ecuaciones de dos lados de un rectángulo x y ; x y + 5 y la ecuación de una de sus diagonales es 7x + y 5, deterinar los vértices del rectángulo. Sea CD un rectángulo cuyos lados y DC (paralelos) y la diagonal D están en las rectas L ; L DC y L D respectivaente. x y 5 0 7x y 5 0 {D} = L DC L D D(x; y) = D(; 8) hora deterinaos la ecuación de L C, para lo cual reconoceos que ésta es perpendicular a la recta L, luego C = - C (/) = - C = - Conoceos (; ) y C, entonces la ecuación de la recta L C es coo sigue L C C y y x x y L C x L C x + y - 5 hora, calculaos las coordenadas del vértice C Las coordenadas de los vértices son Prob. 0 (-; 5), (; -), (5; -9) y (8; -7) El área de un triángulo es S = 8 unidades cuadradas; dos de sus vértices son los puntos (; -), (; ) y el tercer vértices «C» está en la recta x + y. Deterinar las coordenadas del vértice «C». Elaborando el gráfico que ejor represente el enunciado, teneos x = - C(-; ) x = 5/7 C(5/7; -6/7) Las coordenadas del vértice C, serán Prob. 0 C (-; ) ó C (5/7; -6/7) Se da la recta x + y +. Deterinar la ecuación de la recta que pasa por el punto M 0 (; ) paralela a la recta dada. Elaboraos el esquea que nos ayudará a plantear el problea Las ecuaciones dadas, se relacionan con los siguientes lados L x = / L DC x y + 5 DC = / L D 7x + y 5 D = -7 Para calcular las coordenadas de sus vértices se resuelven los siguientes sisteas de ecuaciones {C} = L DC L C x y 5 0 C(x; y) = C(-; 7) x y 5 0 Observa que, M es punto edio de C y D 8 9 M ; M ; Si (x; y), entonces 9 x y 7 ; ; x y {} = L L D x y 0 7x y 5 0 (x; y) = (; ) Los vértices del rectángulo serán (; ), (; ), (-; 7), (; 8) 590 Trigonoetría Und. Geoetría nalítica 59

8 Prob. 06 Prob. 07 Prob. 08 Calcula un punto Q siétrico al punto P(-5; ) relativo a la recta x y Dados los puntos edios de los lados de un triángulo M (; ), M (5; ) y M (; -), calcula las ecuaciones de uno de sus lados. Deterina la ecuación de la recta, si el punto P(; ) es la base de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a esta recta. En el triángulo C, optaos por deterinar la ecuación de la altura H, únicaente nos faltaría calcular su pendiente ya que se conoce el punto de paso Elaboraos el gráfico correspondiente para tener una idea del problea Para el desarrollo de este problea utilizareos la siguiente propiedad Elaboraos el gráfico correspondiente, según datos del problea Priero deterinareos la pendiente de C Observaos que L L = - Luego, teneos La ecuación de L es de la fora L L y y x x P P y x ( 5) L x + y - = -/ hora, calculeos las coordenadas de «M», si x y 0 x y 0 {M} = L L M(x; y) = M(; ) Luego, para calcular las coordenadas del punto «Q» debeos toar en cuenta que «M» es punto edio de PQ Q(; -) En todo paralelograo se cuple que x + x = x + x y + y = y + y Sea C el triángulo donde M ; M y M son los puntos edios de sus lados, trazaos MM y MM, deterinándose tres paralelo-graos M M M, M M M y M M M C, donde en cada uno de ellos aplicaos la propiedad citada anteriorente para poder deterinar las coordenadas de los vértices, y C. Nos piden calcular la ecuación de uno de sus lados, de odo que optaos por el lado, la ecuación de este lado tiene la fora L L y y x x 8 6 y 6 0 x 0 L 7x y Priero, calculaos la pendiente de L 0 0 = / Y coo L L, entonces se cuple que = - = - = Luego, nos piden la ecuación de la recta L, pero coo ya conoceos la pendiente y el punto de paso «P», entonces la ecuación de L tiene la fora y yp L x x Prob. 09 L P y x L x + y - Dados los vértices de un triángulo (; ), (-; -) y C(; ), calcula las ecuaciones de una de sus alturas. C C = Pero coo H C, entonces se cuple que H C = - Luego H () = - H = - hora, la ecuación de la altura H es Prob. 0 L H L H H y y x x y x L H x + y + Dados los vértices de un triángulo (; -), (-; ) y C(; 5), deterina la ecuación de la perpendicular bajada desde el vértice la ediana, trazada desde el vértice. Elaboraos el gráfico según el enunciado del problea, donde notaos que «M» es punto de edio de C, cuyas coordenadas ya heos calculado 59 Trigonoetría Und. Geoetría nalítica 59

9 C 0 hora, las ecuaciones de las bisectrices interior y exterior son de la fora Observa que los tres lados verifican el teorea de Pitágoras 65 L D D y y y 5 x x x L D 5x + y - (bisectriz del ángulo interno) Nos piden la ecuación de H, observa que priero calculareos la pendiente de M M M = Coo M H, entonces se cuple que H M = - H (/) = - H = - Luego, coo ya conoceos el punto de paso y la pendiente de H, deterinaos la ecuación de H y y L H H x x L H y x L H x + y - Nos piden deterinar la ecuación de CE, de odo que necesitaos conocer la pendiente CE, para lo cual priero calculaos la pendiente D D 7 D Este resultado de la pendiente nos indica que la recta D es horizontal, por lo tanto la recta CE es vertical, es decir, no tiene pendiente. El gráfico final será aproxiadaente 65 = 65 Esto significa que el triángulo C es rectángulo, recto en. hora, observa que los catetos y C están en la razón. Entonces por propiedad de la bisectriz, los lados D y DC, tabién están en la razón, cuyas coordenadas ya heos calculado. y y L D ' D y x x 5 x L D x - 5y - (bisectriz del ángulo exterior) Prob. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P(; 5) a igual distancia de los puntos (-7; ) y (; -5). Este problea tiene dos posibles soluciones que satisfacen las condiciones dadas, así teneos Priera solución Observa que L pasa por el punto edio «M» de Prob. Dados los vértices de un triángulo (; -), (; -5) y C(5; 7), deterina la ecuación de la perpendicular bajada desde el vértice «C» a la bisectriz del ángulo interno del vértice. Priero elaboraos el gráfico correspondiente según datos del problea, observeos que ya heos calculado las longitudes de los lados y C, esto nos ayudará ás adelante, porque D resulta ser bisectriz del C. hora, por el teorea de la bisectriz se cuple que si los lados y C están en la relación de, entonces los lados D y DC tabién están en la relación de, con esto heos calculado las coordenadas del punto «D» coo se uestra a continuación en el gráfico Es evidente que la ecuación de la recta CE será Prob. x 5 Dados los vértices de un triángulo ( -), (5; ) y C(-; 0), calcula las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos interno y externo del vértices. Epezareos calculando las longitudes de los lados del triángulo 5 C Para deterinar la ecuación de la bisectriz interior D, priero calculaos su pendiente D D = -5 Luego, notaos que L ' es la bisectriz exterior del vértice, adeás LD L'. D D De donde se cuple que D D = - D (-5) = - D = /5 Coo la recta L pasa por los puntos M y P, podeos calcular su pendiente ' 5 6 = hora, teneos que la ecuación L es L y 5 x L x y 8 59 Trigonoetría Und. Geoetría nalítica 595

10 Segunda solución Observaos que L' Obsérvese que el enor caino para ir de hacia pasando por «P» ocurre cuando, P y son colineales. Luego, calculaos la tan y por ende el valor de «x» tan x x ( x) = (x ) x = 5/ Las coordenadas de «P» son (5/; 0) Propiedad Si «L» es una recta cualquiera, que contiene a «P» adeás y son exteriores fijos, entonces se verifica que (P + P) es ínio cuando = hora, calculaos priero la pendiente de la ecuación de la recta que pasa por ' 7 = - /9 hora, la ecuación será L y 9 x 7 L x + 9y + 5 Luego, en el gráfico, observaos que {P} = L L Resolviendo el sistea, teneos Luego, priero calculaos la pendiente de 5 7 = - hora, coo L' = = - podeos ver que la ecuación de L es y y L ' P x x P y 5 x Este criterio lo aplicareos en nuestro problea, deterinando N siétrico a «N» respecto al eje «x», unios M y N ediante una línea recta, la intersección con el eje «x» será el punto «P» y se verifica que (MP + PN) es lo iso que (MP + PN ), lo cual deuestra que (MP + PN) es ínio porque M, P y N son colineales. continuación con la ayuda del siguiente gráfico, deterinareos las coordenadas de «P» Prob. 5 Calcula en la recta x y 5 un punto «P» de anera que la sua de sus distancias a los puntos (-7; ), (-5; 5) sea ínia. x y 5 0 x 9y 9 0 Prob. 6 P(x; y) = P(; -) Dada la recta x + y +, deterina la ecuación de la recta que pasa por el punto M 0 (; ) y fora un ángulo de 5º con la recta dada. Elaboraos el gráfico según la recta dada y ubicaos el punto M 0. L x + y 8 Prob. Deterina, en el eje de abcisas, un punto «P» de anera que la sua de sus distancias a los puntos M(; ) y N(; ) sea ínia. Las coordenadas de «P» son (x; 0). plicando lo aprendido en el problea anterior, podeos afirar que la posición del punto «P» para que (P + P) sea ínio es la que se uestra en el gráfico, es el punto siétrico a respecto a la recta «L», sus coordenadas las heos calculado realizando el iso procediiento que el problea 6. Para desarrollar este problea utilizareos la siguiente propiedad, la isa que deducios a continuación En el plano se uestran puntos, P y, donde y son fijos y «P» se puede over, quereos ir de hacia pasando por «P», entonces los posibles cainos se uestran en el siguiente gráfico hora, extraeos los triángulos rectángulos, en donde calculareos «x» En el gráfico se uestra a dos rectas L y L que pasan por M 0 y foran 5º con la recta L. hora, para deterinar sus ecuaciones teneos que calcular priero sus pendientes, sea x las pendientes buscadas, aplicaos la fórula x tan 5º x x / / x 596 Trigonoetría Und. Geoetría nalítica 597

11 x x Desarrollando, teneos que x = /5 x = -5 Luego, de acuerdo a la posición de las rectas le asignaos el valor de sus pendientes = -5 = /5 hora, deterinaos sus ecuaciones y L 5 5x + y x L Prob. 7 y x 5y + 5 x El punto E(; -) es el centro de un cuadrado, uno de cuyos lados está en la recta x y +. Deterina las ecuaciones de sus diagonales. Graficaos la recta dada y ubicaos el punto E(; -), sea CD el cuadrado de diagonales D y C. tan 5º / / Luego, resolviendo teneos = Pero coo L L entonces = -/ hora, las rectas L y L pasan por el punto E(; -) y coo ya sabeos el valor de sus pendientes, entonces podeos deterinar sus ecuaciones L L Prob. 8 y x y x x y x + y + Desde el punto M 0 (-; ) se ha dirigido hacia el eje O x un rayo de luz con una inclinación de un ángulo. Se sabe que tan =. El rayo se ha reflejado del eje O x. Calcula las ecuaciones de las rectas en las que están los rayos incidente y reflejado. Elaboraos el gráfico correspondiente, según datos del problea Si y x = - (intercepto con el eje x) En el gráfico, tabién podeos observar que los rayos incidente (L ) y reflejado (L ) foran ángulos iguales () con el eje x, por lo que teneos que la pendiente = tan (80º - ) = -tan = - hora, observaos que L pasa por el punto (-; 0), con lo que calculaos la ecuación de L Prob. 9 y 0 L x + y + 9 x Deostrar que la ecuación de la recta que pasa por el punto M (x ; y ) y es paralela a la recta x + y + C, puede escribirse en la fora siguiente (x x ) + (y y ) Elaboraos un gráfico de acuerdo a los datos del enunciado Elaboraos un gráfico aproxiándonos a los datos del problea hora, del gráfico observaos que {} = L L M Resolviendo el sistea, teneos 5x y 0 7x y 0 (x; y) = (; ) Observeos tabién que L N L C, entonces el producto de sus pendientes es -, es decir N C = - (/) C = - C = -/ Las rectas L y L pasan por las diagonales D y C respectivaente. Para deterinar sus ecuaciones, priero calculaos sus pendientes, para ello del gráfico obteneos la siguiente relación Coo nos piden deterinar las ecuaciones de L y L, priero, sabeos que en L tan = = y L x x y + 9 Si L L = = -/ Calculaos la ecuación de L y y L y y x x x x L (x x ) + (y y ) l.q.q.d Prob. 0 En el triángulo C se dan la ecuación del lado, que es 5x y +, y las ecuaciones de las alturas N y M, que son respectivaente x y + y 7x + y. Deterina la ecuación de la recta que pasa por C. La recta L C pasa por (; ) y tiene pendiente (-/) entonces su ecuación será Prob. L C y x x + y Deterinar para qué valores de y «n» la recta ( + n )x + ( n + )y es paralela al eje de abcisas e intercepta en el eje de ordenadas un segento igual a - (partiendo del origen de coordenadas). Escribir la ecuación de esta recta. 598 Trigonoetría Und. Geoetría nalítica 599

12 Sea «L» la recta dada, teneos que ( + n )x + ( n + )y Entonces su pendiente L se calculará así L n n Para que «L» sea paralela al eje «x» entonces se debe cuplir que L n 0 n + n =... () Luego, para que «L» intercepte al eje «y» en y = -, entonces x hora, reeplazaos en la ecuación ( + n - )(0) + ( - n + )(-) n = -... () signando L y L a las rectas dadas Resolución (a) L ax y L 6x y b Desarrollando el sistea, teneos x b y b 9 a a 6 a L L tendrán un punto coún, si a. Resolución (b) Calculaos las pendientes de L L = a/ = / Luego, para que L L entonces = hora, si a/ = / a = Resolución (c) L ax y Para que las rectas L L se corten en el eje «x», entonces se debe cuplir que la ordenada debe ser cero, es decir y. Reeplazando en las ecuaciones, teneos L ( )x + (0) 5 x 5 L x + ( )(0) + 7 x = -7/ 5 7 Prob. Deostrar que si las tres rectas x + y + C x + y + C x + y + C se cortan en un punto, entonces = 7/ C C 0 C Resolviendo el sistea L x + y + C L x + y + C C y C... () Para que se corten en un punto, entonces las ordenadas tienen que ser iguales. Igualaos () y () C C = C C hora, ultiplicando, reduciendo térinos seejantes y agrupando, teneos ( C - C ) + ( C - C ) + ( C - C ) Expresando por deterinantes C C C 0 C C C Reeplazando () en (), teneos + (-) = = 7 hora, la ecuación de la recta L es L ( + n - )x + ( - n + )y Reeplazando valores = 7 y n = Prob. L y + Deterina para qué valores de «a» y «b» las dos rectas ax y ; 6x y b a) Tienen un punto coún. b) Son paralelas. c) Coinciden. L 6x y b x y b/ Si L L coinciden, entonces ax - y - = x - y - b/ Coparando, teneos a = b = Prob. Deterina para qué valor de las dos rectas ( )x + y 5 ; x + ( )y + 7, se cortan en un punto situado en el eje de abscisas. Le asignaos L L a las rectas dadas, así teneos que L ( )x + y 5 L x + ( )y + 7 Le asignaos L, L y L a las rectas dadas L x + y + C L x + y + C L x + y + C Para que L, L y L se corten en un punto, entonces, se debe cuplir que L L =L L Resolveos el sistea L x + y + C L x + y + C C C y... () su vez esto equivale a Prob. 5 C C 0 C l.q.q.d Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto M (; -7) e intercepta en los ejes coordenados segentos iguales y diferentes de cero (cada segento se considera dirigido a partir del origen de coordenadas). Elaboraos el esquea correspondiente, según datos del problea 600 Trigonoetría Und. Geoetría nalítica 60

13 Observaos que «L» tiene pendiente positiva porque se inclina hacia la derecha. La ecuación de «L» se expresa así L x y, pero (5; -5) L a b 5 5 a b Un étodo para verificar que L corta al segento, es graficándolos. Para graficar L, calculaos los interceptos con los ejes «x» e «y». x y = ; y x = -/ Luego, coo 5a M a; L 5x y 0 Entonces, debe satisfacer la ecuación 5a 5 a 0 a - (5a - ) - Sabeos que la ecuación de «L» se puede escribir así Para (; -7) L, entonces L L x y... () a a 7 a a a = - 5(b a) = ab... () hora, sabeos que el área del triángulo que fora con los ejes coordenados es 50, es decir a b 50 ; b b (b < 0) ab = () Prob. 9 0 l.q.q.d Deostrar que se pueden trazar por el punto P(; 7) dos rectas de anera que sus distancias al punto Q(; ) sean iguales a 5. Calcula las ecuaciones de estas rectas. Finalente, reeplazaos en () Prob. 6 L x y L x + y + Deterina la ecuación de la recta de pendiente positiva que pasa por el punto (5; -5) e intercepta a los ejes coordenados, deterinado un triángulo de área igual a 50 unidades cuadradas. Luego, resolviendo () y (), llegaos a la ecuación cuadrática a 0a + 00 (a 0) a Luego, en () b = -0 hora, reeplazando en «L», teneos que L x y 0 0 L x y 0 Observando el gráfico, confiraos que efectivaente L corta al segento. Prob. 8 Deostrar que la recta 5x y es paralela a las rectas 5x y + 7 ; 5x y 9 y divide por la itad la distancia entre ellas. Sean L, L y L las tres rectas cuyas ecuaciones se dan, veaos las gráfica Elaboraos el gráfico correspondiente que nos perita ubicar los datos del enunciado Las rectas L y L pasan por el punto P(; 7) y sea la pendiente que puede ser de L o L Elaboraos el gráfico y ubicaos los datos del enunciado Prob. 7 y 7 x Deostrar que la recta x y + corta el segento liitado por los puntos (-5; ) y (; 7). L x y () Esta ecuación puede representar a las rectas L L, aplicaos la fórula que nos perite calcular la distancia del punto Q(; ) a L signando coo L, la recta de la ecuación dada L x y + hora, si deostraos que las coordenadas de «M» satisfacen la ecuación de L entonces estaríaos deostrando que efectivaente pasa por el punto edio de la distancia que los separa Trigonoetría Und. Geoetría nalítica 60

14 5 5 hora, elevaos al cuadrado y resolveos la ecuación ( + 5) 5 = -5/ Reeplazando en (), obteneos las ecuaciones de L y L Si L y = 7 Si = -5/ L 5x + y 9 Prob. 0 Deterina la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-; ) a igual distancia de los puntos (5; -) y (; 7). En el desarrollo de este problea, se presentan dos casos Caso Cuando L pasa por P(-; ) el punto edio «M» de Deterinaos la ecuación de L y y M P x M x P y x y Caso Cuando L es paralelo a Calculaos la pendiente de 7 5 Luego, coo L = = - y y Luego, si L P x x y x L x + y + 5 = - P 0.- Deterina los puntos de intersección de la recta x - y - con los ejes coordenados e indicar el signo de su pendiente. ) (6; 0), (0; -), = (+) ) (0; -), (6; 0), = ( ) C) (0; 0), (; ), = (+) D) (; -), (6; 0), = ( ) E) (0; -), (; 0), = (+) 0.- Calcula el punto de intersección de dos rectas L x y 9 ; L x + 5y + 9. ) (5; -) ) (; ) C) (-; 0) D) (6; -0) E) (; -5) 0.- Los lados de un triángulo están en las rectas x + 5y 7 ; x y ; 7x + y + 9. Calcula el área «S» que ellos liitan. ) 9 ) 7 C) D) 5 E) 0.- El área de un triángulo es S =,5 unidades cuadradas; dos de sus vértices son los puntos (; -) y (; -) y el baricentro de este triángulo está en la recta x y 8. Deterina las coordenadas del tercer vértice «C». ) (-; ) o (-; -0) ) (; 0) o (-; -5) C) (0; ) o (; -0) D) (; -) o (-; -0) 05.- Dadas las ecuaciones de dos lados de un rectángulo x y + 5 ; x + y 7 y uno de sus vértices (; -), calcula la ecuaciones de los otros dos lados de este rectángulo. ) 5x + y ; x y ) x y ; x + y C) x + y ; x y D) x y ; x y E) x y ; x + y 06.- Calcula la proyección del punto P(-6; ) sobre la recta L x 5y +. ) (0; ) ) (-; -) C) (-; -) D) (; ) E) (; ) 07.- Deterina las ecuaciones de las rectas que pasan por los vértices del triángulo (5; -), (-; ), C(-; -) y son paralelas a los lados opuestos. I. 5x y II. 7x + 6y + III. x y + Son verdaderas ) I y II ) II y III C) I y III D) Sólo I E) Sólo III 08.- Dados dos puntos P(; ) y Q(-; 0), deterina la ecuación de la recta que pasa por el punto «Q» y es perpendicular al segento PQ. ) x + y ) x y C) x y E) (; ) o (-; 0) D) x + y E) x + y + 60 Trigonoetría Und. Geoetría nalítica 605

15 09.- Los lados de un triángulo se dan por sus ecuaciones x y 7 ; x + y ; x + 5y 7. Calcula el punto «H» de intersección de sus alturas. ) (; ) ) (; ) C) (; ) D) (; ) E) (-; -) 0.- Deterina las ecuaciones de los lados y de las edianas del triángulo que tiene los vértices (; ), (5; -) y C(; 0). I. x + y 8 ; x II. C x + y ; x + y III. C x y ; C y = 5 Son verdaderas ) II y III ) I y III C) Todas D) I y II E) Sólo I.- Dados los vértices consecutivos de un cuadrilátero convexo (-; ), (; 9), C(7; 6) y D(-; -6), deterina el punto de intersección de sus diagonales. ) (; ) ) (; 0) C) (; 0) D) (; ) E) (; ).- Dados dos vértices adyacentes (-; -) y (; ) de un paralelograo CD y el punto Q(; 0) de intersección de sus diagonales, calcula las ecuaciones de sus lados. I. x + 5y + II. x + 7y 6 Son verdaderas ) Sólo I ) Sólo II C) I y II D) II y III E) I y III.- Calcula las coordenadas de un punto M, siétrico al punto M (8; -9), relativo a la recta que pasa por los puntos (; -) y (-; -). ) (8; 6) ) (5; 0) C) (6; 8) D) (0; -5) E) (-5; -0).- Deterina, en el eje de abscisas, un punto «P» de anera que la sua de sus distancias a los puntos M(; ) y N(; ) sea ínia. ) ; 0 D) ; 0 ) 5 ; 0 E) 5 ; 0 C) 7 ; Calcula en la recta L x y, un punto «P» de anera que la diferencia de sus distancias a los puntos (; ) y (0; ) sea áxia. ) (; ) ) (; ) C) (; 5) D) (; ) 6.- El punto (-; 5) es un vértice del cuadrado cuya diagonal está en la recta 7x + y + 8. Calcula las ecuaciones de los lados y de la segunda diagonal de este cuadrado. Identificar la ecuación que no corresponde ni a un lado ni a la da diagonal ) x + y + ) x y 7 C) x y + D) x + y E) x + 7y 7.- Dados dos vértices opuestos de un cuadrado (-; ) y C(6; ); identifica, de las siguientes, la ecuación que no corresponde a ninguno de los lados ) x y + 5 ) x + y 0 C) x y 0 D) x + y 5 E) x + y Un rayo de luz va dirigido por la recta x y + 5, al llegar a la recta x y + 7 se ha reflejado de ella. Calcula la ecuación de la recta en la que está el rayo reflejado. ) 9x y + ) 8x y + C) 9x + y D) 6x 5y + E) x + y 9.- Dados dos vértices de un triángulo M (-0; ) y M (6; ), cuyas alturas se cortan en el punto N(5; ), deterina las coordenadas del tercer vértices M. ) (; -6) ) (5; 5) C) (; -) D) (6; -6) E) (6; ) 0.- Dados dos vértices (; -) y (5; 7) del triángulo C y el punto N(; -) de intersección de sus alturas, calcula las ecuaciones de los lados de este triángulo. I. x y II. x 5 Indicar lo incorrecto ) Sólo I ) Sólo II C) Sólo III D) Ninguno E) Todos.- Deterina para qué valores de y «n» la recta ( + n )x + ( n + )y es paralela al eje de abscisas e intercepta en el eje de ordenadas un segento igual a - (partiendo del origen de coordenadas). ) = 7; n = ) = -; n = C) = -; n = D) = -; n = 7 E) = 7; n = -.- Deterina para qué valores de y «n» las dos rectas x + 8y + n x + y, no tienen un punto coún. ) = ; n = ó = ; n ) = - ; n ó = ; n - C) = ; n ó = ; n D) = - ; n ó = ; n E) = -5 ; n ó = -5 ; n -.- Deterina para qué valor de las dos rectas x + ( + )y + + 6, ( + )x + ( - )y + - se cortan en un punto situado en el eje de ordenadas. ) 0 ó ) 0 ó 6 C) ó 5 D) ó - E) ó -.- Deterina para qué valor de «a» las tres rectas L x - y + ; L x + y + y L ax + y -, se cortan en un punto. ) 0 ) -5 C) - D) -7 III. x + y + 0 E) (-; 5) III. x + 8y + 5 E) Trigonoetría Und. Geoetría nalítica 607

16 5.- Calcula el área del triángulo que fora la recta x y, con los ejes coordenados. ) 6 ) 5 C) D) 8 E) Deterina la ecuación de la recta que pasa por el punto P(8; 6), si deterina en el plano coordenado un triángulo de área igual a unidades cuadradas. ) x y ó 5x + y + ) x y ó x 8y + C) x y 6 ó x y + 6 D) x + y ó x + y + E) x y 0 ó x 6y Deterina las coordenadas del punto de intersección de la recta x y + 6 con la recta que contiene a los puntos (-; -) y (; -). 9.- Deterina las ecuaciones de las rectas que se pueden trazar por el punto P(; 5) de anera que sus distancias al punto Q(5; ) sean iguales a. ) 7x + y ; x ) 6x y ; x C) 5x y ; x 5 D) 7x y + 50 ; x E) 6x y + ; x Deterina las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(; -) y junto con las rectas x + y + 5 ; x + 6y, foran triángulos isósceles. ) x + y 5 ; 5x + y + 7 ) x + y ; x y + C) x y + ; x y + 0 D) x y 5 ; x + y 5 E) x + y ; x y ) (-; 0) ) (0; ) C) (; ) D) (; -) E) -; Dadas tres rectas paralelas 0x + 5y ; x + y + 5 ; x + y 9, deterina si la priera de ellas está entre las otras dos y calcula la razón en que divide la distancia entre ellas. ), a partir de la ra recta D 0 E 0 D 0 0 D D 05 C D 06 C 07 5 C 08 E 6 ), a partir de la da recta. C), a partir de la da recta. D) 5, a partir de la ra recta. 7 E D 7 E 0 D 8 C E 9 0 E D E) 608 Trigonoetría