( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

Transcripción

1 de Laplace. (secc..) 5 Apéndice DI_UIV Más ejercicios de Solución de una ecuación diferencial lineal con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace (Secc..).[] Ejemplo DI. Teniendo encontrar su solución. y + 5 y + y = 0 con condiciones iniciales y (0) = y ' (0) = 0, Aplicando la transformada de derivadas ( ) (0) (0) + 5 ( ) 5 (0) + ( ) = 0 () ' sy s sy y sy s y Y s Aplicando condiciones iniciales a () () + 5 () 5+ () = 0 sy s s sy s Y s Simplificando s s + 5s+ s 5= 0, despejando s = s s s+ () Utilizando fracciones parciales ( )( ) s+ 5 A B = + s+ s+ s+ s+ Multiplicando por el denominador del lado izquierdo del igual 5 A B s + = s + s + + s + + ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) s+ s+ s ( ) ( ), obtenemos s+ 5= A s+ + B s+ () Utilizando las raíces de (s+) y (s+) si - s = entonces en () 5 A( ) B( ) + = obtenemos = -B, o B = - () si - s = en (), entonces - 5 A( - ) B( ) + = + + +, o bien = A

2 de Laplace. (secc..) 5 A = (5) Sustituyendo () y (5) en (), obtenemos () Y s = + s+ s+ De lo cual resulta (aplicando propiedades de linealidad de la transformada inversa) Por lo tanto s = s+ s+ (6) Antitransformando (6) { s } La solución es y t e e t () = t s+ s+ L = L L Ejemplo DI. Encontrar la solución de y ( ) = y ( ) = ( ) iniciales 0 0, 0 0, y 0 = y + y y y = e t, con condiciones Aplicando la transformada de Laplace de cada término ( ) ( ) ( ) ( 0 ) + sy ( s) sy( 0) y ( 0) sy s s y sy y 0 0 ( ) ( ) ( ) sy s y 0 Y s = s + Aplicando condiciones iniciales sy( s) + sy( s) sy( s) Y( s) = s + s s + s s = s +, despejando

3 de Laplace. (secc..) 5 s = + s + s + s s (7) Realizando la división sintética de Utilizando la fórmula general s s + s s, ± =, o bien s, = ± s =, s = - y s = Por lo que s = + s + s+ ( s+ )( s ) ( s ) + + s = s+ ( s+ )( s+ )( s ) s + s = ( s+ )( s+ )( s+ )( s ) (8) Las raíces serían s =, s =, s = y s = Aplicando descomposición en fracciones parciales s+ A B C = ( s+ )( s+ )( s+ )( s ) s+ ( s+ ) ( s+ ) ( s ) D () Multiplicando () por el denominador del lado izquierdo del igual

4 de Laplace. (secc..) 5 + = ( + )( + )( ) + B( s+ )( s+ )( s ) + C( s+ )( s+ )( s ) ( )( )( ) s A s s s + D s+ s+ s+ (0) Sustituyendo en la ecuación (0), s =, tenemos A( )( )( ) = + +, o bien A = () Sustituyendo en la ecuación (0), s =, obtenemos + = B + +, o bien = B 8, 6 B = () Sustituyendo en la ecuación (0), ( )( )( ) = C s =, C ( )( )( ) = + +, o bien C = () ( )( )( ) Sustituyendo en la ecuación (0) s =, obtenemos 5= D + + +, 5= D( ), o bien 5 D = () 8 Sustituyendo los valores obtenidos en (), (), () y () en () obtenemos 6 5 s + = ( s+ )( s+ )( s+ )( s ) s+ ( s+ ) ( s+ ) ( s )

5 de Laplace. (secc..) De tal manera que yt () = L L + L + L s 8 s+ 8 s s + Finalmente t 6 t t 5 t yt = e e + e + e () o bien t 8 t t 5 t yt = e e + e + e () 8 '' ' t Ejemplo DI. Determinar la solución de y y + y = te con condiciones iniciales de y ' (0) = y (0) = 0 Transformando cada término ( ) ' sy( s) sy(0) y(0) sy( s) y(0) Y s + + = ( s ) (5) Sustituyendo condiciones iniciales en (5) y simplificando ( ) s s s s Y s + = Despejando s = ( s ) ( s ) ( s ), factorizando s ( s s ) + = ( s ) ( ) Y s = ( s ) (6) Antitransformando y() t = L, aplicando el teorema de traslación s s ( s )

6 de Laplace. (secc..) 56! t = e, simplificando! s () L y t yt () = te t F s Ejemplo DI. Determinar la transformada Inversa de Laplace de ( ) = s Descomponiendo el denominador en factores = s s s + ( )( ) Desarrollando fracciones parciales As + B Cs + D = + s s s + (7) Multiplicando ambos lados del igual por el denominador obtenemos = ( As + B)( s + ) + ( Cs + D)( s ) Desarrollando = As + As + Bs + B + Cs Cs + Ds D Agrupando = ( A+ C) s + ( B+ D) s + ( A C) s+ ( B D) Asociando coeficientes de igual potencia obtenemos A+ C = 0 (8) B+ D = 0 () A C = 0 (0) B D = () De (8) y (0), resolviéndolas simultáneamente A C = 0 A+ C = 0 6 A = 0

7 de Laplace. (secc..) 57 Obtenemos A = 0, C = 0 De () y (), resolviéndolas simultáneamente B D = B+ D = 0 6 B = Obtenemos B = y D = 6 6 Entonces sustituyendo en (7) obtenemos = s 6 s 6 s + Por lo que completando L = L L s 6 s 6 s + Transformando inversamente f () t = senh t sen t 6 6 f () t = senh t sen t 8 8 '' Ejemplo DI.5 Encontrar la solución y + y = f( t) con condiciones iniciales ' 0 t < y(0) = 0 y (0) =, donde f ( t ) está definida por tramos f() t = 0 t ' sy s sy y Y s u t ( ) () (0) (0) + () = s s ( s + ) = e s s s s = e s s s +

8 de Laplace. (secc..) 58 s Y( s) = ( e ) ( s)( s + ) s + ( s)( s + ) A Bs+ C = + s s + ( ) ( ) = A s + + Bs+ C s = As + Cs + A + Bs ( ) = A+ B s + Cs+ A A =, A =, A B 0 + = B = A B =, C = 0 s s s = ( e ) s s + s + yt ( ) cos t = cos ( t ) u( t ) sent Ejemplo DI.6 Encontrar la solución y (0) = y y y = bajo condiciones iniciales y (0) = sy s sy y sy s y Y s ( ) - (0) - (0) + ( ) - (0) + ( ) = 0 Factorizando Y s s s s () + + = 0 ( ) s+ = A+ Bs+ B = A+ B + Bs, = A+ B, = B, A =

9 de Laplace. (secc..) 5 Despejando s = s + ( s + ) A s = + B ( s + ) ( s + ) L { s } = L + L s s s+ s + () t t f t te = + e Ejemplo DI.7 Determinar la solución y 6y + y = t bajo condiciones iniciales y (0) = 0 y (0) = 0 Transformando Y s + = ()s 6s s Despejando s = + s ( s ) s = + ( ) ( ) s s s A B C D s( s ) = s + s + s + s ( ) A B C D yt () = s s s s - L L ( ) s ( ) ( ) ( = As ( ) + Bs ( ) s + Cs + Ds s )

10 de Laplace. (secc..) 50 si s = 0, = A, A = si s =, = C, C = Desarrollando los cuadrados = As A s Bs Bs Bs Cs Ds Ds Sustituyendo A 6 s s Bs Bs Bs Cs Ds Ds = B+ C D =, Factorizando s: 6B+ D =, 6B D = 6 =s ( B+ D) + s 6B+ C D + s + B + B+ D = 0, 6 = B = Por lo tanto B =, 7 D = 7 Sustituyendo los valores encontrados yt () = L + L + L L + L s 7 s ( s ) 7 s ( s ) f () t = t + + te e + te +e f () t = + t+ te + e 7 7 t t t t t t

11 de Laplace. (secc..) 5 Ejemplo DI.8 Resuelva x + x = sen( t) para x (0) = 0 y x (0) = 0 Aplicando la transformada en ambos lados de la ecuación resulta s X s sx x X s ( ) (0) '(0) + ( ) = s + Sustituyendo condiciones iniciales s X s () + X() s = s + Factorizando X s s ()( ) + = s + Despejando X() s = ( s + )( s + ) As + B Cs + D Aplicando fracciones parciales = + ( s + )( s + ) s + s + Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por el denominador y sugiriendo que A = 0 y C = 0 por el hecho de que no haya términos de grado uno en el primer miembro, el resultado es la identidad Bs ( ) Cs ( = ) Agrupando términos = ( B + Ds ) + (B+ D) Cuando igualamos los coeficientes de potencias iguales de lineales B+ D = 0 y B+ D = s obtenemos las ecuaciones Que se resuelve fácilmente para B = 5 y D =. 5 Por lo tanto L { X() s } = L L 0 s + 5 s Y nuestra solución x() t = sen( t) sen( t )

12 de Laplace. (secc..) 5 Ese es un método, pero siguiendo la forma tradicional, manejada en este curso, tenemos al multiplicar ambos lados del igual por el denominador del término del lado izquierdo. As + B Cs + D ( s + )( s + ) ( s )( s = ( s + )( s + ) s + s + ) Quedando = ( As + B)( s + ) + ( Cs + D)( s + ) Desarrollando = As + As + Bs + Bs + Cs + Cs + Ds + D Agrupando términos = ( A+ C) s + ( B+ D) s + ( A+ C) s+ ( D+ B = ) Asociando términos basándose en la potencia de s, ( A C) s ( B D) s ( A C) s ( D B) = Obtenemos las siguientes ecuaciones A+ C = 0, B+ D = 0, A+ C = 0, D+ B = Resolviendo A C = 0 A+ C = 5 A =0 0 por lo tanto A = 0, C = 0 B D = 0 Resolviendo B+ D = por lo tanto -5 D = calculados anteriormente. D =, por lo que 5 B = que son los valores 5