Algebra Vectorial y Matrices. Sobre plano y recta en Ingeniería y Arquitectura Ciclo

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1 Universidad Centroaericana José Sieón Cañas Departaento de Mateática Algebra Vectorial y Matrices. Sobre plano y recta en Ingeniería y Arquitectura Ciclo - Inga. Marta idia Merlos I) SOBRE PAO Para conocer la ecuación de un plano se necesita conocer: un vector perpendicular o noral al plano y un punto que le pertenece. El vector noral al plano se puede deterinar si se tienen tres puntos que no estén sobre la isa línea recta, es decir si se tienen puntos no colineales. ECUACIOES DE PAO. Ecuación conociendo un punto del plano P(x, y, z ) y un vector perpendicular o noral al plano = A i B j Ck : A(x- x ) + B (y - y )+ C ( z - z ) =. Ecuación General del plano: A x + B y + C z + D =. Si se conoce la ecuación general del plano A x + B y + C z + D =, entonces a partir de ella se puede deterinar un vector perpendicular o noral al plano y al enos un punto que le pertenece al plano en estudio. Dada la ecuación del plano A x + B y + C z + D =, se pueden calcular los puntos de intersección de dichos planos con los ejes x,y e z. Si x =, y = encontraos la intersección del plano con el eje z, obteniendo el punto D P(,, ). C Si x =, z = encontraos la intersección del plano con el eje y, obteniendo el punto D P,,. B Si y =, z = encontraos la intersección del plano con el eje x, obteniendo el punto D P,,. A Se denoinan Trazas de un plano W a las líneas rectas que son intersección del plano W con los planos xy, yz y xz.

2 REACIOES ETRE PAOS. Planos paralelos. Dos planos W y W son paralelos si lo son sus correspondientes vectores norales. Es decir que x Planos perpendiculares. Dos planos W y W son perpendiculares si lo son sus correspondientes vectores norales. Es decir que Angulo entre dos planos. Para encontrar el ángulo entre dos planos W y W se calcula el ángulo entre sus correspondientes vectores norales. Si se pide el ángulo agudo y el que resulta es el obtuso, el ángulo agudo se calcula utilizando la relación 8 - y viceversa, sabiendo que: arc Distancia de un plano W a un punto P, el cual es un punto exterior al plano. Para ello se calcula un vector PP que va de un punto del plano P al punto exterior P, así tabién se conoce el vector noral al plano en cuestión. a distancia d vendrá dada por: d cos, siendo el ángulo que foran el vector y el vector oral al P P. plano. Por lo que P P cos d. Multiplicando y dividiendo por la agnitud de, luego d P P cos, es decir:. P P d. Distancia entre planos paralelos W y W. a distancia entre planos paralelos, se calcula en fora análoga a la fora coo se calcula la distancia de un plano W a un punto exterior a el. Es decir, se calcula un vector que va de un punto del plano W a punto del plano W y se utiliza el vector noral, a abos planos en cuestión. a distancia d vendrán á dada por: d cos, siendo siendo el ángulo que foran el vector P P y P P el vector oral al plano. Por lo que P P cos d. Multiplicando y dividiendo P P cos por la agnitud de, luego d. Sabiendo que la distancia es. P P siepre un nuero positivo escribios: d.

3 A partir de la distancia entre planos paralelos se puede deterinar si dos planos son paralelos o se cortan, en la siguiente fora: a) Si la distancia entre dos planos es igual a cero, entonces los planos se intersectan. b) Si la distancia entre dos planos, es distinta de cero, entonces los planos son paralelos. Si dos planos se intersectan, foran una línea recta en. II) SOBRE A RECTA E E ESPACIO (E ). Para conocer la ecuación de una recta en el espacio (en vector paralelo la isa. i )., se necesita conocer: Un n j p ka la recta y un punto P(x,y,z ) que le pertenece a ECUACIO RECTAGUAR O SIMETRICA DE A IEA RECTA E E x x y y z z ESPACIO, (en ).: n p ECUACIOES PARAMETRICAS DE A IEA RECTA E x x t ; y y t n ; z z t p. Siepre que conoceos la ecuación de una recta en el espacio, podeos deterinar un vector paralelo a la recta y un punto que le pertenece P. Si n rectas son paralelas, entonces sus vectores paralelos correspondientes son iguales o proporcionales. ote que en la ecuación rectangular o siétrica de la línea recta en el espacio, los coeficientes de las variables x, y e z deben ser unitarios y positivos. REACIOES ETRE RECTAS E E ESPACIO. Rectas paralelas. Dos rectas planos y son paralelas si lo son sus correspondientes vectores paralelos. Es decir que x Planos perpendiculares. Dos rectas y son perpendiculares si lo son sus correspondientes vectores paralelos. Es decir que. Angulo entre dos rectas Para encontrar el ángulo entre dos rectas y se calcula el ángulo entre sus correspondientes vectores paralelos. Si se pide el ángulo agudo que resulta es el obtuso, el ángulo agudo se calcula utilizando la relación 8 - y viceversa. Es decir: arc Distancia de una recta a un punto P, el cual es un punto exterior a la recta. Para ello se calcula un vector PP que va de un punto P de la recta al punto exterior P, así tabién se conoce el vector paralelo a la recta en cuestión. a distancia d vendrá dada por: y el

4 d sen, siendo el ángulo que foran el vector y el vector paralelo P P a la recta. Por lo que P P sen d. Multiplicando y dividiendo por la agnitud de, luego d P P sen, es decir: d= x PP. Distancia entre rectas paralelas y. a distancia entre rectas paralelas, se calcula en fora análoga a la fora coo se calcula la distancia de una recta a un punto exterior a ella. Para ello se calcula un vector PP que va de un punto P de la recta al punto P de la recta, así tabién se conoce el vector paralelo a abas rectas. a distancia d vendrá dada por: d sen, siendo el ángulo que foran el vector P P y el vector P P, el cual es paralelo a la recta. Por lo que P P sen d. Multiplicando y P P sen dividiendo por la agnitud de, luego d, es decir: x P P d. Dos rectas en pueden ser paralelas, se pueden intersectar o cortar o pueden cruzarse sin cortarse. Para deterinar si dos rectas se intersectan o se cortan se encuentra un vector que va de un punto que va de un punto P de la recta al punto P de la recta, así tabién se conocen los vectores paralelos a cada una de ellas, es decir los vectores el cual es paralelo a la recta y el cual es paralelo a la recta. Así tabién se deterina un vector perpendicular a abas rectas, el cual es el vector x. Si dos rectas se cortan o se intersectan se cuple que el triple producto escalar x. P P. Si dos rectas se cruzan sin cortarse se cuple que el triple producto escalar x. PP. DISTACIA ETRE RECTAS QUE SE CRUZA SI CORTARSE: d x. PP x 4

5 PUTO DE ITERSECCIO ETRE RECTAS QUE SE CORTA O QUE SE ITERSECTA. Para encontrar el punto de intersección entre dos rectas que se intersectan se encuentran las proyecciones en dos planos, ya sea en el plano xy y en el plano yz. Es decir: Proyección de la recta en el plano xy : Proyección de la recta en el plano xy : x x x x y y n y y n Resolviendo este SE, encontraos el punto de intersección de abas rectas en el plano xy. Así tabién: Proyección de la recta en el plano xz : Proyección de la recta en el plano xz : x x z z p x x z z p Resolviendo este SE, encontraos el punto de intersección de abas rectas en el plano xz. Habiendo encontrado el punto de intersección de abas rectas en el espacio, P(x,y, z), a intersección de dos planos deterina una línea recta en, cuya ecuación puede encontrarse a partir de las ecuaciones de los planos en cuestión. Es decir, que la ecuación general de un a línea recta en es : : A x B y Cz D A x B y C z D Siepre que dos planos se intersectan, se puede deterinar un vector paralelo a la recta de intersección, el cual se deterina por x, en donde es el vector perpendicular al plano W y es el vector perpendicular al plano W. a ecuación general de una línea recta en no es única, ya que infinitos planos pueden tener coo intersección la isa línea recta. RESOVER OS SIGUIETES EJERCICIOS E FORMA CARA Y ORDEADA. SOBRE IEA RECTA Y PAO.. Deterinar la ecuación general del plano que contiene los puntos P(5,, -) y Q (4, -,), el cual a su vez cuple con ser perpendicular al plano X 5Y Z. Dadas las ecuaciones de los planos : w : 5x y z 8 w : x y 7z Encuentre el ángulo entre ellos.. Hallar la distancia del origen al plano w :7x y z 9 4. Hallar la distancia entre los planos W y W :9x W, siendo: y 5z 5

6 W : 7x 6y 5z 9 5. Hallar la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos A (,,-) y B(5, -,6) uego hallar la distancia del punto P (8,-4, 5) a la recta que pasa por los puntos A(7,-7,) y B(,-,5). 6. Deterinar la ecuación general del plano que contiene los puntos A ( -,, 4 ) y B( 5,-,9), el cual a su vez cuple con ser perpendicular al plano 7. Hallar el ángulo agudo forado por la recta que pasa por los puntos P (5, -, 4) y x 8 y z P (7,, 4), con la recta Un plano W es paralelo al plano: W : x + y + z -9. a distancia del punto Q (,,) al plano W es la isa distancia de dicho punto al plano W. Encuentre la ecuación del plano W. 9. Un plano W pasa por el punto P(,7,-8) y tiene la isa traza en el plano xy que el plano W : 5x y z +5. Encuentre la ecuación del plano W. x y 4 z 5. Dadas las rectas en : :, : a) Deostrar que se cortan. b) Encuentre el punto de intersección entre las rectas. X Y Z 8. Dadas las rectas : : : X 5 Z 5 Y 7 y8 z x 4 a) Deterine si las rectas son o no son paralelas. b) Si las rectas son paralelas o se cruzan, hallar la distancia entre ellas. Si las rectas se cortan, encuentre el punto de intersección entre ellas. x y 4 7 z x y z. Diga la relación entre las rectas: De cruzarse ó ser paralelas, encuentre la distancia entre ellas, de cortarse encuentre su punto en coún. + y + z y el punto P(,,) tiene la isa distancia POR FAVOR ESTUDIE A PROFUDIDAD: a) A TEORIA DADA E CASE Y OS EJERCCIOS RESUETOS E CASE B) ESTUDIAR DE A PÀGIA 5 A A PÁGIA 69. POGAE ATECIO A OS EJERCCIOS RESUETOS E E IBRO, QUE SE ECUETRA E DICHAS PÀGIAS. REAIZAR OS EJERCCIOS QUE SE PRESETA E ESTA GUÌA Y ADEMÁS RESUEVA: ibro: vectores y Geoetría Analítica Vectorial. Autor: Eduardo Escapini Peñate: Ejercicio.9 de la página 7. Ejercicios: de la. a la. página 7 Ejercicios de la.5 a la.4 página 74. Ejercicios.46 a.55 página 75 Ejercicios.57,.59 y.6 página 75 Ejercicios. Del. al.8, página 7. ESTUDIAR DE A PÀGIA 5 a la página 69. POR FAVOR ESTUDIE A PROFUDIDAD OS EJERCCIOS RESUETOS E CASE Y OS RESUETOS E IBRO. 6