TEMA 5: INTEGRAL INDEFINIDA.

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1 TEMA : INTEGRAL INDEFINIDA.. Primitivas: propiedades. Integral indefinida.. Integración por partes.. Integración de funciones racionales (denominador con raíces reales simples y múltiples, denominador con raíces complejas simples).. Integración por cambio de variable.. PRIMITIVAS: PROPIEDADES. INTEGRAL INDEFINIDA. Dada una función f definida en [a, b], se llama primitiva (antiderivada) de f en [a, b] a toda función F definida en [a, b] tal que F'() = f() [a, b]. F primitiva de f F' = f Propiedades: ) Si F() es una primitiva de f() en [a, b], y C una constante, entonces F() + C es una primitiva de f() en [a, b]. Demostración: F'() = f() (F()+C)' = F'() + (C) = F'() = f() ) Si F() y G() son primitivas de f() en [a, b]. Entonces F()-G() = C (constante) en [a, b] Demostración: (F()-G())' = F'() - G'() = f() - f() = 0 [a, b], luego F()-G() = C [a, b] por el teorema de Lagrange. Como consecuencia de estas dos propiedades, si F() es una primitiva de f(), entonces el conjunto de todas las primitivas de f() es de la forma: {F() + C, C IR} = f () d y se llama integral indefinida de f. De modo que F() f () d F'() = f(). Se denota por f () d = F() + C ) De la definición de integral indefinida se obtiene f()d f() ) Linealidad de la integración: ) Una primitiva de la suma de dos funciones es la suma de las primitivas de cada una de ellas. ( f() g())d f()d g() d ' ) Una primitiva de un número real k por una función f() es k por una primitiva de f(): kf ()d k f() d Cuando se utilizan estas propiedades para calcular una primitiva de una función, se dice que se integra por descomposición.

2 Este año aprenderemos la resolución de integrales inmediatas a partir del conocimiento de las fórmulas de las derivadas y ajustando cuando sea necesario. Ejercicio : Resuelve las siguientes integrales inmediatas: ) ) 0) ) 6) d 0 d ( d d )d d ( ) d / d ) ) 8) ) ) d d ( d ( )d ) d d 0) ( ) d / d ) 6) ) ( ) 8) d 8 8 d d ) d ( d ) ( ) d ) d ) d ) d ( ) ) d 6) ( ) d ( desarrollando) ( ( ) 8) send cos( ) d 0) sen cos( ) ) sen cos( ) d ) sen d ) (cos ) d ) d ) d ) d 6) tagd cos cot g d 8) sen d d 7 e 0) e d ) d ) d cos ) d ) d ) d sen 6) sen e d e d 8) cos.e d d 0) d ) d ) d ) cos.sen d )cossen d - 9 ).( ) d 8) d (ln ) 6) d d d 60) d )d d = d

3 . MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES: Una técnica útil de integración se basa en la regla de la derivada de un producto (u() v())' = u'() v() + u() v'() esta ecuación demuestra que u'() v() d + u() v'() d = u() v() + C luego se puede escribir u() v'() d = u() v() - v() u'() d Prescindimos de la constante C, acordándonos de sustituirla después. Esta fórmula nos permite calcular u() v'()d si sabemos calcular v() u'()d. Se puede epresar solo en términos de diferenciales (suprimiendo el argumento ). d(uv) = du v + u dv udv = uv - vdu. Teniendo en cuenta que du = u'() d dv = v'() d. Y para la elección de u debemos tener en cuenta la siguiente regla: A Arctg, arcsen L Logaritmos P Polinomios E Eponenciales S Seno, coseno La integración por partes tiene algunas características que se ven reflejadas en los siguientes ejemplos: Ejemplo ) I = cos d u du = d elegimos de modo que: dv cos d v = cos d sen I = sen - sen d = sen -(-cos) + C = sen + cos + C las elecciones de u y dv fueron acertadas, debido a que se pudo obtener la función v por integración y debido también a que fue posible calcular v du, téngase esto en cuenta al elegir u. Ejemplo ) e d = e - e d = e - e + C u dv e d du = d v = e Ejemplo ) A veces hay que tomar dv = d, Ln d = Ln - d = Ln - + C. u Ln dv d du = d v =

4 Ejemplo ) Otro artificio interesante consiste en utilizar la integración por parte para hallar f() d en términos otra vez de f() d, y después despejar f() d en la ecuación resultante. I = Ln d = Ln Ln - Ln d Ln Ln - I u Ln d I = Ln Ln - I du = dv d I = (Ln) C v = I = Ln Ln Ejemplo ) A veces hay que hacer una integración preliminar antes de resolver el sistema. u Ln du = d Ln Ln d dv Ln d v = Ln - Ejemplo 6) Integración por partes de forma reiterada: u dv sen d send cos du =d v = sen d cos cos d cos (sen u dv cos d send) du = d v = cos d sen Ejercicio : Resuelve las siguientes integrales por el método de integración por partes: ) d = e ) Ln d= Ln(Ln) ) d = ) cos d= ) e d= 6) cos e d= arctg d= 8) Voluntarios: sen d= 0) ) arcsen d = ) ) e sen d = arcsen d = Ln d= cos(ln) d =. MÉTODO DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES. Al resolver una integral racional debes tener en cuenta si es: º) Fracción simple: Ya las vimos como integrales inmediatas. A a) d A Ln - a C a n A ( a) b) d A C (n ) n ( a) n

5 f () c) d Lnf() C f() º) Racional procedente de una arcotangente (en el denominador tenemos un polinomio de º grado sin raíces reales). Ya hemos visto algunas como inmediatas, veamos algunas más: ) d = ) d = ) d = ) 6 d = 8 ) d = 8 º) Racional. Son de la forma P() Q() d donde P() y Q() son funciones polinómicas. a) PRIMER PASO: Si grado P grado Q, efectuamos la división entera de P por Q, epresando: P ( ) R( ) C( ) donde C() y R() son funciones polinómicas. Q( ) Q( ) * d = d Ln d + C b) SEGUNDO PASO: Supongamos grado P < grado Q. Supondremos P y Q primos, de lo contrario podríamos simplificar. Calculamos las raíces del polinomio Q() que son reales (es lo que nos eigen, el próimo año sabremos que ocurre en caso de que no todas las raíces sean reales), siendo Q() = ( - a) ( - b) P(). Podemos descomponer en fracciones simples de la Q() siguiente forma: P() Q() A B C a b ( b) D ( b) Calculando las constantes A, B, C, D, por el método de los coeficientes indeterminados (o bien, = a, = b, etc.) * 8 d = * 8 A B ( ) C A( )( ) B( ) C( ) ( )( ) ( )

6 d d d Ln Ln Ln C ( ) Ejercicio : Resuelve las siguientes integrales de funciones racionales (voluntarias desde 9 al ): 7 ) d = ) - d = ( - ) 6 + ) d = ) ( - ) d = + ) d = 6) d = + d = 8) ( + ) d = ( )( ) - + d = 0) 6 d = + + ) d = ) 6 d ) d = ) d = ) Ln ( ) d =. INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLES. (Por sustitución). El método de integración por sustitución se basa en la regla de la cadena y trata de reducir una integral a otra inmediata o de cálculo más fácil. En la carpeta de antiguos viene esta parte más teórica. Para calcular f () d se pueden seguir diferentes dos procedimientos. º) f y g continuas,con t g() dt g ( )d f(g()). g ( ) d f(t) dt º) = g(t), d = g (t) dt f ()d f(g(t)) g'(t) dt Muchos de las integrales que hemos resuelto de forma inmediata pueden ser resueltas por sustitución. Cuando sea necesario un cambio, éste nos vendrá dado. Veamos la diferencia entre los dos cambios. EJEMPLOS: º) sen cos d (sen) (sen)'d t t dt sen C C 6

7 t = sen, derivando, dt = cos d, buscar lo subrayado en la integral y sustituir por dt (Me da la impresión de que sirve para los casos casi triviales) sent º) d cos t dt sent dt cos t C cos[arcsen ] C cos t = C, arcsen quiere decir el ángulo cuyo seno vale, por tanto su coseno es = sent, d = cos t dt Además sen t cos t cos t y t = arcsen Ejercicio : Resuelve las siguientes integrales por el método de sustitución (indicar los cambios), voluntarios, y 6: ) sen cos d t sen ) tag sec d t tag ) e sen sen d t sen ) sen(ln) d t Ln ) d t 6) d t Ln Ln e d Ln (t ) e d ; = t 6 0) 8) d =; = t + d ; =t ) d ; =t /, ) d = t= ) d ; =t - ) d d ) ; =t d 6) =-t 6 +, Ejercicio : Resuelve las siguientes integrales: ) arctg d = Por partes y después racional. ) arctg d = t primero debes realizar el cambio de variable, después por partes. arcsen ) d contiene los tres métodos. Para profundizar, consulta los cambios de variable en funciones trigonométricas en la página. Ejercicios para clase de la página 0, ejercicios:, 7, 9. Voluntarios: página 0, ejercicios: 7 al 0, (no h), al, 6 (f no, e para profundizar), 7 (profundizar), 9, 60, 6 al 69, 70 (no hacer ni d, ni f, ni g), 7 al 7, 76 b, 78, 0 y 06. 7