FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Transcripción

1 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA 1. RESPUESTA IMPULSO La respuesta ipulso de un sistea lineal es la respuesta del sistea a una entrada ipulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero. Para el caso de sisteas continuos la entrada corresponde a la función delta de Dirac. La respuesta ipulso del sistea se puede deterinar a partir de la ecuación que lo describe. Ejeplo 1 Encuentre la respuesta ipulso del sistea representado por la siguiente ecuación diferencial: Solución: y ( t) 4 y( t) 3 x( t) Haciendo x( t) ( t) se obtiene la respuesta y( t) h( t). Por lo tanto, h( t ) debe satisfacer la siguiente ecuación diferencial: h ( t) 4 h( t) 3 ( t) Aplicando la transforada de Laplace a abos iebros de la ecuación y recordando que las condiciones iniciales son cero, se obtiene: sh( s) 4 H( s) 3 Despejando H( s ), H( s)( s ) H( s) s Ahora, se aplica la transforada inversa de Laplace a H( s ) para hallar h( t ) o respuesta ipulso: t h( t) L e s Página 1 de 5

2 . FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA En general, cualquier sistea lineal invariante en el tiepo (LTI) puede odelarse ediante una ecuación diferencial de la fora: n n1 1 d y d y dy d u d u du a a a y b b b b u n n 1 n 1 n 1 n dt dt dt dt dt dt donde (1) Esta ecuación diferencial relaciona la señal de salida y( t ) de un sistea con la señal de entrada u( t ) del iso, y perite conocer la respuesta de dicho sistea a una señal de entrada deterinada, ediante su resolución. A esta ecuación se le denoina ecuación diferencial característica del sistea. Sin ebargo, el trataiento analítico del sistea a través de la ecuación diferencial característica es, en general, coplejo. Es por ello que se introduce el concepto de función de transferencia. La función de transferencia de un sistea lineal invariante en el tiepo se obtiene realizando la transforada de Laplace de la ecuación diferencial característica del sistea, con condiciones iniciales nulas. Es decir, para obtener la función de transferencia del sistea lineal que está representado la ecuación (1), se aplica la transforada de Laplace en abos lados de la ecuación y se suponen condiciones iniciales cero. El resultado es: ( s a s a s a ) Y ( s) ( b s b s b s b ) U ( s) n n n1 n Entonces, la función de transferencia entre y( t ) y u( t ) está dada por: Y( s) b s b s b s b G( s) U( s) s a s a s a n n1 1 n1 n () Donde, U( s ) es la transforada de Laplace de la entrada del sistea y Y( s ) es la transforada de Laplace de la salida del iso. La función de transferencia contiene toda la inforación de la dináica del sistea. En concreto, la característica dináica del sistea depende fundaentalente de las raíces del polinoio del denoinador de la función de transferencia; estas raíces se denoinan polos de la función de transferencia. Página de 5

3 Para que un sistea sea físicaente realizable, el orden del denoinador debe ser ayor o igual (de hecho en la práctica siepre es ayor) que el orden del nuerador, de este odo se garantiza que el sistea es causal. Por últio, hay que resaltar que la función de transferencia no ofrece inforación sobre la estructura física del sistea, con lo cual diversos sisteas físicos pueden tener la isa función de transferencia, aplicándose, de este odo, el concepto de sistea análogo. Los sisteas análogos son útiles cuando alguno de los sisteas es coplejo, caro, frágil o de respuesta uy lenta (por ejeplo, en aplicaciones con prototipos electrónicos). Algunas de las propiedades de la función de transferencia se resuen a continuación: La función de transferencia está definida solaente para un sistea lineal invariante en el tiepo. No está definida para sisteas no lineales. La función de transferencia entre un par de variables de entrada y de salida es la relación entre la transforada de Laplace de la salida y la transforada de Laplace de la entrada. Todas las condiciones iniciales del sistea son cero. La función de transferencia de un sistea de tiepo continuo se expresa sólo coo una función de la variable copleja s. No es función del tiepo, o de cualquier otra variable que se utilice coo la variable independiente. Ejeplo Encuentre la función de transferencia del sistea que tiene coo odelo ateático la siguiente ecuación diferencial: Solución: y 6y 8y u 5u La función de transferencia se puede hallar aplicando la propiedad de la diferenciación real: ( ) (0) (0) 6 ( ) (0) 8 ( ) ( ) (0) 5 ( ) s Y s sy y sy s y Y s su s u U s Teniendo en cuenta que las condiciones iniciales son cero, se tiene s Y s sy s Y s su s U s ( ) 6 ( ) 8 ( ) ( ) 5 ( ) Página 3 de 5

4 Agrupando térinos y despejando se obtiene: Y( s) s 5 G( s) U s s s ( ) REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS A continuación se presenta el listado de las referencias bibliográficas requeridas: Dorf, R & Bishop, R. (011). Matheatical odels of systes. En: Modern control systes. (1a. ed.). (pp ). Estados Unidos: Prentice Hall. Golnaraghi, F. & Kuo, B. (010). Matheatical foundation. En: Autoatic control systes (9a.ed.). (pp ). Estados Unidos: John Wiley & Sons. Ogata, K. (010). Modelado ateático de sisteas de control. En: Ingeniería de control oderna (5a. ed.). (pp. 13-6). Madrid, España: Pearson Education. Nise, N. (011). Modeling in the frequency doain. En: Control Systes Engineering (6a ed.). (pp ). Estados Unidos: John Wiley & Sons. A continuación se presenta el listado de las referencias bibliográficas copleentarias: Curso virtual de análisis de sisteas dináicos. Recuperado en Design and analyze control systes. Recuperado en La función de transferencia. Recuperado en La respuesta ipulso. Recuperado en Modelización de sisteas eléctricos función de transferencia 1. Recuperado en Modelización de sisteas eléctricos función de transferencia. Recuperado en Modelización de sisteas eléctricos función de transferencia 3. Recuperado en Modelización de sisteas eléctricos función de transferencia 4. Recuperado en Modelización de sisteas ecánicos función de transferencia 1. Recuperado en Modelización de sisteas ecánicos función de transferencia. Recuperado en Modelización de sisteas ecánicos función de transferencia 3. Recuperado en Modelización de sisteas ecánicos función de transferencia 4. Recuperado en Modelización de sisteas ecánicos rotación función de transferencia 1. Recuperado en Página 4 de 5

5 Modelización de sisteas ecánicos rotación función de transferencia. Recuperado en Probleas resueltos de sisteas autoáticos. Recuperado en Resolución de ecuaciones diferenciales con la transforada de Laplace. Recuperado en Teoría de control básica. Recuperado en Página 5 de 5