1-3 EXPONENTES 18 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA

Transcripción

1 . 8 9 t st. s. z z. y y y 9 t t t 6. z z z 7. t t t y.. a a. 6 b b a. a 6 b 9b y p 9. p yq y y z z 0. y y. y y a. b a b b a 6. 9 y 6 8. y 7. y a b a b y y y y y p q. 6. p p a b b a 8q b p b p - EXPONENTES Si es un entero positivo, entonces a (léase a a la potencia o la -ésia potencia de a) se define coo el producto de factores a ultiplicados a la vez. Por lo que a a a a a En este producto, el factor a aparece veces. Por ejeplo, 6 (cuatro factores de ) (cinco factores de ) En la epresión a, se llaa la potencia o eponente y a la base. Así en (la cuarta potencia de ), es la base y es la potencia o eponente; en, es la base y el eponente. Esta definición de a cuando el eponente es un entero positivo es válida para todos los valores reales de a. Observe el patrón en la tabla, en la cual se dan varias potencias de en orden decreciente. Trateos de copletar la tabla. Noteos que cada vez que el eponente disinuye en, el núero de la derecha se divide entre. 8 CAPÍTULO ÁLGEBRA

2 Esto sugiere que la tabla se copletaría continuando la división entre con cada reducción del eponente. De esta anera, llegaos a las igualdades siguientes: TABLA 6 0????? 0 6 Este patrón en fora natural nos conduce a la definición siguiente de a en el caso de que el eponente sea cero o un núero negativo. DEFINICIÓN Si a 0, entonces a 0 y si es un entero positivo cualquiera (de odo que es un entero negativo), a a 0. Evalúe a) ( )0 ; b) ( ) Por ejeplo, 0, 7 0, () 0, etc. Asiiso, y () 8 ( ) 0 De estas definiciones, es posible establecer una serie de propiedades denoinadas las leyes de los eponentes, las cuales se enuncian a continuación. Propiedad a a n a n Esto es, cuando dos potencias de una base coún se ultiplican, el resultado es igual a la base elevada a la sua de los dos eponentes. Este resultado vale para cualquier núero real a, ecepto en el caso de que o n sea negativo, requerios que a 0. Respuesta a) ; b) 8 EJEMPLO a) Podeos verificar que esto sea correcto desarrollando las dos potencias del producto. ( ) ( ) SECCIÓN - EXPONENTES 9

3 . Siplifique a) ; b) 6 Respuesta a) 6 ; b) b) () De nuevo, podeos verificar este resultado desarrollando las dos potencias. ( ) Propiedad a an a n (a 0) Esto es, cuando una potencia se divide entre otra con la isa base, el resultado es igual a la base elevada a un eponente que es la diferencia del eponente que está en el nuerador y el eponente del denoinador. EJEMPLO. Siplifique a) ; b) ( 6 ) Respuesta a) ; b) 8 a) 7 7 b) () c) d) () Propiedad (a ) n a n (a 0 si o n es negativo o cero) Es decir, una potencia elevada a una potencia es igual a la base elevada al producto de los dos eponentes. EJEMPLO a) ( ) 6. Siplifique a) ( ) ; b) ( ) ( ) Podeos coprobar que esto es correcto, dado que ( ) 6 Respuesta a) ; b) 7 b) ( ) ()() 8 c) ( ) ()() 7 ( ) ()( ) d ) 8 ( ) ()() e) ( p ) (p)() p p 0 CAPÍTULO ÁLGEBRA

4 En una epresión, tal coo c, la base es c, no c. Si necesitaos que la base sea c, debeos encerrarla entre paréntesis y escribir (c). Por ejeplo 8, no es lo iso que ( ) 6 6. Para el caso de que la base es un producto, teneos la propiedad siguiente. Propiedad (ab) a b (ab 0 si 0). Evalúe a) y ( ) b) y ( ) Esto es, el producto de dos núeros elevados a la -ésia potencia es igual al producto de las -ésias potencias de los dos núeros. EJEMPLO a) 6 ( ) b) ( y) ( ) y 8 y Respuesta a) 6 y 6; b) y 6 c) (a b ) (a ) (b ) 9a b 6 (y d) ) (y ) ( y) ( ) y y (8) y 6() 6 y y 8 y 6 8 y 6 Propiedad a b a b (b 0 y a 0 si 0) Es decir, el cociente de dos núeros elevados a la -ésia potencia es igual al cociente de las -ésias potencias de tales núeros. EJEMPLO. Siplifique a) () b) ( ) Respuesta a) ; b) a) b) y y y c) y y y () y 7 y ( ) EJEMPLO 6 Siplifique las epresiones siguientes, eliinando paréntesis y eponentes negativos. a) ( a) ( ) b) c) ( ) 7 ( z) d) ( y ) e) y ( y) Solución a) ( a) a 7 a (7) a 7 SECCIÓN - EXPONENTES

5 6. Sería incorrecto por copleto en el ejeplo 6d) si hubiéseos escrito ( y ) ( ) (y ) y. Puede ver por qué esto es incorrecto? Pruebe dando dos valores para y y, tales coo y. ( b) ) ()() ( z ) ( ) (z ) 6 z 9 0 z 9 Note que si deseaos evitar eponentes negativos, abos factores deben dejarse en el denoinador. c) ( ) () ( ) d ) Priero debeos siplificar la epresión dentro de los paréntesis. El denoinador coún es y. y y y y y y y Ahora recordando que el recíproco de una fracción se obtiene intercabiando el nuerador y el denoinador. De odo que y y ( y ) y y e) y y y y (y) y y y y Solución alterna y (y) ( y ) y y y y (propiedad distributiva) y y 6 EJERCICIOS - (-6) Siplifique las epresiones siguientes. No use paréntesis ni eponentes negativos en la respuesta final.. ( ). ( ). (a ) 7. ( ). ( ) 6. ( ) 7. y y a a 0. b b 6. () 7. (). () ( ). ( ). ( yz) (y) 6. (yz ) (y z) 7. ( y) 8. (ab ) 9. (y z ) (yz) 0. ( pq ) (p ) ) ). (. (... ) 7. ( 6. y y7 z 8. ( z 8 ) 9. ( a ( a ) ) 6 0. ( b 7) ( b) (. ( ) ). ( y ) ( y) CAPÍTULO ÁLGEBRA

6 . ( y) (y). ( y) 6. y. (a b ) a b (ab c) a bc 7. ( ) ( y) 8. ( y ) 9. ( a b ) ( ( a 0. b) ( y) y ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ) 6. ( ) 7. ( ) 8. [() (y) ] 9. (y) ( y ) 0. (a b ) y.. 0 y. 6. y y 7. y y 9. y y 6 6. ( ) 8. 6 y EXPONENTES FRACCIONARIOS Heos definido a cuando es cualquier entero, ahora etendereos la definición al caso en que es un núero racional arbitrario. Nos gustaría hacer esta etensión en tal fora que las propiedades a de la sección - continúen siendo válidas, aun en el caso de que y n no sean enteros. En prier térino, considerareos la definición de a / n cuando n es un entero distinto de cero. Para que la propiedad continúe vigente cuando /n, debe ser válido que (a / n ) n a (/ n)n a a De este odo, si haceos b a /n, es necesario que b n a. EJEMPLO a) 8 / ya que 8 b) () / ya que () En el caso de que n sea un entero par, surgen dos dificultades con esta definición de a /n. Por ejeplo, sea n y a. Entonces, b / si b. Pero hay dos núeros cuyo cuadrado es igual a, es decir, b y b. De odo que necesitaos decidir qué entendereos cuando escribaos b /. En realidad, definireos / coo. En segundo lugar, suponga que a es negativo. En tal caso, b a / si b a. Sin ebargo, el cuadrado de cualquier núero negativo (positivo, negativo o cero) nunca es negativo. Por ejeplo, 6 y () 9, y abos son positivos. En consecuencia b nunca es negativo para cualquier núero real b, de odo que cuando a 0, a / no eiste en los núeros reales. Así, () / o ( )/ carecen de sentido coo núeros reales. Adoptareos la siguiente definición. SECCIÓN - EXPONENTES FRACCIONARIOS

7 7. Evalúe lo siguiente, si eisten: a) (7) / b) (6) /6 c) d) ( 6 ) / e) 6 79 f ) 0 DEFINICIÓN Si n es un entero positivo par (tal coo, o 6) y si a es un núero real no negativo, entonces se dice que b es la n-ésia raíz principal de a si b n a y b 0. Así, la n-ésia raíz de a es el núero no negativo el cual, al elevarse a la n-ésia potencia, da el núero a. Denotaos la n-ésia raíz principal por b a /n. Si n es un entero positivo ipar (tal coo, o ) y si a es un núero real cualquiera, entonces b es la n-ésia raíz de a si b n a, epresada una vez ás coo a /n. Es decir, b a /n si b n a; b 0 si n es par. Las raíces ipares están definidas para todos los núeros reales a, pero las raíces pares sólo están definidas cuando a no es negativo. EJEMPLO a) / porque b) (6) / 6 ya que (6) 6 c) 6 / porque 6 y 0 d) (79) /6 ya que 6 79 y > 0 e) /n para todo entero positivo n, porque n f )() /n para todo entero positivo ipar n, debido a que () n cuando n es ipar. g) (8) / no eiste, porque los núeros negativos sólo tienen raíces n-ésias cuando n es ipar. El síbolo n a tabién se utiliza en vez de a /n. El síbolo se denoina signo radical y n a a enudo se llaa radical. Cuando n, a / se denota sipleente por a ás bien que por a: se llaa la raíz cuadrada de a. Tabién, a a / es la tercera raíz de a, por lo regular se le llaa raíz cúbica, a a / es la raíz cuarta de a, etc. Los resultados en el ejeplo pueden volverse a forular utilizando esta notación: a) ; b) 6 6; c) 6 d) 6 79 ; e) n para n un entero positivo f ) n para n un entero positivo ipar g) 8 no eiste 7 Respuesta a) ; b) ; c) ; d) y e) no eisten; f ) Ahora estaos en posición de definir a /n para un eponente racional /n. CAPÍTULO ÁLGEBRA

8 DEFINICIÓN Sea n un enero positivo, un entero distinto de cero y a un núero real. Entonces, a /n (a /n ) Es decir, la (/n)-ésia potencia de a es la -ésia potencia de la raíz n-ésia de a. Observación Si n es par, a no debe ser negativo. Si es negativo, a no debe ser cero. EJEMPLO a) 9 / (9 / ) 7 b) / ( / ) c) 6 / (6 / ) 8 De la parte b) del ejeplo, podeos generalizar el resultado siguiente: Esto se sigue dado que a /n n a a /n (a /n ) a /n TEOREMA Si a /n eiste, entonces, a /n (a ) /n Es decir, la (/n)-ésia potencia de a es igual a la raíz n-ésia de la -ésia potencia de a. Este teorea, el cual no probareos, ofrece un étodo alternativo de calcular cualquier potencia fraccionaria. EJEMPLO a) 6 / (6 / ) 8, o 6 / (6 ) / (096) / 8 b) 6 / (6 / ) 6 6, o 6 / (6 ) / (6,66) / 6 Observación Si /n no está en su ínia epresión, entonces (a ) /n puede eistir ientras que a /n no. Por ejeplo, sea, n y a 9. Entonces, (a ) /n [(9) ] / 8 / pero a /n (9) / [(9) / ] no eiste. Según los ejeplos y, es claro que cuando evaluaos a /n, es ás fácil etraer la raíz n-ésia priero y después elevar a la -ésia potencia; de esa anera SECCIÓN - EXPONENTES FRACCIONARIOS

9 8. Siplifique a) / / b) / ( / ) ; c) ( / ) d) ( / ) / 7/6 e) (8) / / trabajaos con núeros ás pequeños. En otras palabras, en la práctica calculaos a /n usando la definición (a /n ) en vez de (a ) /n. Con estas definiciones, es posible deostrar que las leyes de los eponentes, que se establecieron en la sección -, tabién son válidas para eponentes fraccionarios. Las volveos a escribir y las ilustraos con algunos ejeplos. Reenuncieos estas leyes, ya que son uy iportantes.. a a n a n. a an a n. (a ) n a n. (ab) a b. a b a b Al utilizar estas leyes, debeos recordar que tienen algunas restricciones: en cualquier potencia, si el eponente es negativo, la base no debe ser cero; y si el eponente contiene una raíz par, la base no debe ser negativa. EJEMPLO a) 7/ 7/ / b) 7/ 7/ / 7/ c) 7// 6 ( ) / / d ) 9 9 /() 9 / (9 / ) 9 9/ e) 9/ 7/ f ) ( ) 7/6 (7/6) 7/ g) ( / ) 6/ (/)(6/) 8/ h) a (a ) para cualquier núero racional a i ) (6) / ( 9) / / 9 / 6 j ) ( y) / ( ) / y / (/) y / y / k) (a / b ) / / (a / ) / (b ) / / a / b l ) ab (ab) / a / b / a b ) /y y / y / / y Respuesta a) ; b) ; c) d) ; e) n) 8 / 7 8/ ( 8 7/ ( 7 ) ) / / CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

10 9 EJEMPLO 6 Encuentre tal que. 7 Solución Epresaos abos lados coo potencia de. 9 7 / ) / / 9 ( (/) 7/ Por tanto, 7 EJEMPLO 7 Evalúe: a) 6 Solución a) 6 b) 6 7 / / / ; b) / 7 7 (/) 7 / / / / (por la ley ) / (por la ley ) (por la ley ) ( (por la ley ) /) 9 6 /9 6 EJEMPLO 8 Siplifique la siguiente epresión: p 7 p/ p 6 p 8 p/ 9 p/ 0 p Solución En epresiones tales coo ésta, por lo general conviene escribir todas las bases en térinos de sus factores prios. p 7 p/ p 6 p 8 p/ 9 p/ 0 p ( ) p ( ) p/ ( ) p ( ) p ( ) p/ ( ) p/ ( ) p p p/ p p p (por las leyes y ) (p/) (p/) p p ( p p )( p p ) p ( p p )( p ) p p p p p p p (cobinando térinos con bases iguales) SECCIÓN - EXPONENTES FRACCIONARIOS 7

11 9. Siplifique a) 6 b) ( 9) c) d) ( ) EJEMPLO 9 Siplifique (7 7)/. Solución Observeos que los tres radicales en esta epresión pueden siplificarse factorizando un cuadrado perfecto en cada uno de los núeros. Por tanto, () EJEMPLO 0 Siplifique: a) ( ); b) Solución Eprese los radicales en térinos de eponentes fraccionarios y luego utilice las propiedades distributivas y las leyes de los eponentes. a) ( ) / ( / / ) / / / / 7/6 Respuesta a) ; b) ; c) d) b) / / ( / ) / / / / /6 / 9 EJERCICIOS - (-6) Encuentre tal que las proposiciones siguientes sean verdaderas (7-6) Evalúe las epresiones siguientes (). ( ). (8) / 6. ( 8 7 ) / 7. (0.6) / 8. (0.6) / / /. (9 6 / ) /6. 9 / /. 6 / 8 /. / ( )/. (7) / (6) / 6. ( 6 ) /8 (6) / (7-6) Siplifique las epresiones siguientes. 7. (6 ) / / 9. ( y 0 ) / a b. / 6 /. ( / / ). ( / / ). (6 ) / (8 6 ) / 8 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

12 . /7 /7 y/ y/ 6. a a b b / 9 / / 9 / 0. a / b /7 a b 7/8 a b / / 6 7. p p 0 q q / / / / 9. / / y/ y/ ( y) / ( y ) / a / a / (a ) /6 (a / ) ( y) / (y) / (y ) / / 0. a c b b c a c a b (7). n/ (8) n/6 6. (8) n/ ab. b bc c 7. Establezca si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas. a) b) 8 c) 7 d) () e) 9 f ) a a para todo real a g) a b a b si a 0 y b 0 h) a a n a n i) a a /n an j) a a /6 k) a a si a 0 ( ab ) (y ab ) (y) ab ca a / 9 - OPERACIONES ALGEBRAICAS Cantidades del tipo 7, y y 6y y /y se denoinan epresiones algebraicas. Los bloques de construcción de una epresión algebraica se llaan térinos. Por ejeplo, la epresión 7 tiene tres térinos,, y 7. La epresión y/ y/ tiene dos térinos, y/ y y/. En el térino, el factor se denoina el coeficiente nuérico (o sipleente el coeficiente). El factor se denoina la parte literal del térino. En el térino, el coeficiente es y la parte literal. En el térino y/, el coeficiente es y la parte literal es y. El térino 7 no tiene parte literal y se llaa térino constante. El coeficiente es 7. Una epresión algebraica que contiene un solo térino se denoina onoio. Una epresión que contiene eactaente dos térinos se llaa binoio y la que contiene precisaente tres térinos se denoina trinoio. Los siguientes son unos cuantos ejeplos de epresiones de estos tipos. Monoios:, y, 7/t,, y/z Binoios:, /y, 6 y zt Trinoios: 7, /, 6y t En general una epresión que contiene ás de un térino se denoina ultinoio. SECCIÓN - OPERACIONES ALGEBRAICAS 9