Tema 1: Combinatoria

Transcripción

1 Tea : Cobinatoria C. Ortiz, A. Méndez, E. Martín y J. Sendra Febrero de Índice Guía del tea. Introducción. Principios básicos del conteo 3. Variaciones 4. Perutaciones 4 5. Perutaciones circulares Perutaciones con repetición Cobinaciones 8 8. Núeros Cobinatorios 9 9. Cobinaciones con repetición. Aplicaciones. Resuen 4 Referencias 5

2 Guía del tea Asignatura: Titulo de la Unidad: Seanas de ipartición en el cuatriestre: Mateática Discreta Cobinatoria seanas Requisitos para seguir con aprovechaiento el tea Repasar los conceptos relativos a conjuntos estudiados previaente. Consultar la bibliografía recoendada para la unidad. Manejar con soltura el álgebra de polinoios. Objetivos Objetivo general: Conocer y aplicar los principios eleentales del conteo Objetivos Específicos: Generar las posibles agrupaciones con una deterinada característica. Distinguir entre variaciones, perutaciones y cobinaciones. Calcular el núero de distintas agrupaciones. Adquirir destreza operativa en la resolución de ejercicios y probleas de cobinatoria. Utilizar herraientas inforáticas para plantear, resolver y explicar probleas de cobinatoria. Analizar la iportancia de las técnicas presentadas coo herraienta para resolver probleas de recuento. Contenidos teóricos Introducción Principios básicos del conteo Variaciones siples Variaciones con repetición

3 Perutaciones siples Perutaciones circulares Perutaciones con repetición Cobinaciones siples Núeros cobinatorios Cobinaciones con repetición Evaluación Se entregarán los ejercicios propuestos antes de la fecha líite lunes 4 de arzo de 3

4 . Introducción La Cobinatoria es la parte de las Mateáticas que estudia las diversas foras de realizar agrupaciones con los eleentos de un conjunto, forándolas y calculando su núero. Existen distintas foras de realizar estas agrupaciones, según se repitan los eleentos o no, según se puedan toar todos los eleentos de que disponeos o no y si influye o no el orden de colocación de los eleentos. El desarrollo de la cobinatoria está fuerteente ligado con su aplicación en la teoría de la probabilidad, pero tabién es iportante en otras ciencias coo la inforática, por ejeplo en la teoría de la codificación y en el análisis de algoritos.. Principios básicos del conteo Iniciareos nuestro estudio enunciando los principios fundaentales del conteo Proposición.. Principio aditivo o Regla de la sua. Sean A y B son dos sucesos que no pueden ocurrir siultáneaente. Si el suceso A ocurre de aneras distintas y el B de n aneras distintas, entonces el suceso A o el B se podrá ocurrir de + n aneras distintas. Ejeplo.. Supongaos que en un cine se proyectan tres películas diferentes por la añana y cinco por la tarde. Si se desea ver una sola película. Cuántas opciones teneos?. Sea A el suceso: Ver una película por la añana y B el suceso: Ver una película por la tarde. Coo hay tres películas diferentes por la añana y cinco por la tarde, el suceso A se puede presentar de 3 aneras distintas y el B de 5. Coo no ocurren siultáneaente, o vas por la añana o por la tarde. Aplicando la regla anterior, el total de opciones de ver una sola película será: Observación.. la regla anterior se puede aplicar a ás de dos sucesos siepre que sean disjuntos dos a dos, es decir, que cada par de tareas no puedan ocurrir siultáneaente. Proposición.. Principio ultiplicativo o Regla del producto. Si un suceso A puede ocurrir en aneras e, independienteente, un segundo suceso B puede ocurrir en n aneras, entonces el núero de de aneras en que abos,a y B, pueden ocurrir es n Ejeplo.. Cuántos núeros pares de tres cifras se pueden forar, usando las cifras,,, 3, 4, 5 y 6, si éstas pueden repetirse? Al forar un núero par de tres cifras A A A 3 con ayuda de las cifras dadas, en vez de A puede toarse una cifra cualquiera, salvo el, es decir 6 posibilidades. En vez de A pueden toarse cualquier cifra, es decir 7 posibilidades, y en vez de A 3 cualquiera de las cifras,, 4, 6, es decir 4 posibilidades.

5 De este odo, confore a la Regla de Multiplicar existen procediientos. Así pues, con las cifras dadas pueden forarse 68 núeros pares de tres cifras. Veaos a estudiar a continuación agrupaciones de objetos aditiendo que no hay repetición y que iporta el orden en que estén situados los objetos dentro del grupo. 3. Variaciones Definición 3.. Sea un conjunto forado por eleentos distintos. Recibe el nobre de variación de orden n de esos eleentos (n ), a todo grupo ordenado forado por n eleentos toados de los, de tal anera que dos grupos se considerarán distintos si difieren en alguno de sus eleentos o bien, si teniendo los isos, difieren en el orden en que están colocados. El total de esos grupos ordenados se indica por V,n. Teorea 3.. El total de variaciones de orden n que pueden forarse con los eleentos de un conjunto dado, es: V,n ( )( ) ( n + ) Deostración. El prier eleento de la variación podrá elegirse de foras distintas. Por tanto el segundo eleento se podrá elegir de aneras diferentes, ya que quedan eleentos para escoger. Razonando de la isa fora, existirán posibilidades de elegir el tercero, y así sucesivaente, hasta llegar a la elección del n ésio, lo que podrá hacerse escogiendo de entre (n ) candidatos. Coo las etapas de elección son independientes unas de otras, aplicando la regla del producto, se tendrá V,n ( )( ) [ (n )][ (n )] ( )( ) ( n + )( n + ) Definición 3.. Para un entero n, n factorial (que se denota n!) se define coo! n! n(n )(n ) 3 para n Adeás, para cada n, (n + )! (n + )(n!). Nota 3.. Teniendo en cuenta la definición anterior teneos: V,n ( )( ) ( n + )( n)( n ) ( n)( n )...! ( n)!

6 El siguiente ejeplo uestra el proceso de solución de un problea cobinatorio. Ejeplo 3.. Cuántos núeros de tres cifras diferentes se pueden forar con los dígitos que coponen el núero 4756? En este problea teneos coo eleentos a los dígitos, 4, 7, 5, 6; en total 5 eleentos y debeos forar uestras de 3 eleentos diferentes, es iportante destacar el hecho de la no repetición de los eleentos las uestras. Foreos algunas uestras del experiento. 47, 74, 45 Resulta fácil observar el cupliiento de las características correspondientes a las variaciones sin repetición. Dos uestras difieren: En el orden de sus eleentos: (47, 74) En que, por lo enos, hay un eleento diferente. (47 y 45) Los eleentos no se repiten en la isa uestra. Coprobado que el eleento cobinatorio presente en el problea es sin duda variaciones sin repetición podeos deterinar fácilente la cantidad de eleentos del conjunto (5) y la cantidad de eleentos que tienen las uestras (n3). Aplicando la fórula para el cálculo y efectuando los isos obteneos, V 5, núeros de tres cifras. Para validar el resultado obtenido podeos aplicar la regla del producto: Designando al lugar de las centenas por la variable p, las decenas por q y las unidades por r. El lugar p puede ser ocupado de 5 foras, q de 4 foras y r de 3 foras. El núero de veces en que en se pueden forar las cifras: p q r Considereos ahora que hay repetición y que iporta el orden en que estén situados los objetos dentro del grupo. Definición 3.3. Sea un conjunto forado por eleentos distintos. Recibe el nobre de variación con repetición de orden n cualquier grupo forado por n eleentos, no necesariaente distintos, toados entre los del conjunto original. Al poder repetir eleentos puede que sea n >. El total de esos grupos ordenados se indica por V R,n. 3

7 Teorea 3.. El total de variaciones con repetición de orden n que pueden forarse con los eleentos de un conjunto dado, es V R,n n Deostración. Coo en el conjunto dado existen eleentos, el prier eleento podrá elegirse de aneras distintas. Para elegir el segundo podrán toarse de nuevo cualquiera de los eleentos del conjunto, dado que puede repetirse, y así sucesivaente hasta toar el n ésio, que podrá elegirse de entre los. Coo las etapas son independientes unas de otras, aplicando la regla del producto tendreos V R,n n Ejeplo 3.. Cuantos núeros de tres cifras se pueden forar con las nueve cifras significativas del sistea decial? Al tratarse de núeros el orden iporta y adeás no dice nada sobre cifras distintas, luego si pueden repetirse. Por tanto, se pueden forar 79 núeros: V R 9, Cuantas palabras distintas de letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las dos prieras letras del alfabeto? Al tratarse de palabras el orden iporta y adeás coo son palabras de letras y sólo teneos dos para forarlas, deben repetirse. Por tanto, se pueden forar 4 palabras : V R, 4 4. Perutaciones Un caso particular de las variaciones son las perutaciones, que son agrupaciones que pueden forarse toando todos los eleentos del conjunto a la vez. Definición 4.. Sea un conjunto forado por eleentos distintos. Recibe el nobre de perutación siple de eleentos, cada uno de los distintos grupos que puede forarse de anera que cada uno de ellos contenga los eleentos dados, difiriendo un grupo de otro únicaente en el orden de colocación de sus eleentos. El total de esos grupos ordenados se indica por P. Teorea 4.. El total de perutaciones siples o sin repeticiones de eleentos, es P! 4

8 Deostración. Es obvio que las perutaciones sin repeticiones de eleentos se pueden considerar coo variaciones de orden de eleentos, por tanto : P V, ( )( ) ( + )( + ) ( )( )! Ejeplo 4.. De cuántas foras distintas se pueden sentar cinco personas en un banco? Sólo iporta el orden, ya que se sientan todas, luego se trata de una perutación P 5 5! Nota 4.. Coo heos definido las perutaciones sin repetición de los eleentos de un conjunto coo un caso particular de las variaciones sin repetición, se hace necesario declarar cuáles son las características que periten diferenciarlas del resto de las variaciones sin repetición. En este sentido enunciareos a título de características las siguientes: Dos uestras difieren únicaente en el orden de sus eleentos. En todas las uestras del experiento aparecen los eleentos del conjunto. Los eleentos no se repiten en las uestras. 5. Perutaciones circulares. En los ejeplos anteriores heos iaginado los eleentos que foran las perutaciones colocados ordenadaente en línea recta. Hubiera sido lo iso iaginarlos situados en una curva abierta; pero las condiciones varían si los situaos en una curva cerrada porque el orden que se establece entre sus eleentos es relativo: No cabia si se efectúa una rotación de odo que cada eleento ocupe el lugar del otro. A este tipo de perutaciones se les llaa perutaciones circulares o cíclicas. En las perutaciones circulares los eleentos se consideran distribuidos sobre una circunferencia. Las perutaciones circulares pueden identificarse si el análisis de situación encionada conlleva a la confección de una curva cerrada, fijando uno de los eleentos y perutando los restantes, tal y coo se hace en las perutaciones sin repetición. Definición 5.. Dado un conjunto de eleentos, recibe el nobre de perutación circular, una agrupación de los eleentos de fora que una cualquiera de ellas será distinta de otra únicaente si varía la posición relativa de sus eleentos. 5

9 Teorea 5.. El núero de perutaciones circulares de eleentos se calcula ediante la fórula: P c() ( )!, es un núero natural ayor o igual que. Deostración. Usareos el étodo de inducción. Se verifica para. P c() ( )!! Lo suponeos para kp c(k) (k )! (k ) (k ) (k (k )) Y lo deostraos para k +. Multiplicando por k en abos iebros de P c(k) (k )!, obteneos: P c(k + ) (k )! k k! Ejeplo 5.. De cuántas foras se pueden sentar 8 personas alrededor de una esa?. Se trata de una perutación circular de 8 eleentos: P c(8) (8 )! 7! Perutaciones con repetición. Hasta ahora heos tratado las perutaciones lineales y las circulares, estableciendo las características que periten identificarlas. En abos casos perutaos eleentos distintos entre sí. En cabio, si algunos fueran iguales debeos hacer otras consideraciones. Definición 6.. Sea un conjunto de eleentos, entre los que existen n objetos iguales y de un iso tipo, n iguales pero de otro tipo, y así sucesivaente hasta un grupo de n k objetos tabién idénticos entre sí. Las perutaciones distintas que pueden forarse en esas condiciones reciben el nobre de perutaciones con repetición de eleentos entre los que n son iguales, n son tabién iguales, y así sucesivaente, hasta n k iguales. El total de esos grupos distintos se indica por P r(, n, n,..., n k ) con n + n + + n k Las perutaciones con repetición se identifican fácilente a través de sus características esenciales: En cada grupo aparecen los eleentos del conjunto. Los grupos difieren sólo en el orden entre los eleentos de diferente naturaleza. Ejeplo 6.. El núero 3344 tiene dos núeros 3 y dos núeros 4, si perutaos los cuatro dígitos que lo coponen, siepre observareos la presencia de estos en todas las uestras, sin ebargo; si perutaos entre sí los eleentos de igual naturaleza, no se apreciarán diferencias entre las uestras. Debereos perutar los eleentos de diferente naturaleza para poder distinguirlas. 6

10 Foración y núero de perutaciones con repetición. Considereos las perutaciones que podeos hacer con los dígitos que coponen al núero 34. Forando todas las uestras de ese experiento podeos observar: Hay 4 perutaciones. Si en lugar de elegir el núero anterior, hubiéseos seleccionado el núero 3344, en todas las uestras obtenidas anteriorente podríaos sustituir el por el 4 y al por el 3. En este caso de estas 4 perutaciones serían diferentes sólo 6 de ellas En el experiento anterior, de las 4 perutaciones lineales del núero 3344 hay 6 dígitos repetidos 4 veces cada uno, entonces el conjunto de cifras cuya diferencia está en el orden de colocación se calcula fácilente ediante la operación siguiente: 4/46. La interpretación del resultado anterior conlleva a plantear para el cálculo de las perutaciones con repetición la siguiente relación: P Sabeos que P 4 4! 4, pero podeos escribir el denoinador coo 4!!, cada uno de estos! significa la cantidad de perutaciones de cada uno de los eleentos que se repiten en el conjunto de valores. Teorea 6.. El núero de perutaciones con repetición (P r) que se pueden hacer con eleentos, de los cuales hay repetidos n, n,... n k es: P r(, n, n,..., n k )! n! n! n k!, Siendo n + n + + n k Ejeplo 6.. De cuántas aneras se pueden colocar las figuras blancas (dos caballos, dos torres, dos alfiles, el rey y la reina) en la priera fila del tablero de ajedrez? Se trata de un experiento sobre perutaciones con repetición de 8 eleentos agrupados en 7

11 subgrupos n, n, n 3, n 4 y n 5 de eleentos iguales. P r(8,,,,, ) 8!!!!!! Cobinaciones Proseguios el estudio anteniendo la condición de que no hay repetición pero ahora aditiendo que no iporta el orden en que estén situados los objetos dentro de un grupo. Definición 7.. Sea un conjunto forado por eleentos distintos. Recibe el nobre de cobinación siple de orden n o n-aria de esos eleentos (n ), cada grupo forado por n eleentos toados de los, y tal que dos cobinaciones se considerarán distintas si difieren en alguno de sus eleentos. En las cobinaciones no influye el orden de colocación, dos cobinaciones son la isa si contienen los isos eleentos colocados en distinto orden. Teorea 7.. El total de cobinaciones siples de orden n que pueden forarse con los eleentos de un conjunto dado, es C,n! n!( n)! Deostración.Dada una cobinación de orden n, se obtienen todas las variaciones del iso orden perutando de todas las aneras posibles los eleentos de aquéllas. se tendrá entonces C,n P n V,n y por tanto Multiplicando nuerador y denoinador por C,n V,n ( )( ) ( n + ) P n n! ( n)! ( n)( n ) 3 Obteneos C,n! n!( n)! Ejeplo 7.. Cuantos grupos de 5 alunos pueden forarse con los treinta alunos de una clase. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo enos en un aluno) 8

12 No iporta el orden (son grupos de alunos). No puede haber dos alunos iguales en un grupo evidenteente, luego sin repetición. C 3,5 Por tanto, se pueden forar 456 grupos distintos. 3! 5!(3 5)! Núeros Cobinatorios Definición 8.. Sean y n núeros enteros tales que n. Se denoina núero cobinatorio o coeficiente binóico, al cociente! n!( n)! que se representa por y se lee sobre n. n Los núeros y n se llaan, respectivaente, índice superior e índice inferior del núero cobinatorio. Los núeros cobinatorios presentan algunas propiedades uy interesantes que justifican el aplio uso que se hace de ellos en algunas raas científicas. Propiedades. Por definición C,n! n!( n)! n y teniendo en cuenta que por convenio! y que!, podeos considerar los siguientes casos particulares: C, C,!!( )!!!( )!. Dos núeros cobinatorios son iguales si sus índices superiores son iguales y la sua de los inferiores es igual al índice superior: ( ) ( ) n n o bien C,n C, n En efecto: n ( )! n!( n)!! [ ( n)]! ( n)! n Los núeros cobinatorios que tienen esta fora reciben el nobre de núeros copleentarios. 9

13 3. La sua de dos nueros cobinatorios cuyos indices superiores son iguales y los inferiores difieren en una unidad es igual a otro nuero cobinatorio cuyo índice inferior es el ayor de los dos indices inferiores y cuyo índice superior supera en una unidad al índice superior de los suandos. ( ) ( ) ( ) + o bien C,n C,n + C,n n n n En efecto, se tiene ( ) ( ) + n n ( )! n! ( n)! + ( )! ( )! ( n) + ( )! n (n )! ( n)! n! ( n)! ( )! n! ( n)!! n! ( n)! n Esta propiedades quedan reflejadas en el llaado triangulo de Tartaglia. En el siglo XVI, el italiano Niccolò Tartaglia propuso un triángulo regular de núeros tales que: Todas las filas del triángulo coienzan y terinan por la unidad, y son siétricas con respecto al valor central. Cada núero del triángulo es igual a la sua de los dos situados encia de él (salvo los extreos). La sua de todos los eleentos de cada fila coincide con el valor, siendo el orden de la fila. Tabién podeos escribir ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 3) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 3 4) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( ) ( 5) ) ( 6 6) 4. Aplicando reiteradaente la propiedad anterior, se llega a la expresión siguiente. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 n n n n n n n n

14 9. Cobinaciones con repetición Coenzaos con un ejeplo: En una confitería se venden 3 tipos de pasteles diferentes. De cuántas foras se pueden coprar 4 pasteles? Coo se puede apreciar este problea tiene otra estructura que los ya resueltos. No se trata de una variación porque el orden en que se dispongan los pasteles en una caja es indiferente. Por esta razón la naturaleza del problea se halla ás cerca de las cobinaciones que de las variaciones, sin ebargo en las uestras de este experiento los eleentos pueden aparecer repetidos. Estaos en presencia de un caso especial de las cobinaciones conocido coo cobinaciones con repetición. Para una ejor coprensión del problea considereos una vez ás el conteo. Foreos para ello las uestras que coponen este experiento; considerando el conjunto forado por las letras {a, b, c} coo los tipos de pasteles. Forando todas las uestras de tres pasteles, obtendríaos el siguiente resultado: aaaa, aaab, aaac, aabb, aabc, aacc, abbb, abbc, abcc, accc, bbbb, bbbc, bbcc, bccc, cccc. Mediante conteo podeos ver que hay 5 agrupaciones diferentes. En este experiento la diferencia entre las uestras no está en el orden sino que difieren, por lo enos, en un eleento. Es preciso observar que los eleentos pueden repetirse en una uestra. Definición 9.. Sea un conjunto forado por eleentos todos ellos distintos entre sí. Recibe el nobre de cobinaciones con repetición de orden n de eleentos, cada grupo forado por n eleentos, distintos o repetidos, toados de los dados. El total de esos grupos ordenados se indica por CR,n Las características que destacan los rasgos de este concepto son: Los grupos no difieren en el orden entre sus eleentos. Los eleentos se pueden repetir en los grupos. Teorea 9.. El núero de cobinaciones con repetición de orden n que pueden forarse con los de eleentos de un conjunto dado, es ( ) + n CR,n n ( + n )! n!( )! C +n,n Obsérvese que el orden n puede ser ayor que el núero de eleentos del conjunto dado. Coo se ha visto en el ejeplo que sirve de introducción a esta sección. En lo sucesivo esta fórula nos peritirá el cálculo de las cobinaciones con repetición.

15 Ejeplo 9.. Cuántas fichas tiene el juego del doinó? Una ficha de doinó es un rectángulo en el que hay dos partes, en cada una de ellas hay una serie de puntos que indican la puntuación de esa parte. Estas puntuaciones van de blanca ( puntos) a 6. Teneos pares de puntuaciones de a 6. El total de fichas será: ( ) 7 + CR 7, ( ) 8 8!!6! 8. Aplicaciones. Binoio de Newton Teorea.. Si x e y son dos variables y un entero positivo, entonces se verifica que (x+y) x + ( ) x y+ ( ) x y + + ( ) ( ) x y + y k x k y k k Deostración. (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) al realizar esta ultiplicación se toará un solo terino de cada uno los factores y el coeficiente del térino general x k y k, con k, se obtendrá toando ( x, ) de todas las foras posibles, en k de los paréntesis que teneos. Es decir : C,k. k Por ejeplo (x + y) 3 Observación.. ( ) 3 x 3 + ( ) 3 x y + ( ) 3 x y + ( ) 3 y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 3 Coo los coeficientes del binoio de Newton son núeros cobinatorios cuplirán las propiedades de estos núeros, enunciadas anteriorente, y su cálculo se podrá realizar ediante la técnica del triángulo de Tartaglia. Si el desarrollo binoio de Newton escribios ( y) en lugar de y, teneos: (x+( y)) (x y) x ( ) x y+ +( ) k ( k ( ( ) k k k Si en (x + y) haceos x y, resulta: ( + ) + + ) x k y k ( ) ( ) es decir, la sua de los coeficientes del desarrollo (x + y) vale. ) x k y k + +( ) y

16 Si en (x y) haceos x y, teneos: ( ) ( ) ( ) + o lo que es igual. Fórula de Leibnitz ( ) ( ) Teorea.. Si x, y, z son tres variables y un entero positivo, entonces se verifica: (x + y + z)! α! β! γ! xα y β z γ, con α + β + γ Deostración. Dado que (x + y + z) [x + (y + z)] podeos aplicar el teorea del binoio de Newton: (x + y + z) [x + (y + z)] α x α (y + z) α α α ( α )x α α α y β z α β β Los dos signos suatorios indican dos polinoios. El producto de dos polinoios es otro polinoio y el producto de los dos núeros cobinatorio es: ( ) ( ) α! α β α! ( α)! ( α)! β! ( α β)!! α! β! γ! siendo γ α β o bien α + β + γ, adeás α, β, γ pueden variar independienteente β unos de otros, siepre y cuando su sua sea. Esa fórula puede generalizarse a cualquier núero de variables. Ejeplo.. Calculeos (x + y + z) 4. En prier lugar, descoponeos 5 en 3 suandos para obtener los coeficientes del desarrollo: Entonces , 4! 4!!! , 4! 3!!! , 4!!!! , 4!!!! (x + y + z) 4 x 4 + y 4 + z (x 3 y + x 3 z + y 3 x + y 3 z + z 3 x + z 3 y) + 6(x y + x z + y z ) + (x yz + y xz + z xy) 3

17 3. Soluciones enteras de una ecuación. Usareos las cobinaciones con repetición para deterinar el núero de soluciones enteras de una ecuación. Observación.. Las siguientes proposiciones son equivalentes: El núero de soluciones de la ecuación x + x + + x n r, x i, i n El núero de selecciones, con repetición de taaño r de una colección de taaño n. El núero de aneras de distribuir r objetos idénticos entre n destinatarios distintos. Ejeplo.. Calcula el núero de soluciones enteras de la ecuación: x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 4 con x i, i, i 8. Calcular las soluciones de la ecuación dada es equivalente a calcular las soluciones no negativas de la ecuación: x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 8 donde x i x i. Que será: ( ) CR 8,8 8 ( ) 5 5! 8 7!8! 6435 Este ejeplo es equivalente a resolver el siguiente problea: Una tienda vende ocho tipos de objetos. De cuántas foras distintas se pueden elegir 4 objetos de odo que haya dos de cada tipo?.. Resuen Variaciones : Sin repetición: Interviene el orden, en cada agrupación el núero n de eleentos es enor que el núero total de eleentos y su fórula es: V,n ( )( ) ( n + )! ( n)! Con repetición: Interviene el orden n <, n > y su fórula es: V R,n n 4

18 Perutaciones : Sin repetición: Interviene el orden, n y su fórula es: P! Cobinaciones : Con repetición: Interviene el orden, n y su fórula es: P r(, n, n,..., n k )! n! n! n k! Sin repetición: No Interviene el orden,n y su fórula es: C,n n! n! ( n)! Con repetición: No interviene el orden y su fórula es: ( ) + n CR,n n Referencias [] E. Bujalance, J.A. Bujalance, A.F. Costa, E. Martínez, Eleentos de Mateática Discreta, Sanz y Torres, Madrid, 993. [] F. García, Mateática Discreta, Thoson, Madrid, 5. [3] R.L. Grialdi, Mateática discreta y cobinatoria. Una introducción con aplicaciones, Prentice- Hall, México, 998. [4] T. Veerarajan, Mateáticas discretas. Con teoría de gráficas y cobinatoria., Mc Graw Hill, México, 8. 5