Oscilaciones Acopladas

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Ángel Emilio Ramírez Miranda
hace 5 años
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1 Oscilaciones Acopladas Nicolás Raonda Hugo Pallaoro Laboratorio Física - FICEN Universidad Favaloro Se construyó un sistea de asas resortes acoplados por un tercer resorte. Cada asa estaba sujeta a sensores de fuerza conectados a una coputadora lo que peritió estudiar el coportaiento del sistea en tiepo real. Esto ayudó a deterinar las condiciones iniciales que optiizan el traspaso de energía. Introducción La actividad tuvo coo objetivo describir experientalente el ayor traspaso de energía en un sistea de dos osciladores. Las variables estudiadas fueron la distancia entre resortes y la cantidad de vueltas en las que se encuentra el acople del sistea. Toaos coo odelo el sistea forado por dos resortes, de constante de elasticidad k, con una asa en uno de sus extreos libres. El acoplaiento se efectuó uniendo los resortes ediante otro de constante k c. Aplicaos la segunda ley de Newton para cada uno de los resortes por separado, y escribios las ecuaciones del oviiento en fora de ecuaciones diferenciales de segundo orden: x = k x + k c (x x x = k x k c (x x ) ) () () donde x y x son los desplazaientos de cada una de las asas a partir de su posición de equilibrio; k es la constante de elasticidad de los resortes que sostienen asa y k c del resorte que une a éstos. Suando y restando () y () teneos, la ecuación diferencial de un Moviiento Arónico Siple. (x + x ) k + (x + x ) = 0 (x x ) k + k c + (x x ) = 0 que deterinan dos oviientos arónicos siples de frecuencias: ω ω b a = k = k + k c (3) (4) (5) (6) Oscilaciones Acopladas N. Raonda y Hugo Pallaoro UF 003

2 Las soluciones de estas dos ecuaciones, son respectivaente x = A sen(w a t+q )+ A sen(w b t+q ) x = A sen(w a t+q )+ A sen(w b t+q ) (7) (8) Donde las aplitudes A ij y las fases iniciales Q ij están deterinadas por las condiciones iniciales: posición inicial y velocidad inicial de cada una de las asas. De ellas obteneos la fórula teórica que verifica nuestras uestras. Se utilizo para edir un software que nos proporciona el voltaje (v n ) en para distintos valores de tiepo. Coo éstas son proporcionales a las fuerzas ( x α v y x α v ), trabajaos con X n. X n = A n sen(w a t+q n )+ A n sen(w b t+q n ) (9) De aquí obteneos nuestros datos a analizar: la frecuencia. Desarrollo Se construyo un sistea copuesto por dos resortes (A y B) de igual constante de elasticidad, unidos por otro resorte (C). Los resortes A y B se los conecta a dos sensores de fuerza que nos dan coo dato el voltaje independiente de cada uno de ellos en función del tiepo (t) y en sus extreos libres se le colocan las asas de igual agnitud coo se uestra en la Figura. d sensores de b A C B MP Figura : Diseño del sistea estudiado. A y B resortes de igual k, C resorte de acoplaiento con k c. b es la distancia equivalente a n vueltas de resorte y d es la distancia entre resortes. Al aplicar una fuerza sobre uno de los resortes, el sistea pierde el equilibrio, coenzando a oscilar. Luego de un deterinado tiepo, se puede observar cóo el resorte, al cual se le aplicó una fuerza, pierde oviiento y el otro coienza a overse. Oscilaciones Acopladas N. Raonda y Hugo Pallaoro UF 003

3 Fijando la distancia d entre resortes en 9 centíetros y variando la distancia b, donde se coloca el resorte de acople, coparaos el ejor el traspaso de energía. Luego, realizaos la isa observación anteniendo la distancia d en 30 vueltas. Mediante un análisis de gráficos obtuvios la frecuencia, aplitud y velocidad angular. Para ello, ajustaos nuestras condiciones iniciales basándonos en el arco teórico brindado por la expresión de X n dada por (9). Resultados Representando los datos en gráficos y observando la frecuencia transcurridos los 00 segundos, decidios cual era el ejor traspaso de energía del sistea. Ésta está deterinada por los siguientes factores: variación de la cantidad de vueltas (5v, 0v, 5v, 30v); y distancia entre resortes (8c, 9c, 0c); conjuntos con la estabilidad del sistea, la cual se ve afectada al sobrepasar las 30 vueltas. Para representar la coparación entre acoples para la variación de vueltas, a d = 9c constante, generaos un gráfico que incluye a los valores de Xa, corridos en unidades de x, para una ejor visualización. En la Figura se uestra la gráfica de ésta coparación. Xa Coparación de acoples a d constante. b(v) = 5 b(v) = 0 b(v) = 5 b(v) = t [seg] Figura : Representación de los Xa(t) para diferentes valores de vueltas de resorte, corridos en unidades enteras, para poder ser visualizados con ayor facilidad. La distancia de acople b, se ide en núero de vueltas, edidas a partir del extreo superior del resorte. Al representar la coparación entre acoples para la variación de distancias entre resortes, fijaos la cantidad de vueltas con el ejor traspaso de energía encontrado. Graficaos Xa variando, de la isa anera, los datos originales para optiizar la gráfica que facilite la coparación. (Véase Figura 3). Oscilaciones Acopladas N. Raonda y Hugo Pallaoro UF 003 3

0.5 Coparación de acople para b constante 0.45 0.

4 0.5 Coparación de acople para b constante d = 0 c Xa d = 8 c d = 9 c T [seg] Figura 3: Representación de Xa(t) variando los datos en unidades de x, para obtener una ejor visión y facilitar la coparación. Figura 4: Gráfica del traspaso de energía. Incluye coo guía la Xn para cada una de los n graficada en el intervalo de tiepo (0,40) en segundos. Oscilaciones Acopladas N. Raonda y Hugo Pallaoro UF 003 4

5 Para efectuar un ejor análisis de los datos obtenidos, calculaos las transforadas de Fourier para cada una de nuestras uestras. De esta fora obteneos las gráficas de aplitud en función de la frecuencia, lo cual facilita su lectura y coparación. Coo puede notarse en la gráfica 5, las frecuencias están casi superpuestas y abas tienen un valor aproxiado de. Hz. Para el caso de la figura 6, donde el valor de la distancia b(v) = 5 vueltas, puede observarse que la diferencia de frecuencias es de aproxiadaente 0.6 Hz.(f =.,f =.7) En la figura 7, correspondiente a una distancia de b(v)=0 vueltas de resorte, la diferencia de frecuencias es de aproxiadaente 0.4 Hz. (f=.,f=.5). Por últio, en la figura 8, correspondiente a una distancia de b(v)=30 vueltas de resorte, notaos que la diferencia de frecuencias es de aproxiadaente 0.8 Hz. (f =.,f =.9) Aplitud Aplitud frecuencia Figura 5: Gráfica de la frecuencia a distancia b(v)=5 vueltas de resorte. Conclusión Figura 6: Representación de la frecuencia para el valor de distancia b(v)=5 vueltas de resorte. De la ecuación (3) veos que el oviiento general de dos osciladores acoplados puede considerarse coo la superposición de dos odos norales de oscilación de frecuencias angulares w a y w b. Con el análisis de frecuencias podeos decir que la transferencia de energía será ayor a ayor distancia b, o sea cuando el resorte que se usa de acople, está ás cerca de las asas. De la Figura y 3, veos que el ayor traspaso de energía se da en la cobinación: 30 vueltas, 0 c, graficado en la Figura 4; (cercano al líite que ipone el sistea). Para una cantidad ayor de vueltas (v > 30) o distancia (d > 0 c), el sistea colapsa, ropiendo frecuencia la oscilación arónica. Oscilaciones Acopladas N. Raonda y Hugo Pallaoro UF 003 5

6 De los resultados obtenidos podeos afirar que el ejor traspaso de energía depende de la posición del resorte C y de la estabilidad del sistea Frecuencia a 0v Figura 7: Representación de la frecuencia para el valor de distancia b(v)=0 vueltas de resorte Aplitud Aplitud frecuencia a 30v frecuencia frecuencia Figura 8: Representación de la frecuencia para el valor de distancia b(v)=30 vueltas de resorte. Bibliografía. Vibraciones ecánicas - W. W. Seto - Schau Serie- Mc Graw Hill Panaá Coupled haronic oscillators ade easy, Antonino Carnevali and Cynthia L. Newton Phys. Teach. 38, 503 (000). 3. The coupled haronic oscillator: Not just for seniors anyore, Norris W. Preyer Phys. Teach. 34, 5 (996) Oscilaciones Acopladas N. Raonda y Hugo Pallaoro UF 003 6

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