Análisis de Sistemas y Señales: Transformadas de Laplace, Z y Fourier. ÍNDICE. Transformadas de Laplace. 3. Transformada de Fourier.

Transcripción

1 Análisis de Sistemas y Señales Transformadas: Laplace, Z y Fourier. F L Z Alumnos: Anzures Robles Jorge Garcíaa Luciano Laura Quezada Borja Arnulfo Rojas Arteaga I. Karina Román Guadarrama José Roque Grupo: 4 Fecha de entrega: 1 Marzo.8

2 ÍNDICE Transformadas de Laplace. 3 Pulso 3 Impulso 4 Escalón 4 Exponencial [Decreciente y creciente] 5 6 Senoidal 6 Rampa 8 Transformada de Fourier. 9 Pulso 9 Impulso 1 Escalón 1 Exponencial [Decreciente y creciente] 1 11 Senoidal 11 Rampa 1 Transformada Z 14 Pulso 14 Impulso 14 Escalón 15 Exponencial [Decreciente y creciente] 15 Senoidal 16 Rampa 17 Bibliografía.. 18

3 Transformada de Laplace La Transformada de Laplace de una función f(t) para todos los números reales t es la función F(s), definida por: Siempre y cuando la integral esté definida. Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Una aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla. La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre Simon Laplace. Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue: La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t). Calculando las transformadas de Laplace de las funciones elementales: Pulso Sea la función impulso siguiente: Donde A y T son constantes y cuya gráfica es: La transformada de esta función se calcula de la siguiente manera: 3

4 Impulso Usando la propiedad: (t t ) f( t) = f ( t ) 1 Escalón La función escalón unitario o función de Heavisidee H:[, + ] se define como: Teniendo la función f (t ) que simplificado tenemos sólo f(t) nos quedaría la ecuación de la siguiente manera: f(t)= = Si t 1 Si t Graficando esta función tenemos: y 1 x Calculando la transformada de Laplace de esta función: F [u(t)]= ;, Evaluando en los intervalos de integración tenemos: L [u(t)]= 4

5 Exponencial [Decreciente y creciente] La función exponencial tiene como función a la siguiente ecuación: *CRECIENTE: Calculando la transformada de Laplace para la función creciente que tiene valores a> ; dado de a infinito y procedemos a integrar esta función siguiente manera haciendo una suma de la potencia a la que están. qué valor tiende. valor y valuamos la función teniendo ese resultado. Sustituimos la función en la ecuación de la transformada con el intervalo Vemos que por leyes de los exponentes se puede factorizar de la Como tenemos una integral impropia realizamos el límite para saber a Resolviendoo esto vemos que su valor es a cero y ahora sustituimoss su Esta es la transformada de Laplace de la función exponencial creciente 5

6 *DECRECIENTE: ; Calculando la transformada de Laplace para la función decreciente que tiene valores a< pero que se identifica ahora con un signo ( ) que significa que la función decaerá. Realizando los mismos pasos que la transformada anterior pero tomando ahora en cuenta el signo tenemos que su transformada se calcula de la siguiente manera: dado de a infinito y procedemos a integrar esta función siguiente manera haciendo una suma de la potencia a la que están. qué valor tiende. valor y valuamos la función teniendo ese resultado. Sustituimos la función en la ecuación de la transformada con el intervalo Vemos que por leyes de los exponentes se puede factorizar de la Como tenemos una integral impropia realizamos el límite para saber a Resolviendoo esto vemos que su valor es a cero y ahora sustituimoss su Esta es la transformada de Laplace de la función exponencial decrecientee Senoidal X(t) = Acos (ωot+φ) Sustituyendo en la ecuación de la transformadaa de Laplace L =x(s) )= ωot Φ Por identidad trigonométrica hacemos lo siguiente: L =x(s) = ωot cosφ ωotφ Resolviendo la integral: L =x(s) = cosφ ωot Φ ωot PARTE 1 PARTE 6

7 Se ve que la integral completa mejor la dividiéremos en partes y se resolverá cada una. Resolviendo la parte 1 L =x(s) = o ωot ωot o L =x(s) = o ωot o ωot ² o² ωot L =x(s) = ωot ² o² ωot = o² ωot o² ωot L =x(s) =1 cosωot L =x(s) = L =x(s) = o o s² o cosωot = o o S² Resolviendo la parte L =x(s) = L =x(s) = L =x(s) = 1 senωot L =x(s) = o o s² ωot o = o o s² = ωot cos ωot) o o ωot cos ωot o o. (Parte 1) o cos ωot ωot cosωot o o o o Uniendo la parte 1 con la parte L =x(s) = Acos Φ o o sen ωot ωot cos ωot) o ωot cos ωot= o = o o s² o ωo S senφ ωo ωo S² Finalmente tenemos que la transformada de Laplace de esta función es: o o S². (Parte ) L =x(s)ωot Φ = cos ΦsenΦωo s²ωo 7

8 Rampa La función rampa es la integral de la función escalón. Si consideramos que estamos sumando toda el área bajo la función escalón a hasta un tiempo t. Si t < (cero), el valor de la integral será (cero). Si es mayor que (cero), entonces el valor será igual a la integral de 1 desdee el tiempo hasta el tiempo t, la cual también tiene el valor t, es decir: Gráficamente tenemos: Calculando la Transformada de Laplace de esta función tenemos F[s] = L [r(t)] = lim Realizando la integral por el métodoo de por partes (uv ) tenemos: u= t du=dt dv=e st dt v= e st F[s] = L [r(t)]= lim ;, F[s] = L [r(t)]= Esta es la Transformada de la Laplace de la Función Rampa 8

9 Transformada de Fourier la transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores reales o complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente: Donde f es L 1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas. La transformada de Fourier, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales, la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señaless la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f. Dando una definición formal de la transformada de Fourier tenemos: Sea f una función Lebesgue integrable: o La transformada de Fourier de f es la función es: Pulso F( π ( t)) = π () te Como es causal: jωt dt 1 = π ( t ) e 1 jωt dt j = π () te ωt dt + π ( t ) e 1 1 jωt dt F ( π( t)) 1 = π () te jωt 1 dt= (1) j t e ω 1 jωt e dt = jω jω e = + jω 1 jω 1 F( π ( t)) = 1 e jω jω 9

10 Impulso Usando la propiedad: ( t t) f( t) = f( t) Escalón,, Para determinar la Trasformada de Fourier, de cualquier función se sustituye dicha función en la expresión de la Transformada de Fourier (este va a hacer el proceder en todas las funciones que ejemplificaremos), como se observa; y se desarrolla la integral impropia recordando de cálculo integral como se resuelven este tipo de integrales, entonces: F [u(t)]= Evaluando en los intervalos de integración tenemos: ;, F [u(t)]= Esta es la Transformada de Fourier para la Función escalón (unitario) Exponencial [Decreciente y creciente] CRECIENTE Está definida como: x(t) = e at ; a>; Sustituimos en la expresión de Fourier y desarrollamos la integral. F [x(t)]= Evaluando en los intervalos de integración tenemos: F [x(t)] = ;, 1

11 Esta es la Transformada de Fourier para la Función exponencial creciente DECRECIENTE Está definida como: x(t) = e at ; a<; Sustituimos en la expresión de Fourier y desarrollamos la integral. F [x(t)]= Evaluando en los intervalos de integración tenemos: ;, F [x(t)] = Esta es la Transformada de Fourier para la Función exponencial decreciente Senoidal Transformada de Fourier Senoidal X(t) = Acos (ωot+φ) Sustituyendo en la ecuación de la transformada de Laplace F =x(f)= F =x(f) = ωot Φ Por identidad trigonométrica hacemos lo siguiente: F =x(f) = cosφ ωot cosφ ωotφ Resolviendo la integral: ωot Φ PARTE 1 PARTE ωot Se ve que la integral completa mejor la dividiéremos en partes y se resolverá cada una. Resolviendo la parte 1 F=x(f) = o ωot ωot o F =x(f) = o ωot o ωot ² o² ωot 11

12 F =x(f) = ωot ² o² ωot = o² ωot o² ωot F =x(f) =1 cosωot F =x(f) = F =x(f) = o o jw² o cosωot =. (Parte 1) o o jw² Resolviendo la parte F =x(f) = o ωot = o ωot o cos ωot) = o ωot cos ωot o s² o o o cos ωot F =x(f) = ωot cosωot sen ωot o o o F =x(f) = 1 senωot F =x(f = o o s² o ωot cos ωot) o o ωot o cos ωot= = o o o jw² o o o jw². (Parte ) Uniendo la parte 1 con la parte F =x(f) = Acos Φ ωo jw senφ ωo ωo jw² Finalmente tenemos que la transformada de Fourier de esta función es: F =x(f)ωot Φ = cos ΦsenΦωo jw²ωo 1

13 Rampa F [r(t)] = lim Realizando la integral por el método de por partes (uv ) tenemos: u= t dv=e jwt dt du=dt v= e jwt F [r(t)]= lim F [r(t)]= ;, Esta es la Transformada de la Fourier de la Función Rampa 13

14 Transformada Z Definición Sea x(t) una función discreta, definida para t>. Si se admite un muestreo uniforme con período T de la función x(t), entonces la señal muestreada en t=kt (k=,1,...), la representaremos por x(kt). La transformada z de x(t), o de la secuencia de valores x(kt), se define como: Análogamente, la transformada z de una secuencia de números x(k), se define como: Calculando la transformada Z de las funciones elementales Pulso La función definida por este pulso unitario esta descrita por la siguiente ecuación: x(t) = 1; t = ; t Aplicando la ecuación () para esta ecuación vemos que tenemos el siguiente resultado: Vemos que esta serie converge a solo el valor 1 ya que sus demás valores se convierten en dando así como resultado de la transformada Z de esta ecuación Z = Impulso Ahora bien, recordemos que en cursos de Cálculo se ve la serie geométrica, y los valores para los cuales converge esta serie. Se tiene de hecho que: solo si Para los demás valores de r, la serie geométrica es divergente. Usando este resultado, podemos concluir que: si Teniendo como resultado: 14

15 Escalón La función escalón unitario se define con la siguiente ecuación: Aplicando la ecuación () su transformada Z es la siguiente: Estas series son resueltas con las series geométricas teniendo la formula Utilizando la siguiente expresión Ubicamos a = 1 y r = y simplemente sustituimos. La serie converge a la siguiente expresión que es el resultado de esta transformada Z Exponencial [Decreciente y creciente] La función exponencial decreciente se define con la siguiente ecuación: Aplicando la ecuación () su transformada Z es la siguiente: Utilizando la siguiente expresión sustituimos. Ubicamos a = 1 y r = y simplemente La serie converge a la siguiente expresión que es el resultado de esta transformada Z La función exponencial creciente se define con la siguiente ecuación pero ahora con los valores para a positivos: Utilizando la siguiente expresión sustituimos. Ubicamos a = 1 y r = y simplemente Aplicando la ecuación () su transformada Z es la siguiente: La serie converge a la siguiente expresión que es el resultado de esta transformada Z 15

16 Senoidal Acos( ωt φ) para la transformada z: + = A[ cos( ωt)cos( φ) sin( ωt)sin( φ) ] y(t)= Acos( ωt+ φ) y(kt)= Acos( ωkt φ) + = [ cos( ω )cos( φ) sin( ω )sin( φ) ] A kt kt y(z)= k= k= [ ω φ ω φ ] k y( kt) z = A cos( kt)cos( ) sin( kt)sin( ) z k = Acos( φ) cos( ωkt) z Asin( φ) sin( ωkt) z k= k= { + 1 tz + tz + 3 tz } { 1 tz tz 3 tz } cos( φ) 1 cos( ω ) cos( ω ) cos(3 ω ) = A sin( φ) sin( ω ) + sin( ω ) + sin(3 ω ) k k se sabe que: cos( wt ) = ( 1) w { } w 1 w 3w 3 cos( φ) 1 + ( 1) z + ( 1) z + ( 1) z y(z)= = A 1 3 sin( φ) { sin( ωtz ) + sin( ωtz ) + sin(3 ωtz ) } y(z)= A cos( φ) {( 1) kw z k = } sin( φ) { sin( kωt) z k } k = 1,,3, 4,... en donde: A es amplitud, ω es frecuencia, φ es ángulo de fase. 16

17 Rampa La función rampa unitaria se define con la siguiente ecuación: Aplicando la ecuación () su transformada Z es la siguiente: Utilizando la siguiente expresión sustituimos. Ubicamos a = T y r= y simplemente La serie converge a la siguiente expresión que es el resultado de esta transformada Z 17

18 BIBLIOGRAFÍA Kemen, Edward, Introducción a Señales y sistemas Oppenheim Alan, Señales y Sistemas 18