Laplace. Transformada Inversa: Universidad Nacional Autónoma de México. Análisis de Sistemas y Señales. Alumnos:

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1 Universidad Nacional Autónoma de México Universidad Nacional Facultad Autónoma de Ingeniería de México Facultad Análisis de Sistemas Ingeniería y Señales Análisis de Sistemas y Señales Transformada Inversa: Laplace Alumnos: Anzures Robles Jorge García Luciano Laura Quezada Borja Arnulfo Rojas Arteaga I. Karina Fecha de entrega: Abril-008.

2 Transformada 1.- [Ejercicio que se le asignó al equipo para exponer] Sea X(s) la siguiente función:, calcular su transformada inversa Realizamos una división para obtener una ecuación que pueda solucionarse, ya que podemos ver que el grado de el denominador es mayor, se debe de simplificar a lo máximo para poder realizar la operación. Dividiendo tenemos: Sustituyendo nos queda la siguiente expresión: X(s)=s-4+, para resolver necesitamos encontrar las raíces de la última expresión: Resolviendo por la fórmula de resolución de ecuaciones de grado: = = +4s s s 4 4 +s 4 +4s s 8 0s 1, las raíces de esta ecuación son: x1= y x= Sustituyendo en la ecuación para resolverlas por fracciones parciales: v(s)= Descomponiendo: v(s)=., ; calculando A y B para sustituirlos.., a) Si s= (0.449)-1=A( ) b) Si s= (-4.449)-1=A( ) A= B=0.616 v(s)=..., X(s)= s-4+.., con esta expresión tenemos la expresión completa,., aplicando la anti-transformada ; ; 0 Análisis de Sistemas y Señales

3 Ejercicios: 1.- Sea X(s)= hallar su anti-transformada x(t) Dividiendo tenemos: +4s+ 9s 35 8s 4 17s 39 Sustituyendo nos queda la siguiente expresión: X(s)=+, para resolver necesitamos encontrar las raíces de la última expresión: Resolviendo por la fórmula de resolución de ecuaciones de grado: = =, las raíces de esta ecuación son: Sustituyendo en la ecuación para resolverlas por fracciones parciales: v(s)= Descomponiendo: v(s)=.. x1= y x= ; calculando A y B para sustituirlos... a) Si s= (-0.585)-39=a( ) b) Si s= (-3.414)-39=a( ) A=-10.7 B=-6.7 v(s)=.... X(s)= +... ;, con esta expresión tenemos la expresión completa,, aplicando la anti-transformada 9 ; ; 0 9 ; ; 0 Análisis de Sistemas y Señales 3

4 .- Sea la siguiente ecuación X(s)= X(s)= hallar su anti-transformada x(t) Vemos que se puede factorizar, se tiene la siguiente expresión: Comprobando cuáles son sus raíces por división sintética: S= S= S=- Entonces comprobamos que tenemos la siguiente expresión: y descomponemos en fracciones parciales: ² y resolvemos, para obtener las constantes A, B y C. a) Si s=- 3[(-)²+(-)+1] ) = B(-+1) b) Si s=-1 3[(-1)²+(-1)+1] ) = C(-1+) B=-9 C= c) Si s=0 1=A()+(-9)+(4) A=1 Sustituyendo el valor de las constantes nos queda la función así: x(s) = ² Aplicando entonces tenemos que la función en términos de t es: 9 ; 0 9 ; 0 Análisis de Sistemas y Señales 4

5 s + 1 A Bs+ C Ds+ E 3.- Sea la señal X(s)= = + + s + 18s + 81s s s + 9 ( s + 9) 5 3 Obtener su anti-transformada + 1 = ( + 9) + ( + )( )( + 9) + ( + ) s A s Bs C s s Ds E s + 1 = ( ) + + ( + 9) s A s s Bs Cs s Ds Es + 1= s As As A Bs Bs Cs Cs Ds Es Agrupando los coeficientes en sistemas de ecuaciones y determinando su valor: 1 0 = A+ B B= A= 81 0 = C = 18A+ 9B+ D 1 + = D; D= = 9C+ E E = 0 1 1= 81A A= 81 Sustituyendo en ecuación de fracciones parciales los valores de A, B, C, D y E: s Ds s s + 9 ( s + 9) aplicando D 1 : s Ds s 1 81 s 1 81 D + = D D + D s s + 9 ( s + 9) s s + 9 ( s + 9) 7 s 1 st 1 1 e cos(3 t) 81 = + D ( s + 9) Por tablas identificamos a qué función se parece y sustituimos: 7 s 1 as D tsen( at) tsen(3 t) = D = ( s + a ) ( s + 9) 486 D 1 s st 1 7 e cos(3 t) tsen(3 t) 5 3 = + s + 18s + 81s Análisis de Sistemas y Señales 5

6 4.- Sea la expresión X(S) hallar su transformada inversa. X(S) = = = ² = Igualando coeficientes = ² ² ² = ² = ² ² A+B=0; A= B 18A+9B+D=1; 18B+9B+D=1 9B+D=1 D=1 9B D=1+ (9/81) D=90/81 = 10/9; C=0; 9C+E=0; E= 0 A81=1; A= 1/81 y B= 1/81 Sustituyendo tenemos: s + 1 (s + 1 ) (s + 1 ) e s 3 3 (s + 1 ) Y aplicando la transformada inversa tenemos que la ecuación con su transformada inversa es: 1 e t cos 3 t e t sen 3 t e t sen 3 t(u(t +1)) Análisis de Sistemas y Señales 6

7 5.- Tenemos la siguiente función: x(s)= ² Para poder resolver aplicando división al primer término de la suma: Sustituyendo el resultado obtenido en la función x(s) = 1 ² ², calcular su transformada inversa. 1 s+1 s s 1 1 De (1) y ; Tenemos: = ² ² ² y tomamos solo, una vez separadas en fracciones resolvemos el valor de las constantes: s= A(s+1)² + B(s+1) Resolviendo el sistema de ecuaciones: A+B=1 A+B=0 A=1, B=-1 Sustituyendo queda de la siguiente manera: ² ² = X(s ), y sabemos que = (1) () Recordando una propiedad: f(x)h(t-x)dx tenemos entonces que: F[s]= Calculando su H[s]= f(t)= 1 h(t)= Quedando la transformada inversa de X(t )= (-t) De () Tenemos que: es ahora: s y calculando su transformada inversa ² queda la ecuación de la siguiente manera aplicando las siguientes propiedades y. A partir de esto calculamos: F[s]= Calculando su H[s]= f(t)= h(t)= Quedando la transformada inversa de X(t )= (t-). 0 Agregando estas transformadas inversas a la ecuación X(s) para obtener x(t) es: t 1 t ; 0 t 1 t ; 0 Análisis de Sistemas y Señales 7

8 Exposiciones 3s + 4s+ 1 3s + 4s Sea la función x(s)= =. Calcular su transformada 3 s + s + s+ ( s+ )( s + 1) inversa Factorizando 3 s s s agrupando: 3 ( s s) (s ) ss ( + 1) + ( s + 1) = ( s+ )( s + 1) por fracciones parciales: 3s + 4s+ 1 ( s )( s 1) sacando factor común: + + = A Bs+ C Tenemos el sistema de ecuaciones que resolveremos: S + s + 1 3s + 4s+ 1 = A( s + 1) + ( Bs+ C)( s+ ) Agrupando términos e igualando coeficientes: s s As A Bs Bs Cs C = s = As + Bs = A+ B 4s = Bs+ Cs 4 = B+ C...3 Despejando: 1 = A+ C...4 de...4 A = 1 C...4' sust 4' en 3 = 1 C + B...' despejando B de B = + C...3' sust 3' en 3 4 = 4+ 4C + C 0= 5C C = 0 1 = A 3= 1+ B B= sust A, B y C en 1: 3s + 4s+ 1 1 s = + 3 s + s + s+ S+ s + 1 aplicando D D 1 1 t : 1 s + = e + cos t. S + s + 1 Análisis de Sistemas y Señales 8

9 .-Sea X(s) la siguiente función:, calcular su transformada inversa Realizamos una división para obtener una ecuación que pueda solucionarse, ya que podemos ver que el grado de el denominador es mayor, se debe de simplificar a lo máximo para poder realizar la operación. Dividiendo tenemos: Sustituyendo nos queda la siguiente expresión: X(s)=s-4+, para resolver necesitamos encontrar las raíces de la última expresión: Resolviendo por la fórmula de resolución de ecuaciones de grado: = = +4s s s 4 4 +s 4 +4s s 8 0s 1, las raíces de esta ecuación son: x1= y x= Sustituyendo en la ecuación para resolverlas por fracciones parciales: v(s)= Descomponiendo: v(s)=., ; calculando A y B para sustituirlos.., a) Si s= (0.449)-1=A( ) b) Si s= (-4.449)-1=A( ) A= B=0.616 v(s)=..., X(s)= s-4+.., con esta expresión tenemos la expresión completa,., aplicando la anti-transformada ; ; 0 Análisis de Sistemas y Señales 9

10 3.- Sea la función X(s)= calcular su transformada inversa de Laplace. Factorizando el término del denominador tenemos: fracciones parciales tenemos a la ecuación de la siguiente manera: valor de las constantes A, Bs y C efectuamos las siguientes operaciones. y descomponiendo den y resolviendo el De esta matriz se ve el valor de: A +4As+BA+B +Cs= ++16 y resolviendo tenemos: A=; B=-1y C= =- cos =- cos 4.-Teniendo la siguiente función H(s)=, calcular su transformada inversa de Laplace. H(s)=, buscamos sus raíces para poder descomponerla en fracciones parciales que son: H(s)= ; Descomponiendo tenemos: H(s)= Y calculando el valor de A y B. A=[s{x(s)}]s=0 = s=0 = A=4 B=[s+{x(s)}]s=-1 = s=-1 = B=-1 Y sustituyendo: H(s)= Tenemos a la siguiente ecuación a la que hallaremos su transformada inversa Análisis de Sistemas y Señales 10

11 5.- Tenemos a la siguiente señal con ecuación x(s)=, obteniendo las raíces de la parte del denominador que le llamaremos D(s) tenemos que son las siguientes: S1=.7+1.6i, S= i y S3=0.6 Y como vemos que tuvimos dos raíces complejas separamos de la siguiente manera en fracciones parciales: Se obtiene de hacer D(s) = (s+7.1.6i)(s+7+1.6i)(s+0.6)=( +7s)+(8.6)(s+0.6) lo siguiente: X(s) =.. Calculando C haremos: C= [s+0.6]=. s= ( 7 8.6)(s+0.6)=(Cs-d)(s-0.6)+0.65( 7 8.6) = C +ds d s+5.59=(c+0.65) +(d+0.6c+1.76)s+0.6d+5.59 Igualando términos C+0.65=3.3 d+0.6 (.65)+1.76=10. C=.65 d=6.88 Quedando x(s)=... Redondeamos para facilitar cálculos:.. x(s)= 1 Completamos el trinomio (1) y queda: x(s)= Entonces: x(s)= Y por propiedades resolvemos: x (s)= = 3 x (s)= = x (s)= = Quedando la transformada inversa completa de la siguiente manera: X(t)= X(t)= Análisis de Sistemas y Señales 11

12 6.- Teniendo la ecuación x(s)= = Hallar su transformada inversa. Factorizando ² 5 este polinomio tenemos: Agrupando ( +5) + (5² +) Sacado el factor común (S +) (S² +1) Y desarrollado por fracciones: = + ²..(1) Calculando sus coeficientes: 3 ² 3 = A+B () 4s = Bs + Cs 4 = B+C. (3) 1 = A+i. (4) Despejando de 4; A = 1-c (4) Substituyendo 4 en 3 = 1-c+B ( ) Despejando B de B =+c (3 ) substituyendo 3 en 3 4 = 4+4c+C O = 5c C=O ; A = 1 ; B = Substituyendo A, B y C en (1) = 1 ² 1 1 ² 1 cost cost Análisis de Sistemas y Señales 1

13 7. Sea la señal cuya transformada de Laplace es la siguiente x = su transformada inversa. ² Calcular Buscando raíces s²+7s+1 = 0 Factorizando (S+3) (S+4) = 0 Sus raíces son: S 1 = 3 y S = 4 Reescribiendo la ecuación x Calculando A=1 y sustituyendo x = = + = + + = + 8.-Sea x ² = Hallar su transformada inversa de Laplace Obteniendo raíces S (s²+ 5s+7) =0 a partir de la resolución de la ecuación de segundo grado. Aplicando la ecuación cuadrática S 1 = 0 = = S = α=- 5 S 3 = β= 3 Aplicando las raíces como son complejas realizamos: x C 1 = C + i C C i x (t) =(c 1) αt cos (β+ < C 1 ) (C)= 1/ 7 = = Sustituyendo tenemos que es: = 1/7 + (1 7 ).5 cos ; t >, 0 = 1/7 + (1 7 ).5 cos ; t >, 0 Análisis de Sistemas y Señales 13

14 9.- X(s) = =, determinando raíces por división sintética en fracciones parciales: Tenemos entonces que es: x(s)= acomodando y y resolviendo el valor de las constantes: 3 41= C1(s+) 1)+(cs( 1))+(c3s+c4)(s(s+)) 3 41= C1 ( 3 3+(C ))+C3( )+C4( ) Agrupando =(C1+C+C3) +(3C1+C+C3+C4) +(3C1+C+C4)s+C1 C1+C+C3=0 (1) De (4) 3C1+C+C3+C4=3 () C1=1/ y sustituyendo C1 en (1, y 3) 3C1+C+C4=4 (3) C+C3=-1/ C1=1 (4) C+C3+C4=3/ C+C4=5/ Despejando C3 y C4 de (1) y (3) C3=-1/-C (5) C4=5/-CC4=5/4-1/C (6) Sustituyendo (5) y (6) C+(-1/-C)+(5/4-1/C)=3/ Análisis de Sistemas y Señales 14

15 10.- Sea la señal X(s)= s² + 1s + 0 Hallar su transformada inversa de Laplace: S 3 + 6s + 10s + 8 X 3 + 6x + 10x + 8 F(-x) = (-x ) (-x ) + 10 (-x ) + 8 = x 3 + 6x 10 ( -x ) + 8 = 8 = 4()(1) -1/4-1/5-1/ (x+4) (x +x +) s + 8 A + Bs + D S+4 s + s +.(A) s + 8s + 10 (s+4) (s + s + ) (s+4) (s + s + ) Determinando el valor de las constantes tenemos: (s +8+10) = A(s + s + ) + ( 8s + D) (s+4) A+B = (1) Resolviendo el sistema de ecuaciones... A +B+16 = 16.() (A + ) = 0.(3) 8 + s +4 S +4 s Transformando a partir de las tablas nos queda de la siguiente manera: 8 = 8 e -4j S+4 s + 4 = s++ s + s + (s+1) + 1 (s+1) + = = e -j cos j + e -j sen j (s+1) +1 (s+1) + 1 Análisis de Sistemas y Señales 15

16 11.- Sea la función X(s)= ² Calculando las raíces de el denominador y vemos que contiene raíces complejas r1= 5/ + 3/ j r = 5/ - 3/ j ( s r1) ( s + r) y sustituyendo en la ecuación α = 5/ β= 3/ p= α + pj x(s) = c1 + c Calculando el valor de las constantes (S-r 1) (S- r ) C1 = -3 / / 3 j + ½ C = C1 C= (3 / / 3) j + ½ X(t) = (C1) e t cos (β + α c1) + c3 e β 3t α C1 tan -1 (ln C1/ R C1 ) cuando Re C1 > 0 } 180º + tan -1 (ln C1/ R C1) cuando Re C1 < 0 α C1 = 180º + tan -1 ( -3 ( 3) / ½ ) = 10º Entonces tenemos que la transformada inversa de esta función es: x(t) = e -t cos ( 3/ t +10º) Análisis de Sistemas y Señales 16

17 1.- Teniendo la ecuación x(s)= = Hallar su transformada inversa. Factorizando ² 5 este polinomio tenemos: Agrupando ( +5) + (5² +) Sacado el factor común (S +) (S² +1) Y desarrollado por fracciones: = + ²..(1) Calculando sus coeficientes: 3 ² 3 = A+B () 4s = Bs + Cs 4 = B+C. (3) 1 = A+i. (4) Despejando de 4; A = 1-c (4) Substituyendo 4 en 3 = 1-c+B ( ) Despejando B de B =+c (3 ) substituyendo 3 en 3 4 = 4+4c+C O = 5c C=O ; A = 1 ; B = Substituyendo A, B y C en (1) = 1 ² 1 1 ² 1 cost cost Análisis de Sistemas y Señales 17