2. Subespacios vectoriales

Transcripción

1 8 CÉSAR ROSALES GEOMETRÍA I 2. Subespacios vectoriales Una vez definido el concepto de espacio vectorial vaos a introducir otra de las nociones fundaentales de esta asignatura: la de subespacio vectorial. Intuitivaente, si V es un e.v. sobre un cuerpo K, yu es un subconjunto de V,parecelógicodecirqueU es un subespacio vectorial de V si U hereda de fora natural la estructura de e.v. de V,esdecir,sepuede definir en U una estructura de e.v. sobre K apartirdelaestructurayaexistenteenv.en esta sección nos ocupareos de estudiar esta noción, así coo de ostrar varios ejeplos y étodos de construcción de subespacios vectoriales Definición, caracterizaciones y ejeplos. Definición 2.1. Sea V un e.v. sobre un cuerpo K. Coo siepre, denotareos por + y por alasuadevectoresyalproductodeescalaresporvectoresenv.seau V un subconjunto de V no vacío. Direos que U es un subespacio vectorial (s.v.) o una subvariedad lineal de V si las operaciones + y de V se pueden restringir a U de fora que, con ellas, U es a su vez un e.v. sobre K. Estosignificaquesecuplenexactaenteestaspropiedades: (i) si u, v U, entoncesu + v U (U es cerrado para +), (ii) si a K y u U, entoncesa u U (U es cerrado para ), (iii) las operaciones en U definidas en (i) y (ii) cuplen todas las propiedades de e.v. En definitiva, U es un s.v. de V si es un e.v. sobre K con las operaciones de V restringidas. La definición anterior aunque es clara no es uy práctica, pues hay que coprobar nuerosas propiedades. No obstante, vaos a deostrar que es suficiente con verificar (i) y (ii) para tener un s.v., lo cuál resultará ucho ás sencillo al aplicarlo sobre ejeplos concretos. Proposición 2.2. Sea V un e.v. sobre un cuerpo K y U V, U =. Entonces U es un s.v. de V si y sólo si se cuplen estas propiedades: (i) si u, v U, entonces u + v U, (ii) si a K y u U, entonces a u U. Deostración. Supongaos priero que U es un s.v. de V.PordefiniciónteneosqueU cuple (i), (ii) y (iii) por lo que, en particular, cuple (i) y (ii). Recíprocaente, supongaos que U cuple (i) y (ii). Quereos ver que U es un s.v. de V.Porladefinición,bastaverquesecuple(iii),esdecir,quelasrestriccionesde+ y a U cuplen todas las propiedades de la definición de e.v. Veaos que la sua + en U (obtenida al restringir la sua en V )esasociativa.esto significa que (u + v) +w = u +(v + w), paracadau, v, w U. Ahora,estoesinediato, pues sabeos que esta igualdad se cuple para cualesquiera u, v, w V (por ser V un e.v.). Análogaente se coprueba que la sua en U es conutativa. Ahora nos preguntaos si la sua de U tiene un neutro, es decir, buscaos e U tal que u + e = e + u = u, paracadau U. Siprobaosqueelvector0 de V está en U, entonces bastará toar e =0(por ser 0 el neutro de la sua en V ). Para probar que 0 U basta con toar cualquier u U yobservarque0=0 u. Usando(ii)sesigueque0 U. Veaos que la sua de U tiene opuestos. Sea u U. Quereosencontrarv U tal que u + v = v + u =0.Siprobaosque u (el opuesto de u en V )estáenu, entoncesbastará toar v = u yhabreosacabado.peroestoesconsecuenciade(ii),pues u =( 1) u. Las propiedades que quedan por coprobar (pseudoasociativa, uniodular y distributivas) se deuestran igual que la asociativa y la conutativa de la sua. Concretaente, coo

2 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES 9 estas propiedades son válidas en V,ylasoperacionesqueconsideraosenU se obtienen al restringir las de V,entoncestabiénsecuplenenU. Nota 2.3 (Criterio del vector nulo). En la deostración anterior se ha puesto de anifiesto este hecho: si U es un s.v. de V,entonces0 U. Estosignificaquetodoslossubespacios vectoriales de un e.v. deben contener forzosaente al vector cero. En particular, podeos afirar que si 0 / U, entoncesu no es un s.v. de V. Ejeplo 2.4. El criterio anterior nos dice que la propiedad de ser s.v. es restrictiva. De hecho, dentro de un e.v. hay pocos subespacios vectoriales. Por ejeplo, en R 2 algunos subconjuntos sencillos coo la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 =1olarectadeecuación y = x +1no son subespacios vectoriales, pues no contienen al vector nulo de R 2. Un error frecuente a la hora de aplicar el criterio del vector nulo consiste en afirar que si 0 U entonces U es un s.v. Esta afiración NO es cierta en general. Veaos un ejeplo. Ejeplo 2.5. En R 2 toaos el subconjunto U = {(0, 0), (1, 0)}. EsclaroqueU contiene al vector nulo en R 2.SinebargoU no es un s.v. de R 2.Estosepuedeprobardevariasaneras. Una consiste en darse cuenta de que U tiene dos vectores y sabeos que todo e.v. real con ás de un vector debe tener infinitos vectores. Otra prueba: si toaos u =(1, 0) U, entonces 2 u =(2, 0) / U, conloquefallalapropiedad(ii)enladefinicióndes.v. El siguiente ejeplo servirá para poner de anifiesto la relevancia del cuerpo K cuando hablaos de subespacios vectoriales. Ejeplo 2.6. Sabeos que C es un e.v. real y un e.v. coplejo. Veaos que abas estructuras de e.v. son uy diferentes, al enos en lo que a subespacios vectoriales se refiere. Sea U = {bi/b R} la failia de núeros coplejos iaginarios (aquellos cuya parte real se anula). Afiraos que U es un s.v. de C cuando consideraos la estructura de e.v. real. Para probarlo usaos la Proposición 2.2. Sean u = bi y v = b i vectores en U. Entonces u + v =(b + b ) i, queestáenu. Delisoodo,siu = bi U y a R, entonces a u =(a b) i, queestáenu. Sinebargo,U no es un s.v. de C con la estructura de e.v. coplejo. En efecto; si lo fuera, se debería cuplir que a u U para cada a C ycada u U. Paraverqueestapropiedadfalla,bastatoara = i C y u = i U; dehecho,se cuple a u = i i = i 2 = 1 / U. Antes de exponer varios ejeplos de subespacios vectoriales vaos a deostrar una nueva caracterización que, de algún odo, unifica las propiedades (i) y (ii) vistas anteriorente. Proposición 2.7. Sea V un e.v. sobre un cuerpo K y U V, U =. Entonces U es un s.v. de V si y sólo si se cuple esta propiedad: (2.1) a u + b v U, para cada a, b K y cada u, v U. Deostración. Si U es un s.v. de V entonces sabeos, por definición, que se cuplen las propiedades (i) y (ii). Vaos a deducir a partir de ellas la propiedad escrita en (2.1). Sean a, b K y u, v U. Porlapropiedad(ii)sabeosquea u y b v están en U. Porlapropiedad (i) sabeos que la sua de a u y b v está en U, estoes,a u + b v U, coosequería. Recíprocaente, supongaos que se cuple (2.1). Quereos ver que U es un s.v.de V.Por la Proposición 2.2 es suficiente con ver que se satisfacen (i) y (ii). Sean u, v U. Nospreguntaos si u+v U. Paraello,nótesequeu+v =1 u+1 v, dedondeu+v U gracias a (2.1). Sean a K y u U. Veaosquea u U. Paraello,nótesequea u = a u +0 = a u +0 u, de donde a u U gracias nuevaente a (2.1).

3 10 CÉSAR ROSALES GEOMETRÍA I Ejeplo 2.8 (Subspacios vectoriales ipropios). Sea V un e.v. sobre K. Entonces V tiene siepre dos subespacios vectoriales especiales, que son U = {0} y U = V.Estossubespacios se llaan ipropios. Todo s.v.de V que no sea uno de los anteriores se llaará propio. Ejeplo 2.9 (Rectas y planos). Usando la Proposición 2.2 es fácil coprobar que en F 2 las rectas que pasan por el origen son subespacios vectoriales de F 2.Análogaente,lasrectas yplanosdef 3 que pasan por el origen son s.v. de F 3.Lasrectasyplanosquenocontienen al origen no son s.v. de F 3 :sellaansubespacios afines y se estudiarán en Geoetría III. Ejeplo 2.10 (Subespacio de soluciones de un SEL hoogéneo). Sea K un cuerpo. Considereos el siguiente SEL con coeficientes en K: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b Sea U el subconjunto de K n forado por todas las soluciones del SEL. Una condición necesaria para que U sea un s.v. de K n es que (0,...,0) U. Ahora,estoocurrirásiysólosi b 1 =...= b =0,esdecir,elSELeshoogéneo.Entalcaso,noesdifícilverificarediante la Proposición 2.7 que U es un s.v. de K n,alquellaareossubespacio de soluciones del SEL. Con ás detalle, supongaos que a, b K y u =(α 1,...,α n ),v =(β 1,...,β n ) U. Quereos ver que el vector a u + b v =(a α 1 + b β 1,...,a α n + b β n ) está en U. Fijaos un índice i =1,...,n ycoprobaosquesecuplelaecuacióni-ésia. Para ello: a i1 (a α 1 + b β 1 )+...+ a in (a α n + b β n ) = a (a i1 α a in α n )+b (a i1 α a in α n )=0, donde se han usado propiedades del cuerpo K, asícooqueu, v U. Estopruebaque a u + b v es solución de todas las ecuaciones del SEL, es decir, a u + b v U. La oraleja que podeos extraer de este ejeplo es la siguiente: las soluciones de un SEL hoogéneo no se distribuyen de cualquiera anera dentro de K n,sinoquelohacendefora que resulte un s.v. de K n.volvereosaestacuestiónásadelantecuandohableosdelas ecuaciones cartesianas de un s.v. de K n. Nota En general, si teneos un sistea hoogéneo de ecuaciones no lineales con coeficientes en K y n incógnitas, entonces el conjunto de soluciones U puede ser o no un s.v. de K n (aunque siepre contendrá al vector nulo por ser el sistea hoogéneo). Por ejeplo U = {(x, y) R 2 /x 2 y =0} no es un s.v. de R 2.Estosedebeporejeploaquelos vectores u =(1, 1) y v =(2, 4) están en U, ientrasqueu + v =(3, 5) no lo está. Por otro lado, U = {(x, y) R 2 /x 2 + y 2 =0} = {(0, 0)}, quesíesuns.v.der 2. Ejeplo 2.12 (Matrices siétricas y antisiétricas). Sean, n N y K un cuerpo. Dada una atriz A =(a ij ) en M n (K), sedefinelaatriz traspuesta de A coo la atriz A t en M n (K) cuyas filas son las colunas de A. Estosignificaqueelescalarenlaposiciónij de A t es a ji,esdecir,a t =(a ji ).Apartirdeladefiniciónesfácilcoprobarquelatrasposición de atrices cuple estas propiedades: 1) (A + B) t = A t + B t,paracadaa, B M n (K), 2) (a A) t = a A t,paracadaa K ycadaa M n (K), 3) (A t ) t = A, paracadaa M n (K). En efecto; si llaaos C = A + B, sabeosquec ij = a ij + b ij.deesteodo,elescalarij de C t es c ji = a ji + b ji.portanto,(a + B) t = C t =(a ji )+(b ji )=A t + B t.estoprueba1). Llaeos ahora C = a A. Sabeosquec ij = a a ij.así,eleleentoij de C t es c ji = a a ji. Por tanto (a A) t = C t =(a a ji )=a (a ji )=a A t.estoprueba2).finalenteprobaos

4 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES 11 3). Llaeos C = A t.sabeosquec ij = a ji.así,eleleentoij de C t es c ji = a ij.deaquí se concluye que C t = C. Las propiedades 1) y 2) se resuen diciendo que la trasposición de atrices es lineal (esta terinología se aclarará en el tea 3). En lo sucesivo trabajareos en el espacio M n (K) de las atrices cuadradas de orden n con coeficientes en K. DireosqueunaatrizA =(a ij ) en M n (K) es siétrica si A t = A (nótese que esto sólo tiene sentido para atrices cuadradas). Esto significa que a ji = a ij, para cada i, j =1,...,n,esdecir,nohayningunarestricciónsobreloseleentosdiagonales a ii pero la parte de la atriz por debajo de la diagonal principal coincide con la parte por encia de la diagonal principal. Ejeplos de atrices siétricas son la atriz nula 0 n yla atriz identidad I n.dehecho,todaatrizdiagonalessiétrica. Direos que una atriz A =(a ij ) en M n (K) es antisiétrica si A t = A. Estosignifica que a ji = a ij,paracadai, j =1,...,n,esdecir,lapartedelaatriz pordebajodela diagonal principal es opuesta a la parte por encia de la diagonal principal. Adeás, si K es un cuerpo donde 2 = 0,siendo2=1+1 K (esto ocurre por ejeplo en Q, R o C), entonces a ii =0para cada i =1,...,n.Laatriz0 n es antisiétrica, ientras que I n no lo es. En general, una atriz A M n (K) no será siétrica ni antisiétrica. Denotareos S n (K) ={A M n (K) /A t = A} y A n (K) ={A M n (K) /A t = A}. Se cuple que S n (K) y A n (K) son s.v. de M n (K). LocoprobareossolaenteparaS n (K) (la prueba para A n (K) es análoga y se deja coo ejercicio). Para ello epleareos la Proposición 2.7. Sean a, b K y A, B S n (K). Quereosverquea A + b B S n (K), es decir, (a A + b B) t = a A + b B. Estoesciertoporlasiguientecadenadeigualdades: (a A + b B) t =(a A) t +(b B) t = a A t + b B t = a A + b B, donde heos usado las propiedades 1) y 2) de la trasposición de atrices, así coo las igualdades A t = A y B t = B que se tienen porque A, B S n (K). Ejeplo 2.13 (Polinoios de grado enor o igual que n). Sea K un cuerpo. Recordeos que K[x] es el e.v. sobre K cuyos vectores son los polinoios en la variable x con coeficientes en K. Paracadan N, denotaos: K n [x] ={p(x) K[x] / grado(p(x)) n} = {a 0 + a 1 x a n x n /a i K, i =0,...,n}. Veaos que K n [x] es un s.v. de K[x]. Usareos la Proposición 2.7. Sean a, b K y p(x),q(x) K n [x]. Siescribiosp(x) =a 0 +a 1 x+...+a n x n y q(x) =b 0 +b 1 x+...+b n x n, entonces es claro que: a p(x)+b q(x) =(a a 0 + b b 0 )+(a a 1 + b b 1 ) x +...+(a a n + b b n ) x n, que claraente está en K n [x]. Ejeplo 2.14 (Subespacio de sucesiones convergentes). Sea F (N, R) el e.v. real de las sucesiones de núeros reales. Sea U F (N, R) el subconjunto forado por las sucesiones convergentes. En Cálculo I se ha probado (o se probará) que U es un s.v. de F (N, R). Ejeplo 2.15 (Subespacios de funciones continuas y derivables). Sea F (A, R) el e.v. real de las funciones f : A R. DentrodeF (A, R) consideraos los subconjuntos U y W forados por las funciones continuas y derivables, respectivaente. En Cálculo I y Cálculo II se probará que U y W son subespacios vectoriales de F (A, R). Ejeplo 2.16 (Subespacios de funciones integrables). Sea F ([a, b], R) el e.v. real de las funciones f :[a, b] R. DentrodeF ([a, b], R) consideraos el subconjunto U forado por las funciones acotadas e integrables. En Cálculo II se probará que U es un s.v. de F ([a, b], R).

5 12 CÉSAR ROSALES GEOMETRÍA I 2.2. Subespacio generado por una failia de vectores. En esta sección ostrareos un étodo para construir de fora rápida subespacios vectoriales de cualquier espacio vectorial. Epezareos tabién a vislubrar la idea fundaental en la teoría de espacios vectoriales consistente en que una cantidad finita de vectores puede generar todo un espacio vectorial. Coenzareos con un ejeplo otivador. En R 3 consideraos el subconjunto dado por U = {(x, y, z) R 3 /x 2y +3z =0}. Coo U es el conjunto de soluciones de una ecuación lineal hoogénea entonces U es un s.v. de R 3 (de hecho, sabeos por la enseñanza secundaria que una ecuación cartesiana no trivial con tres incógnitas define un plano en R 3 ). Nos preguntaos ahora cóo se pueden describir expresaente todos los vectores de U. Estonos lleva a calcular todas las soluciones de la ecuación x 2y +3z =0.Siponeosy = λ y z = µ, entoncesx =2λ 3µ. Portanto,todoslosvectoresdeU son de la fora (x, y, z) con x =2λ 3µ, y = λ y z = µ, conλ, µ R. Dichodeotroodo: U = {(2λ 3µ, λ, µ) R 3 /λ,µ R}, que nos da una descripción de los vectores de U en función de los paráetros reales λ y µ. Ahora, si en la expresión de los vectores de U separaos los paráetros, teneos que: (2λ 3µ, λ, µ) =(2λ, λ, 0) + ( 3µ, 0,µ)=λ (2, 1, 0) + µ ( 3, 0, 1). La últia igualdad nos perite expresar U coo: U = {λ (2, 1, 0) + µ ( 3, 0, 1) /λ,µ R}. Esto significa que U está forado exactaente por los vectores de R 3 que se obtienen a partir de dos de ellos, el (2, 1, 0) yel( 3, 0, 1), cuandolosultiplicaosporescalaresreales ysuaos.dichodeotroodo,usandosololosvectores(2, 1, 0) y ( 3, 0, 1) podeos recuperar o generar los deás vectores de U ediante la sua y el producto por escalares (las operaciones de R 3 coo espacio vectorial real). Tiene sentido entonces decir que U es el plano vectorial generado por (2, 1, 0) y ( 3, 0, 1). NoesdifícildibujarestasituaciónenF 3 para tener una visión geoétrica de lo que estaos haciendo. Lo anterior sirve coo otivación para las siguientes definiciones. Definición Sea V un e.v. sobre un cuerpo K y S = {v 1,...,v } una failia finita no vacía de vectores de V. Una cobinación lineal (c.l.) de S es cualquier vector de V obtenido al ultiplicar cada v i por un escalar a i K ydespuéssuarlosvectoresresultantes.dicho de otro odo, es un vector de V dado por: a 1 v a v, donde a i K, i =1,...,. Llaareos L(S) al subconjunto de V forado por los vectores obtenidos coo c.l. de S: L(S) =L(v 1,...,v )={a 1 v a v /a i K, i =1,...,}. Por tanto, dado v V,setienequev L(S) si y sólo si existen escalares a 1,...,a K tales que v = a 1 v a v. Cuando S V es cualquier failia no vacía de vectores definios L(S) coo el subconjunto de V forado por cobinaciones lineales finitas de vectores de S. Esdecir: L(S) ={a 1 v a v / N, v i S, a i K, i =1,...,}. Ejeplo Si toaos los vectores de R 3 dados por u =(1, 0, 0) y v =(0, 0, 1),entonces L(u, v) ={a u + b v/a,b R} = {(a, 0,b) /a,b R}. Nótese que el conjunto S no tiene por qué ser un s.v. de V (a lo ejor ni siquiera contiene al vector nulo). Sin ebargo, probareos enseguida que L(S) sí es un s.v. De hecho, es el s.v. de V ás pequeño que contiene a S y, por tanto, el ás próxio a S en cierto sentido.

6 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES 13 Proposición Sea V un e.v. sobre K y S V con S =. Entonces L(S) es un s.v. de V con S L(S). Adeás, si U es un s.v. de V con S U, entonces L(S) U. Deostración. Para coprobar que L(S) es un s.v. de V usareos la Proposición 2.7. Sean a, b K y u, v L(S). PordefinicióndeL(S) podeos expresar u y v coo cobinaciones lineales finitas de vectores de S. Estosignificaqueu = a 1 u a u para ciertos N, u 1,...,u S y a 1,...,a K, ientrasquev = b 1 v b n v n para ciertos n N, v 1,...,v n S y b 1,...,b n K. Portanto: a u + b v = a (a 1 u a u )+b (b 1 v b n v n ) =(a a 1 ) u (a a ) u +(b b 1 ) v (b b n ) v n, donde heos usado la propiedad distributiva respecto de la sua de vectores y tabién la pseudoasociativa. Nótese que la expresión anterior es una c.l. de + n vectores de S. Concluios por tanto que a u + b v L(S), coosequería. Veaos que S L(S). Dadov S, paraverquev L(S) teneos que expresar v coo c.l. finita de vectores de S. Peroestoesobvio,yaquev =1 v por la propiedad uniodular. Por últio, supongaos que U es un s.v. de V con S U. QuereosverqueL(S) U. Sea v L(S). Estoiplicaquev = a 1 v a v para ciertos N, v 1,...,v S y a 1,...,a K. Coo U es un s.v. de V ycadav i U se sigue que v U (U es cerrado para la sua y el producto por escalares). Esto concluye la deostración. Ahora ya podeos introducir la siguiente definición. Definición Sea V un e.v. sobre K y S V con S =. Llaareossubespacio vectorial de V generado por S al subespacio vectorial L(S) forado por las cobinaciones lineales finitas de vectores de S. Ejeplo Si S = {v} entonces L(S) =L(v) ={a v/a K}. Cuando v =0entonces L(v) ={0}. Cuando v = 0el s.v. L(v) se llaa recta vectorial de V generada por v. Este nobre está justificado si se piensa que, cuando v F 3 con v = 0, entoncesl(v ) es la recta que sale del origen con vector director v Operaciones con subespacios vectoriales. Nos ocupareos ahora de construir un nuevo subespacio vectorial a partir de failias finitas de subespacios vectoriales. Coenzareos hablando de la intersección de subespacios. Definición Sea V un e.v. sobre K y {U 1,...,U } una failia finita de subespacios vectoriales de V.Laintersección de dicha failia es el subconjunto de V dado por: U i = U 1... U = {v V /v U i para cada i I}, i=1 que es claraente no vacío pues contiene al vector nulo. En el siguiente resultado se deuestra que la intersección es un s.v. de V. Lea Si V es un e.v. sobre K y {U 1,...,U } es una failia finita de subespacios vectoriales de V, entonces la intersección U = i=1 U i es un s.v. de V. Deostración. Usareos la Proposición 2.7. Sean a, b K y u, v U. Quereosprobarque a u + b v U, esdecir,quea u + b v U i,paracadai =1,...,.Ahora,coou, v U, entonces u, v U i,paracadai =1,...,. Coo cada U i es un s.v. de V se concluye que a u + b v U i,paracadai =1,...,,coosequeríadeostrar.

7 14 CÉSAR ROSALES GEOMETRÍA I Nota La intersección U = i=1 U i es el ayor s.v. de V que está contenido a la vez en cada U i. En efecto, si W es otro s.v. de V de anera que W U i,paracadai =1,...,, entonces es obvio que W U por definición de intersección. 2. Con una prueba análoga se deuestra que la intersección de cualquier failia (no necesariaente finita) de subespacios vectoriales de V es un s.v. de V. Coo la intersección de subespacios vectoriales es un subespacio vectorial tiene sentido plantearse si lo iso ocurre con la unión. Dada una failia finita {U 1,...,U } de subespacios vectoriales de V,launión de dicha failia es el subconjunto de V dado por: U i = U 1... U = {v V /v U i para algún i I}. i=1 Nos preguntaos ahora si este conjunto es otro s.v. de V.Veaosconejeplosconcretos que la respuesta a la pregunta anterior puede ser afirativa o negativa. Ejeplo En F 3 la unión de un plano U que pasa por el origen y de una recta W U que pasa por el origen es igual a U, queesuns.v.def 3.Porotrolado,cadaejedecoordenadas es un s.v. de F 2 (es una recta que pasa por el origen). Sin ebargo, la unión de los dos ejes no lo es, pues si toaos u y v vectores no nulos con cada uno de ellos en un eje distinto entonces u + v no está en la unión de los ejes. Desde un punto de vista nuérico el ejeplo anterior es el siguiente. En R 2 consideraos U 1 = {(x, y) R 2 /y =0} y U 2 = {(x, y) R 2 /x=0}. YasabeosqueU 1 y U 2 son s.v. de R 2 (son conjuntos de soluciones de ecuaciones lineales y hoogéneas). Veaos que U 1 U 2 no es un s.v. de R 2.Enefecto;silofuera,setendríaquecupliru + v U 1 U 2,para cada u, v U 1 U 2.Toandou =(1, 0) U 1 U 2 y v =(0, 1) U 1 U 2,obteneosque u + v =(1, 1), quenoestáenu 1 U 2. Dado que la unión de una failia finita {U 1,...,U } de subespacios de V no tiene por qué ser un nuevo s.v., tiene sentido plantearse la siguiente cuestión: es siepre posible encontrar un s.v. U de V que contenga a todos los U i yquetengaalgoqueverconellos?obviaente, si toaos U = V teneos un s.v. que contiene a todos los U i.ahorabien,estonoes satisfactorio, pues al elegir V no estaos teniendo en cuenta la fora concreta de los U i. Lo ideal para U es que fuese el s.v. ás pequeño que contiene a todos los U i paraque,de algún odo, estuviera próxio a los U i.estaideaotivalasiguientedefinición. Definición Sea V un e.v. sobre K y {U 1,...,U } una failia finita de subespacios vectoriales de V.Definioslasua de la failia coo el subconjunto de V dado por: U i = U U = L U i. i=1 Sabeos entonces que i=1 U i es un s.v. de V que contiene a todos los U i.adeás,siu es cualquier otro s.v. de V con U i U para cada i =1,...,,entonces i=1 U i U. Ahora vaos a probar que cada u i=1 U i se expresa coo sua finita de vectores u i U i,loquejustificalanotaciónepleadaparaelsubespaciosua. Proposición Sea V un e.v. sobre K y {U 1,...,U } una failia finita de subespacios vectoriales de V. Entonces: U i = {u u /u i U i, i =1,...,}. i=1 Por tanto, dado u V, se cuple que u i=1 U i si y sólo si u = u u, donde u i U i para cada i =1,...,. i=1

8 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES 15 Deostración. Denotareos por U al subconjunto de vectores de V siguiente: U = {u u /u i U i, i =1,...,}. Quereos probar que i=1 U i = U. Estolohareospordobleinclusión.Paraprobarque i=1 U i U es suficiente con ver que U es un s.v. de V con U i U para cada i =1,...,. Sean a, b K y u, v U.PordefinicióndeU teneos que u = u u y v = v v con u i,v i U i,paracadai =1,...,.Veaosquea u + b v U. Paraello: a u + b v = a (u u )+b (v v ) =(a u 1 + b v 1 )+...+(a u + b v ). Si llaaos w i = a u i + b v i,entoncesa u + b v = w w,dondecadaw i U i (por ser U i un s.v. de V ). Así, a u+b v U. EstopruebaqueU es un s.v. de V.Adeás,siu U i entonces u = u ,dondecadasuandoestáenelcorrespondiente U i.portanto,u U. EstouestraqueU i U para cada i =1,...,. Finalente probareos que U i=1 U i.dadou U, setienequeu = u u con u i U i para cada i =1,...,.Recordeosque i=1 U i = L( i=1 U i), porloque i=1 U i está forado por las cobinaciones lineales finitas de vectores de i=1 U i.enparticular, coo podeos escribir u =1 u u,sesiguequeu i=1 U i. Ejeplo En F 3 si toaos coo U 1 y U 2 dos ejes coordenados, entonces es fácil coprobar por definición que U 1 + U 2 es el plano vectorial que los contiene. Veaos este ejeplo nuéricaente. Sean U 1 y U 2 los subespacios de R 3 dados por U 1 = {(x, y, z) R 3 /x = z = 0} y U 2 = {(x, y, z) R 3 /y = z =0}. SabeosqueU 1 + U 2 = {u 1 + u 2 /u 1 U 1,u 2 U 2 }. Ahora, si u U 1 entonces u 1 =(0,y,0), ientrasquesiu 2 U 2 entonces u 2 =(x, 0, 0). Así, u 1 +u 2 =(x, y, 0). EstopruebaqueU 1 +U 2 {(x, y, z) R 3 /z =0}. Dehecho,setieneque U 1 +U 2 = {(x, y, z) R 3 /z =0}. Paraprobarlainclusión{(x, y, z) R 3 /z =0} U 1 +U 2 nótese que si v =(x, y, 0), entoncesv =(0,y,0)+(x, 0, 0) = u 1 +u 2 donde u 1 U 1 y u 2 U 2. Ejercicio 4. Deostrar que U 1 + U 2 = R 2,dondeU 1 y U 2 son los subespacios dados por U 1 = {(x, y) R 2 /y =0} y U 2 = {(x, y) R 2 /x=0}. Sea V un e.v. sobre K y {U 1,...,U } una failia finita de subespacios vectoriales de V. Dado u i=1 U i,sabeosqueu = u u donde u i U i,paracadai =1,...,. Ahora bien, esta fora de expresar u coo sua de vectores en cada suando U i no tiene por qué ser única, es decir, podrían existir otros vectores u i U i,distintosdelosanteriores, ytalesqueu = u u.veaosunejeplodequeestopuedeefectivaenteocurrir. Ejeplo Sean U 1 = {(x, y, z) R 3 /x =0} y U 2 = {(x, y, z) R 3 /z =0}. Noes difícil deostrar que U 1 + U 2 = R 3,puestodovectorv =(x, y, z) de R 3 se puede expresar coo u 1 + u 2,dondeu 1 =(0,y,z) U 1 y u 2 =(x, 0, 0) U 2.Veaosqueelvectornulode R 3 se puede expresar de uchas foras distintas coo sua de un vector de U 1 yotrodeu 2. En efecto, teneos por ejeplo (0, 0, 0) = (0, 1, 0)+(0, 1, 0) o (0, 0, 0) = (0, 2, 0)+(0, 2, 0). De hecho (0, 0, 0) = (0,a,0) + (0, a, 0), paracadaa R. Ahora nos planteaos cóo se puede evitar esta falta de unicidad, es decir, bajo qué condiciones la expresión de u i=1 U i coo sua de vectores u i U i es única. Vereos ás adelante que esta cuestión tiene que ver con descoponer una e.v. en piezas ás pequeñas. Proposición Sea V un e.v. sobre K y {U 1,...,U } una failia finita de subespacios vectoriales de V con 2. Son equivalentes estas afiraciones: (i) Para cada u i=1 U i existen vectores únicos u i U i tales que u = u u.

9 16 CÉSAR ROSALES GEOMETRÍA I (ii) ( j i=1 U i) U j+1 = {0}, para cada j =1,..., 1. Vereos priero cóo se deuestra la proposición en el caso =2,queseráelás frecuente. Así otivareos tabién la prueba del caso general. Deostración en el caso =2. En este caso la afiración (i) significa que, para cada vector u U 1 + U 2,existenvectoresúnicosu 1 U 1 y u 2 U 2 tales que u = u 1 + u 2.Laafiración (ii) se reduce a la igualdad U 1 U 2 = {0}. Veaos que (i) iplica (ii). Sea u U 1 U 2.Quereosverqueu =0.Nótesequeu = u+0 con u U 1 y 0 U 2.Adeás,u =0+u con 0 U 1 y u U 2. Coo por hipótesis u se expresa de fora única coo sua de un vector de U 1 yotrodeu 2,entoncesu =0. Veaos que (ii) iplica (i). Sea u U 1 + U 2 ysupongaosquehaydosexpresionesdeu coo sua de un vector de U 1 yotrodeu 2.Así,existenu 1,u 1 U 1 y u 2,u 2 U 2 tales que u = u 1 + u 2 y u = u 1 + u 2.Quereosverqueu 1 = u 1 y u 2 = u 2.Teneosu 1 + u 2 = u 1 + u 2, que equivale a u 1 u 1 = u 2 u 2.Llaeosv := u 1 u 1 = u 2 u 2.Deestasigualdades, yusandoqueu 1, U 2 son subespacios vectoriales de V,sesiguequev U 1 U 2. Coo suponeos que U 1 U 2 = {0} entonces v =0. Coo v = u 1 u 1 deducios que u 1 = u 1.Y coo v = u 2 u 2 concluios que u 2 = u 2.Estoterinalaprueba. Deostración en el caso general. Veaos que (i) iplica (ii). Fijaos j {1,..., 1}. Quereos ver que ( j i=1 U i) U j+1 = {0}. Toeosunvectoru en dicha intersección. Coo u j i=1 U i entonces u = u u j con u i U i para cada i =1,...,j.Apartir de aquí podeos expresar u de dos foras distintas coo sua de vectores de U i,asaber, u = u u j +0+u j u y u = u Porlahipótesis (i) todos los vectores de las expresiones anteriores son nulos. En particular, u =0. Recíprocaente, veaos que (ii) iplica (i). Sea u i=1 U i ysupongaosquepodeos expresar u de dos foras coo sua de vectores en U i.así,paracadai =1,...,, existen u i,u i U i tales que u = u u y u = u u.quereosverque u i = u i para cada i =1,...,.Teneosu u = u u,queequivalea u u =(u 1 u 1)+...+(u 1 u 1) =v. Coo v = u u y U es un s.v. de V,entoncesv U.Porrazonesanálogasu i u i U i para cada i =1,..., 1 y, por tanto, v 1 i=1 U i.aplicandolahipótesisqueteneosen(ii)conj = 1 se sigue que v =0.Estoiplicaqueu = u y (u 1 u 1)+...+(u 1 u 1) =0.Laúltia igualdad se escribe coo u 1 u 1 =(u 1 u 1)+...+(u 2 u 2) =w, porloque w ( 2 i=1 U i) U 1.Aplicandolahipótesisen(ii)conj = 2 llegaos a w =0,es decir, u 1 = u 1 y (u 1 u 1)+...+(u 3 u 3) =0.Alfinal,repitiendoeliso proceso 1 veces se concluye que u i = u i para cada i =1,...,. Definición Sea V un e.v. sobre K y {U 1,...,U,U} subespacios vectoriales de V. Escribireos U = i=1 U i = U 1... U ydireosqueu es la sua directa de la failia {U 1,...,U } si U = i=1 U i y ( j i=1 U i) U j+1 = {0} para cada j =1,..., 1. Porla proposición anterior esto equivale a que, para cada u U, existenvectoresúnicosu i U i tales que u = u u. En el caso particular =2,queseráelqueásusareos,laexpresiónU = U 1 U 2 significa que U = U 1 + U 2 y U 1 U 2 = {0}. Equivalenteente,paracadau U existen vectores únicos u 1 U 1 y u 2 U 2 tales que u = u 1 + u 2.Entalcaso,direostabiénque U 2 es un subespacio copleentario o supleentario de U 1 en U. Másadelantevereosque todo s.v. U de V tiene un subespacio copleentario (que no será único en general).

10 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES 17 Ejeplo En el Ejeplo 2.29 teneos una situación en la que R 3 = U 1 + U 2.Sin ebargo, no es cierto que R 3 = U 1 U 2 pues vios que el vector nulo se expresa de infinitas foras distintas coo sua de un vector de U 1 yotrodeu 2.Porotrolado,setieneque U 1 U 2 = {0}, pues(0, 1, 0) U 1 U 2. Ejercicio 5. Sean U 1 y U 2 los subespacios de R 2 del Ejercicio 4. Probar que R 2 = U 1 U 2. Ejeplo Sea n N y K un cuerpo donde 2 = 0(esto ocurre por ejeplo si K = R, Q o C). Vaos a probar que: M n (K) =S n (K) A n (K). Para ello hay que coprobar dos cosas: M n (K) =S n (K)+A n (K) y S n (K) A n (K) ={0 n }. Veaos que M n (K) =S n (K)+A n (K). LainclusiónS n (K)+A n (K) M n (K) es obvia. Probar que M n (K) S n (K) +A n (K) significa ostrar que toda atriz A M n (K) se puede expresar coo B + C con B S n (K) y C A n (K). Nóteseque,coo2 = 0,entonces A se escribe coo: A = 1 2 (A + At )+ 1 2 (A At ). En la igualdad anterior el síbolo 1/2 representa el inverso de 2 en K (que existe al suponer 2 = 0). Si llaaos B =(1/2)(A + A t ) y C =(1/2)(A A t ),entoncessetienea = B + C. Veaos que B S n (K) y C A n (K) apartirdepropiedadesdelatrasposicióndeatrices: B t = 1 2 (A + At ) t = 1 A t +(A t ) t = (At + A) =B, C t = 1 2 (A At ) t = 1 A t (A t ) t = (At A) = C. Por últio, coprobeos que S n (K) A n (K) ={0 n }.SeaA S n (K) A n (K). Nos preguntaos si A =0 n. Coo A S n (K), entoncesa t = A. YcooA A n (K) teneos A t = A. EncadenandoabasigualdadessesiguequeA = A y, por tanto, A + A = O n. Así, 2A = O n,ycoo2 = 0,llegaosaA =0 n,coosequería.