Tema 3. Análisis de Fourier de señales y sistemas de tiempo continuo.

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1 Tema 3. Análisis de Fourier de señales y sistemas de tiempo continuo Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

2 Índice Introducción 2 Respuesta de sistemas LTI a exponenciales complejas 3 Representación de señales periódicas: series de Fourier 4 Representación espectral de señales Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

3 Introducción Índice Introducción 2 Respuesta de sistemas LTI a exponenciales complejas 3 Representación de señales periódicas: series de Fourier Desarrollo en serie de Fourier Obtención de los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier Convergencia de las series de Fourier Propiedades de los coeficientes de la serie de Fourier 4 Representación espectral de señales Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

4 Introducción Introducción Tema anterior. Sistemas LTI Tanto x(t) como x[n] se pueden expresar como combinación lineal de impulsos. Por tanto, la salida de un sistema y(t) o y[n] será la combinación lineal (convolución) de funciones de respuesta al impulso h[n] o h(t). Objetivo Expresar las señales de tiempo continuo x(t) como combinación lineal de otro tipo de señales básicas que permitan: Calcular la salida de un sistema sin realizar la convolución. Entender la dinámica de las señales y sistemas de un modo más intuitivo. Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

5 Autovalores y autofunciones Índice Introducción 2 Respuesta de sistemas LTI a exponenciales complejas 3 Representación de señales periódicas: series de Fourier Desarrollo en serie de Fourier Obtención de los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier Convergencia de las series de Fourier Propiedades de los coeficientes de la serie de Fourier 4 Representación espectral de señales Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

6 Autovalores y autofunciones Respuesta de sistemas LTI a exponenciales complejas: Autovalores y autofunciones Consideración Las exponenciales complejas son autofunciones de los sistemas LTI. Conclusión x(t) = e s0t y(t) = H(s 0 ) = h(τ)e s0(t τ) dτ = H(s 0 ) e s0t h(τ)e s0τ dτ Autovalor e s0t Autofunción Sabemos como se transforma una exponencial compleja son interesantes como señales básicas Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

7 Índice Introducción 2 Respuesta de sistemas LTI a exponenciales complejas 3 Representación de señales periódicas: series de Fourier Desarrollo en serie de Fourier Obtención de los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier Convergencia de las series de Fourier Propiedades de los coeficientes de la serie de Fourier 4 Representación espectral de señales Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

8 Desarrollo en serie de Fourier Exponenciales complejas armónicamente relacionadas Proposición Una señal periódica con periodo T 0 se puede expresar como una combinación de exponenciales complejas armónicamente relacionadas Desarrollo en serie de Fourier. Definición La familia de exponenciales complejas armónicamente relacionadas son: Φ k (t) = e jkω0t, k = 0,±,±2, Todas ellas son periódicas de periodo T 0 = 2π ω 0. Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

9 Desarrollo en serie de Fourier Desarrollo en serie de Fourier Ecuación de síntesis Sea una señal periódica x(t) con periodo fundamental T 0 se puede poner como combinación lineal de exponenciales complejas armónicamente relacionadas: x(t) = k= a k e jkω0t ; a k C a k : Coeficientes del desarrollo de Fourier k = 0 Componente continua k = ± Componente fundamental (Primer armónico) k = ±N N-ésimo armónico Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

10 Desarrollo en serie de Fourier Ejemplo de DSF Ejemplo de síntesis: Sea una señal periódica x(t), cuya pulsación fundamental es ω 0 = 2π rad/s, expresada como: 3 x(t) = a k e jk2πt k= 3 donde: a 0 = ;a = a = 4 ;a 2 = a 2 = 2 ;a 3 = a 3 = 3 Vamos a representar la señal, para ello se reescribe la ecuación y se aplica la relación de Euler: x(t) = + 2 cos(2πt)+cos(4πt)+ 2 3 cos(6πt) Simetría Coeficientes simétricos señal real. Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

11 Desarrollo en serie de Fourier Ejemplo de DSF x 0 (t) = x (t) = 2 cos(2πt) x 2 (t) = cos(4πt) x 3 (t) = 2 3 cos(6πt) Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

12 Desarrollo en serie de Fourier Ejemplo de DSF 2 x 0 (t) + x (t) x 2 (t) = cos(4πt) x 3 (t) = 2 3 cos(6πt) Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

13 Desarrollo en serie de Fourier Ejemplo de DSF x 0 (t) + x (t) + x 2 (t) x 3 (t) = 2 3 cos(6πt) Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

14 Desarrollo en serie de Fourier Ejemplo de DSF 3 x 0 (t)+x (t)+x 2 (t)+x 3 (t) Cúal es el periodo? Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

15 Coeficientes Obtención de los coeficientes del DSF Obtención de los coeficientes La señal se expresa: x(t) = k= a k e jkω0t ; a k C Los coeficientes de la combinación lineal se obtienen mediante la ecuación de análisis: a k = x(t) e jkω0t dt T 0 <T 0> Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

16 Coeficientes Ejemplo de análisis: Tren de pulsos rectangulares A T 0 τ/2 τ/2 T 0 t Los coeficientes del DSF serán: a k = T 0 τ/2 τ/2 Ae jkω0t dt = A sen(kω 0τ/2) kπ a k = Aτ ( ) kω0 τ sinc T 0 2π Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

17 Coeficientes Tren de pulsos rectangulares. Fenómeno de Gibbs Recuperación de la señal a partir del DSF: N x(t) = a k e jkω0t ; a k C k= N N = t Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

18 Coeficientes Tren de pulsos rectangulares. Fenómeno de Gibbs Recuperación de la señal a partir del DSF: N x(t) = a k e jkω0t ; a k C k= N N = 3 t Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

19 Coeficientes Tren de pulsos rectangulares. Fenómeno de Gibbs Recuperación de la señal a partir del DSF: N x(t) = a k e jkω0t ; a k C k= N N = 5 t Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

20 Coeficientes Tren de pulsos rectangulares. Fenómeno de Gibbs Recuperación de la señal a partir del DSF: N x(t) = a k e jkω0t ; a k C k= N N = 25 t Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

21 Coeficientes Tren de pulsos rectangulares. Fenómeno de Gibbs Recuperación de la señal a partir del DSF: N x(t) = a k e jkω0t ; a k C k= N N = 00 t Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

22 Convergencia de las series de Fourier Convergencia de las series de Fourier Condiciones de Dirichlet Condición. Sobre cualquier periodo, x(t) debe ser integrable en valor absoluto: x(t) dt < Ejemplo donde no se cumple: x(t) = ; 0 < t ; Periódica con periodo T = t T t Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

23 Convergencia de las series de Fourier Convergencia de las series de Fourier Condiciones de Dirichlet Condición 2. La variación de x(t) en cualquier periodo está acotada; esto es, hay un número finito de máximos y mínimos en un periodo. Ejemplo donde no se cumple: ( ) 2π x(t) = sen ; 0 < t ; Periódica con periodo T = t 2 2 t Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

24 Convergencia de las series de Fourier Convergencia de las series de Fourier Condiciones de Dirichlet Condición 3. En cualquier periodo sólo hay un número finito de discontinuidades finitas. Ejemplo que no cumple Señal periódica con T = 8, compuesta por infinitas secciones donde cada una de ellas tiene la mitad de anchura y de altura que la anterior t Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

25 PROPIEDADES DE LA SERIE CONTINUA DE FOURIER Propiedad Señal Periódica Coeficientes de la serie Obtención de coeficientes x( t) y( t) Periódicas de periodo T y frecuencia fundamental ω0 = 2π T jkω0t ( t) = a k e k = x( t) x T k= Linealidad x( t) B y( t) Desplazamiento en el tiempo ( t ) Desplazamiento en frecuencia ω t ( ) T a k b k jkω0t a e T 2 T 2 x(t) Señal par a = T k x( t) cos( kω0t) 2 x(t) Señal impar a = T k x( t) sen( kω0t) 0 2j T A + A a k+ B bk x jk ω0 t 0 a k e x t t 0 e jm 0 Conjugación x * ( t) Inversión de tiempo x( t) Escalamiento en el tiempo x ( t), α > 0 Convolución periódica x( τ) y( t τ) T Multiplicación x( t) y( t) Diferenciación dx( t) 0 a k M a k a k α (Periódica de periodo T/α) a k dt dτ T a k b k p= a p b k p jkω 0 a k dt dt dt

26 Propiedades de los coeficientes de la serie de Fourier PROPIEDADES DE LA SERIE CONTINUA DE FOURIER Propiedad Señal Periódica Coeficientes de la serie Diferenciación dx( t) dt jkω 0 a k t Integración x ( τ) dτ (de valor finito y periódica a solo si a 0 = 0 ) k jkω Simetría conjugada para señales reales. x( t) Señal real a k = a R I m k a k = a ϕ k k 0 e[ a k] = R e[ a k] [ a ] = I [ a ] k m k [ a ] = ϕ[ a ] Señal real y par x(t) real y par a k real y par Señal real e impar x(t) real e impar a k imaginaria e impar Relación de Parseval para señales periódicas 2 2 P m[ x( t) ] = x( t) dt = a T k T k= k Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

27 Representación espectral de señales Índice Introducción 2 Respuesta de sistemas LTI a exponenciales complejas 3 Representación de señales periódicas: series de Fourier Desarrollo en serie de Fourier Obtención de los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier Convergencia de las series de Fourier Propiedades de los coeficientes de la serie de Fourier 4 Representación espectral de señales Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

28 Representación espectral de señales Representación espectral Representación espectral El espectro de frecuencias de una señal ondulatoria muestra cuál es la proporción de cada una de las frecuencias que la componen (sonora, luminosa, electromagnética,...). Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

29 Representación espectral de señales Representación espectral de señales El valor de los coeficientes del DSF son la proporción de cada uno de los armónicos que forman la señal. Se representa el valor de los coeficientes para cada frecuencia. Ejemplo coseno x(t) = A 0 cos(ω 0 t+φ 0 ) x(t) = A 0 2 e jω0t e jφ0 + A 0 2 ejω0t e jφ0 Cuál es la representación espectral? Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

30 Representación espectral de señales Representación espectral de señales A 0 /2 A 0 /2 ω 0 ω 0 ω Módulo φ 0 ω 0 ω 0 ω φ 0 Fase Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

31 Representación espectral de señales Ejemplo de representación espectral Representar el desarrollo en serie de la señal: x(t) = +sen(ω 0 t)+2cos(ω 0 t)+cos(2ω 0 t+π/4) Identificando términos: si lo ponemos en función de exponenciales complejas quedará: ( x(t) = + + ) ( e jω0t + ) e jω0t + 2j 2j (+j)ej2ω0t + 4 ( j)e j2ω0t Coeficientes de la serie de Fourier: a 0 =, a = ( 2 j), a = ( + 2 j), a 2 = 2 4 (+j), a 2 = 2 4 ( j) Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

32 Representación espectral de señales Ejemplo de representación espectral ω 0 ω 0 ω 0 2ω 0 Amplitud ω arctg(0,5) π/4 2ω 0 π/4 0 ω 0 ω 0 2ω 0 -arctg(0,5) ω Fase Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23

33 Representación espectral de señales A 2 Ejemplo. Espectro tren de pulsos a k = Aτ T 0 sinc ( ) kω0τ = Aτ 2π Para representarlo tomamos T 0 = 2τ: a k = A 2 sinc ( k 2 Módulo del espectro: ( ) kτ sinc T 0 T 0 ). -8ω0-7ω0-6ω0-5ω0-4ω0-3ω0-2ω0 -ω0 ω 0 2ω 0 3ω0 4ω0 5ω0 6ω0 7ω0 8ω0 ω Fase del espectro: π -8ω0-7ω0-6ω0-5ω0-4ω0-3ω0-2ω0 -ω0 ω 0 2ω 0 3ω0 4ω0 5ω0 6ω0 7ω0 8ω0 ω π Tema 3. Análisis de Fourier de tiempo continuo / 23