Integración por Partes II. Integrales Cíclicas

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Natalia Ramos Sánchez
hace 7 años
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1 Integración por Partes II Integrales Cíclicas Para este tema utilizamos la misma fórmula de integración por partes, no hay casi nada nuevo. Para comenzar con esta sección usaré un ejemplo. Ejemplo 1: Integra e cos() d Veo que no puedo hacer ninguna sustitución simple, por eso usaré integración por partes. Para ello diré u 1 e du 1 e d. Entonces, dv 1 cos()d v 1 sen(). Ya verás porque les puse un subíndice 1. Aplicando la fórmula, (1) e cos() d [e ][sen()] [sen()][e d] e sen() e sen()d Ahora me aparece está integral: e sen()d. La intentaré hacer aquí abajo. Para resolverla usaré integración por partes en donde u e du e d y diré que dv sen()d v cos() (por eso usé los subíndices, para distinguir esta sustitución de la de arriba). Aplicando la fórmula de integración por partes encuentro que, () e sen()d e cos() + e cos()d Esto no se ve bien... He quedado nuevamente con la integral que quería resolver, no he llegado a ningún lado. De aquí el nombre de Integrales Cíclicas. Si continuo haciendo integración por partes, quedaré encerrado en un lazo infinito, nunca terminaré. La manera para resolverlo será la siguiente: a.) Reemplazaré la ecuación () en la ecuación (1). Se verá así: 1

2 e cos() d e sen() [ e sen()d e sen() e cos() + ] e cos()d CUIDADO CON EL NEGATIVO FUERA DE LOS CORCHETES. Multiplicando ese negativo, mi ecuación se verá así (3) e cos() e sen() + e cos() e cos()d b.) Para hacer este paso más claro, diré I e cos(). Ahora la ecuación 3 queda así: I e sen() + e cos() I Si te pones a pensar bien, lo que quiero es el resultado de I, ya que I representa a mi integral original. Por eso en la ecuación anterior, despejaré para I: I e sen() + e cos() I I e sen() + e cos() Dividiendo ambos lados de la ecuación entre y factorizando e encuentro que: I e [sen() + cos()] Recordando que I e cos() y sin olvidar la constante de integración, mi respuesta es: e cos()d e [sen() + cos()] + C Nota: Decidí poner la constante de integración al final del procedimiento, pero pudiste haberla puesto en cualquier momento al integrar. Si vas a hacer eso, ten cuidado al momento de manipular esta constante.

3 Con ese ejemplo resuelto te pondré un problema para que tu mismo resuelvas. Problema Práctico 1: Usando un procedimiento similar al anterior, demuestra que e sen(4) 1 10 e [sen(4) cos(4)] + C Pista: Utiliza los mismos pasos aunque sea seno en vez de coseno. e ln() cos(ln())d Ejemplo : Resuelve Te mostraré dos caminos para resolver este problema. CAMINO 1: Veo que puedo usar la sustitución u ln() du d. Ahora reemplazo todo esto en la integral: e ln() cos(ln())d e u cos(u)du Al hacer la sustitución simple, me doy cuenta de que llego a una fórmula conocida. resultado obtenido en el ejemplo 1: Utilizo el e ln() cos(ln())d e u cos(u)du eu [cos(u) + sen(u)] + C Volviendo a la variable, eln() [cos(ln()) + sen(ln())] + C Usando propiedades de logaritmo y eponenciales obtengo la respuesta: e ln() cos(ln())d [cos(ln()) + sen(ln())] + C 3

4 CAMINO : Puedes hacer la pregunta: Por que no usé la propiedad al comienzo del problema? La manera en la que me dieron el problema, pude (sin usar la propiedad al comienzo) reducir la integral a una integral conocida. Si aplico la propiedad al comienzo, la integral se simplificará así e ln() cos(ln())d cos(ln())d cos(ln())d Como resuelvo esta integral? Dejaré su solución para el siguiente ejemplo. Problema Práctico : Integra e sen 1 () sen(sen 1 ())d 1 e sen(sen 1 ())d Problema Práctico 3: Demuestra que e + C Ejemplo 3: Integra cos(ln())d Si intento hacer una sustitución simple, no llegaré a nada. Aplicaré integración por partes. Diré u cos(ln()) du sen(ln())d por partes: y diré dv d v. Aplicando la fórmula de integración (3.1) cos(ln())d cos(ln()) [ sen(ln())d [] ] + C 1 cos(ln()) + sen(ln())d + C 1 Con un procedimiento similar (y dejaré que lo demuestres), encuentras (3.) sen(ln())d sen(ln()) cos(ln())d Reemplazando la ecuación (3.) en la ecuación (3.1) cos(ln())d cos(ln()) + sen(ln()) cos(ln())d + C 1 4

5 Si digo I cos(ln())d I [cos(ln()) + sen(ln())] I + C 1 Despejando I I [cos(ln()) + sen((ln())] + C 1 I [cos(ln()) + sen(ln())] + C Mi respuesta es cos(ln())d [cos(ln()) + sen(ln())] + C Esta es la misma respuesta que en el ejemplo. Entonces, para cerrar con esta sección diré varias cosas. Al momento de aplicar la fórmula de integración por partes, la integral que queda [ vdu] no siempre es directa, puede resultar en una integral que requiera otra integración por partes o algún otro método. Para las integrales la forma e a cos(b)d ó e a sen(b)d. Las sustituciones siempre deben llevar el mismo orden. Osea si u 1 función trigonométrica entonces u función trigonométrica. Si u 1 e a entonces u e a. Si no haces esto... te invito a intentar y ver que pasa. Problema Práctico 4: Demuestra que 1 e d Pista: Resuelve la antiderivada antes de evaluar en los límites de integración. 5

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