UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA SERIES DE FOURIER. Ramón Bruzual Marisela Domínguez

Transcripción

1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA SERIES DE FOURIER Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas, Venezuela Marzo 3

2 Ramón Bruzual Correo-E: Marisela Domínguez Correo-E: Laboratorio de Formas en Grupos Centro de Análisis Escuela de Matemática Facultad de Ciencias Universidad Central de Venezuela

3 Prólogo Estas notas fueron escritas especialmente para los Talleres de Formación Matemática (TForMa, auspiciadas por la Asociación Matemática Venezolana. Han sido concebidas como material de estudio para un primer curso de análisis de Fourier. Se estudian los siguientes temas: Funciones periódicas y series de Fourier. Condiciones para la convergencia puntual y en media aritmética de una serie de Fourier. Convergencia en media cuadrática de la serie de Fourier. Desigualdad de Bessel, identidad de Parseval y aplicaciones. Comportamiento de las series de Fourier. Desarrollo en serie de senos y en serie de cosenos. Aplicación a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales. Los objetivos fundamentales del curso son motivar a los participantes hacia el estudio del análisis armónico y conseguir que apliquen en forma rigurosa los tópicos que ya han estudiado, tanto para comprender resultados clásicos, como para resolver problemas sencillos. La noción de integral que usamos es la de Riemann, para un curso de mayor profundidad sería necesaria la integral de Lebesgue. El requisito fundamental para la lectura de estas notas es un curso avanzado de cálculo diferencial e integral en una variable. Más en detalle: los participantes deben dominar las nociones básicas de los siguientes temas: cálculo diferencial en una variable, integral de Riemann unidimensional, convergencia uniforme de sucesiones y series de funciones. Es recomendable que el participante posea un mínimo de conocimientos de álgebra lineal y rudimentos de cálculo en varias variables. iii

4 iv Finalmente, agradecemos a los organizadores del TForMa la oportunidad de participación que nos han brindado. Ramón Bruzual. Marisela Domínguez. Marzo 3.

5 Contenido Capítulo. Funciones periódicas y series de Fourier. Funciones trigonométricas. Polinomios trigonométricos 3 3. Período de una función 5 4. Coeficientes de Fourier 6 5. Lema de Riemann-Lebesgue 6. Ejercicios adicionales 6 Capítulo. Condiciones para la convergencia puntual y en media aritmética de una serie de Fourier 7. Condición suficiente para la convergencia puntual 7. Convergencia de las medias aritméticas 3. Ejercicios adicionales 4 Capítulo 3. Convergencia en media cuadrática de la serie de Fourier 7. Media cuadrática 7. Aproximación en media cuadrática 8 3. Desigualdad de Bessel e Identidad de Parseval 9 4. Aplicación a sumación de series numéricas 3 5. Ejercicios adicionales 3 Capítulo 4. Comportamiento de las series de Fourier 33. Fenómeno de Gibbs 33. Integración y derivación de series de Fourier Orden de magnitud de los coeficientes de Fourier 4 4. Ejercicios adicionales 4 Capítulo 5. Casos más generales 43 v

6 vi CONTENIDO. Notación compleja 43. Funciones de período arbitrario Desarrollo en serie de cosenos y en serie de senos Ejercicios adicionales 47 Capítulo 6. Aplicación a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales 49. Introducción 49. Ecuación de la cuerda vibrante 5 3. Ecuación del calor 55 Bibliografía 59 Índice 6

7 CAPíTULO Funciones periódicas y series de Fourier. Funciones trigonométricas Se supone que el lector está familiarizado con las propiedades básicas de las funciones trigonométricas. En esta sección repasaremos algunas identidades y enunciaremos algunos resultados básicos que serán necesarios más adelante. Las funciones sen y cos tienen período π, es decir satisfacen: sen(x + π = sen(x, cos(x + π = cos(x para todo número real x. Las siguientes identidades serán utilizadas en distintas partes del libro (x e y denotan números reales. (. (. (.3 (.4 (.5 (.6 (.7 sen(x ± y = sen x cos y ± sen y cos x cos(x ± y = cos x cos y sen x sen y sen x = cos(x cos x = + cos(x sen x cos y = (sen(x y + sen(x + y sen x sen y = (cos(x y cos(x + y cos x cos y = (cos(x y + cos(x + y

8 . FUNCIONES PERIÓDICAS Y SERIES DE FOURIER Proposición.. Sean m y n enteros positivos. Entonces, si m n; sen mx sen nx dx = cos mx cos nx dx = π, si m = n. sen mx cos nx dx =. Demostración. Demostraremos que, si m n; sen mx sen nx dx = π, si m = n. Las demostraciones de las igualdades restantes son análogas y quedarán como ejercicio. Supongamos m n, por la identidad (.6 tenemos que por lo tanto, sen mx sen nx = ( cos((m nx cos((m + nx, sen mx sen nx dx = cos((m nx dx cos((m + nx dx [ ] π [ ] π sen((m nx sen((m + nx = m n m + n = =. Supongamos m = n, por la identidad (.3 tenemos que por lo tanto, sen (mx = cos(mx, sen (mx dx = = = π. ( cos(mx dx [ x sen(mx m ] π

9 . POLINOMIOS TRIGONOMÉTRICOS 3. Polinomios trigonométricos Como es usual R denotará el cuerpo de los números reales. Definición.. Un polinomio trigonométrico es una función de R en R de la forma (.8 P (x = α n o + α k cos kx + β k sen kx, donde α o, α,..., α n y β,..., β n son constantes reales. Definición.3. Si P es un polinomio trigonométrico de la forma (.8, el grado de P es el mayor entero k tal que α k ó β k. Proposición.4. Sea P un polinomio trigonométrico de la forma (.8. Entonces α o = π α k = π β k = π P (x dx P (x cos kx dx para k =,..., n P (x sen kx dx para k =,..., n. Demostración. Demostraremos la primera y la segunda igualdad, la demostración de la tercera es análoga y la dejaremos como ejercicio. luego Por la Proposición. tenemos que, para j =,..., n, P (x dx = α o sen jx dx = cos jx dx = sen jx cos x dx =, cos jx cos x dx =, n dx + α j cos jx dx + β j sen jx dx = πα o. Esto prueba la primera igualdad, a continuación probaremos la segunda. j= Sea k un entero entre y n. Nuevamente, por la Proposición. tenemos que, cos kx dx = cos kx cos x dx =, sen jx cos kx dx =,

10 4. FUNCIONES PERIÓDICAS Y SERIES DE FOURIER, si j k; cos jx cos kx dx = π, si j = k, para j =,..., n. Luego P (x cos kx dx = α o = πα k. coskx dx + n α j cos jx cos kx dx + β j sen jx cos kx dx j= Observación.5. Como cos = tenemos que las dos primeras fórmulas de la Proposición.4 se reducen a α k = π P (x cos kx dx para k =,..., n. Proposición.6. Sea P un polinomio trigonométrico de la forma (.8. Entonces π Demostración. Notemos que n (P (x dx = α o + αk + βk. (P (x = α n o P (x + α k P (x cos kx + β k P (x sen kx, integrando y utilizando la Proposición.4 obtenemos (P (x dx = α o = α o πα o + ( = π α o P (x dx + n α k P (x cos kx dx + β k P (x sen kx dx n α k πα k + β k πβ k + n α k + β k.

11 3. PERÍODO DE UNA FUNCIÓN 5 3. Período de una función Definición.7. Sea f : R R una función. Decimos que f es periódica cuando existe un número real T, no nulo, tal que f(x + T = f(x para todo x R. En este caso se dice que T es un período para f. Observación.8. Si T es un período para f entonces ±T, ±T,..., ±nt,... también son períodos para f. Ejemplo.9. (a Las funciones sen y cos tienen período π. (b La función u definida por u(x = cos(x tiene período π. (c La función v definida por v(x = sen(3x tiene período π. 3 (d La función f definida por f(x = sen( x tiene período π. (e La función g definida por g(x = + cos(x + sen(3x tiene período π. (f La función h definida por h(x = + cos(x + sen(4x tiene período π. Observación.. Es claro que si f : R R es una función de período T entonces f está determinada por sus valores en un intervalo semi-abierto de longitud T. Supongamos que f es una función a valores reales definida en un intervalo I, de la forma (a, b] ó [a, b, entonces f puede ser extendida, en forma natural, a una función de período T = b a, definida en todo R mediante la siguiente igualdad: f(x + nt = f(x, para x I y n Z. En particular, cuando se consideran funciones de período π, es usual definirlas en el intervalo [, π, o en el intervalo [ π, π. Proposición.. Sea f : R R una función de período T. Si f es integrable sobre un intervalo de longitud T entonces f es integrable sobre cualquier intervalo de longitud T y para cualquier a R se tiene que T a f(x dx = T a f(x dx.

12 6. FUNCIONES PERIÓDICAS Y SERIES DE FOURIER Demostración. Usando que f(u T = f(u para todo u R y haciendo la substitución u = x + T obtenemos luego f(x dx = T f(u T du = T f(u du = T a T a T a T a T a a f(x dx = = = a T T a T f(x dx + f(x dx + f(x dx. T a T a f(x dx f(x dx f(x dx, Ejercicio.. Sea f : R R una función periódica. El período fundamental de f se define como T = inf{t > : T es un período para f}. Probar: (a Si T entonces T es un período para f. (b Si T entonces cualquier otro período de f es un múltiplo entero de T. (c Si T = y f es continua entonces f es constante. Ejercicio.3. Dar un ejemplo de una función no constante con período fundamental igual a cero. Ejercicio.4. Probar que si una función f tiene dos períodos T y T tales que T /T es irracional entonces el período fundamental de f es. Dar un ejemplo de una función no constante con períodos T y T tales que T /T es irracional. 4. Coeficientes de Fourier Definición.5. Sea f : R R una función de período π, integrable en el intervalo [, π]. Los coeficientes de Fourier de f son

13 4. COEFICIENTES DE FOURIER 7 (.9 (. a k = π b k = π f(x cos kx dx (k =,,..., f(x sen kx dx (k =,,.... La serie de Fourier de f es la siguiente suma formal (. a o + a k cos kx + b k sen kx Uno de los objetivos fundamentales de este curso es estudiar la convergencia de la serie de Fourier de una función. Los siguientes ejemplos ilustran, a través de gráficos, el comportamiento de la serie de Fourier de una función. Ejemplo.6. Consideremos la función, si x π; f(x =, si π < x < π, extendida por periodicidad a toda la recta. La serie de Fourier de f es (verificarlo como ejercicio. ( 4 sen x sen 3x sen(k + x π 3 k + 4 π Consideremos la suma parcial S 5 de esta serie de Fourier, entonces ( sen 3x 3 S 5 (x = 4 ( sen x + π sen 3x 3 + sen 5x. 5 Para visualizar el gráfico de S 5 trazamos primero los gráficos de las funciones 4 π ( y 4 sen 5x π 5. ( sen x,

14 8. FUNCIONES PERIÓDICAS Y SERIES DE FOURIER sen x π 4 sen 3x π 3 4 sen 5x π 5 Al trazar el gráfico de la suma obtenemos Figura.. S 5 Si continuamos hasta S obtenemos Figura.. S

15 4. COEFICIENTES DE FOURIER 9 Estos gráficos sugieren que la serie de Fourier de f converge a f en cada punto de continuidad. Ejemplo.7. Consideremos la función g(x = x para π x < π, extendida por periodicidad a toda la recta. La serie de Fourier de g es ( sen x sen x sen 3x k+ sen kx ( + 3 k (verificarlo como ejercicio. Consideremos la suma parcial S 3 de esta serie de Fourier, entonces ( sen x sen x S 3 (x = + sen 3x. 3 Para visualizar el gráfico de S 3 trazamos primero los gráficos de las funciones sen x, sen x y sen 3x sen x sen x sen 3x 3 Al trazar el gráfico de la suma obtenemos

16 . FUNCIONES PERIÓDICAS Y SERIES DE FOURIER Figura.3. S 3 Si continuamos hasta S 6 obtenemos Figura.4. S 6 Al igual que en el ejemplo anterior, estos gráficos sugieren que la serie de Fourier de g converge a g en cada punto de continuidad. En el Capítulo daremos condiciones suficientes para la convergencia de la serie de Fourier de una función.

17 4. COEFICIENTES DE FOURIER Proposición.8. Sea f : R R una función de período π, si la serie de Fourier de f converge uniformemente a f en [, π] entonces π (f(x dx = a o + a k + b k. Demostración. Notar que por hipótesis f es continua, ya que es límite uniforme de funciones continuas. Por lo tanto f es integrable en [, π]. Como entonces f(x = a o + a k cos kx + b k sen kx (f(x = a o f(x y la convergencia es uniforme. Luego Integrando obtenemos (f(x dx = a o f(x dx + + a k f(x cos kx + b k f(x sen kx. (a k f(x cos kx dx + b k (f(x dx = a o π + ( a k π + b kπ. f(x sen kx dx. Observación.9. El resultado anterior se conoce como Identidad de Parseval y es válida en casos más generales, tal como veremos más adelante (ver Teorema 3.. Proposición.. Sea f : R R una función continua de período π y sean a k y b k los coeficientes de Fourier de f. Para cualquier entero positivo n a o n + a k + b k π (f(x dx. Demostración. Consideramos las sumas parciales de la serie de Fourier de f, esto es para n sea (. S n (x = a n o + a k cos kx + b k sen kx. Tenemos que (f(x f(xs n (x + (S n (x = (f(x S n (x

18 . FUNCIONES PERIÓDICAS Y SERIES DE FOURIER y por lo tanto luego (f(x f(xs n (x + (S n (x dx. Luego (f(x dx f(xs n (x dx (S n (x dx. Calcularemos las integrales que están a la derecha de esta expresión Multiplicando (. por f(x e integrando de a π, obtenemos f(xs n (x dx = a n o f(x dx + (a k f(x cos kx dx + b k f(xs n (x dx = π Por la Proposición.6 tenemos que por lo tanto (f(x dx π (S n (x dx = π = π ( a o ( a n o + ( a n o + n + a k + b k π n + a k + b k. ( a o a k + b k a k + b k ( a o,. n + a k + b k f(x sen kx dx, Observación.. El resultado anterior se conoce como Desigualdad de Bessel y es válido en casos más generales, tal como veremos más adelante (ver Proposición Lema de Riemann-Lebesgue El siguiente resultado, que dejamos como ejercicio, lo necesitaremos para probar el resultado fundamental de esta sección. que Ejercicio.. Sea f una función integrable en [a, b]. Demostrar que para cada ε >, existe una función escalonada h, definida en [a, b], tal b a f(x h(x dx < ε.

19 5. LEMA DE RIEMANN-LEBESGUE 3 Lema.3 (Riemann-Lebesgue. Sea f : [a, b] R una función integrable. Entonces Demostración. b lim λ + a Demostraremos que el otro límite es análogo. Consideraremos tres casos. f(x sen(λx dx = b lim λ + a b lim λ + a f(x sen(λx dx =, f(x cos(λx dx =. Caso : f es la función característica de un intervalo [c, d] contenido en [a, b], es decir, x [c, d]; f(x =, x / [c, d]. En este caso b a f(x sen(λx dx = = d c sen(λx dx [ cos(λx λ ] d = (cos(λc cos(λd, λ como la función coseno es acotada, esta última expresión tiende a si λ tiende a. Caso : f es una función escalonada. En este caso f es una combinación lineal finita de funciones características de intervalos contenidos en [a, b], por la linealidad de la integral el resultado para este caso se obtiene inmediatamente del caso. que Caso 3: Caso general, sea f integrable en [a, b]. Sea ε >, por el Ejercicio., existe una función escalonada h, definida en [a, b], tal b a f(x h(x dx < ε. Por lo probado en el caso anterior existe λ o R tal que si λ λ o entonces b h(x sen(λx dx < ε. a c

20 4. FUNCIONES PERIÓDICAS Y SERIES DE FOURIER Por lo tanto, si λ λ o, tenemos que b a b f(x sen(λx dx = ( f(x h(x + h(x sen(λx dx a b b ( f(x h(x sen(λx dx + h(x sen(λx dx a a b b ( f(x h(x sen(λx dx + h(x sen(λx dx a a b b f(x h(x dx + h(x sen(λx dx a < ε + ε = ε. a Corolario.4. Sea f : R R una función de período π, integrable en el intervalo [, π]. Si {a k } y {b k } son sus coeficientes de Fourier, entonces lim a k = lim b k =. k + k + A continuación probaremos una fórmula de sumación y aplicaremos el Lema de Riemann- Lebesgue al cálculo de una integral definida que no es posible obtener a través del Teorema fundamental del cálculo. Proposición.5. Si x R, sen( x y n es un número natural, entonces (.3 (( sen n + x + cos x + cos x + + cos nx = sen (. x Demostración. ( ( x ( sen + cos x + cos x + + cos nx = ( x ( x ( x = sen + sen cos x + + sen cos nx

21 5. LEMA DE RIEMANN-LEBESGUE 5 Por la identidad (.5 tenemos que, para k =,..., n, Por lo tanto ( ( x ( sen ( x = sen sen ( x sen (( = sen n + x. ( x cos kx = sen kx (( = sen = sen k x (( k + cos x + cos x + + cos nx = ( x + sen ( 3x sen ( x + sen + kx (( + sen x + sen + k (( k + x x. ( (( 3x + sen n (( x + sen n + x Ejercicio.6. El propósito del siguiente ejercicio es calcular el valor de + sen t t (a Demostrar la convergencia de la integral impropia + sen t t (b Utilizar el Lema de Riemann-Lebesgue para demostrar que π [ ] lim n + t sen ( sen (( n + t t dt =. (c Utilizar la fórmula de sumación (.3 para demostrar que, para todo entero n se tiene que π dt. dt. sen (( n + t sen ( dt = π. t (d Utilizar el cambio de variable u = n + t para demostrar que π lim n + sen (( n + t t dt = + sen t t dt.

22 6. FUNCIONES PERIÓDICAS Y SERIES DE FOURIER (e Demostrar que + sen t t dt = π. 6. Ejercicios adicionales ( Calcular (a (b ( + cos 3x + cos 3x dx. ( + cos 3x + 4 cos 5x sen x dx. ( Considerar la función f definida por f(x = x para π x < π, extendida por periodicidad a toda la recta. (a Trazar el gráfico de f. (b Hallar los coeficientes de Fourier. (c Trazar, en forma aproximada, el gráfico de las primeras sumas parciales de la serie de Fourier de f. (3 Considerar la función f definida por f(x = x para π x < π, extendida por periodicidad a toda la recta. (a Trazar el gráfico de f. (b Hallar los coeficientes de Fourier. (c Trazar, en forma aproximada, el gráfico de las primeras sumas parciales de la serie de Fourier de f.

23 CAPíTULO Condiciones para la convergencia puntual y en media aritmética de una serie de Fourier. Condición suficiente para la convergencia puntual Sea f : R R una función de período π, integrable en el intervalo [, π]. Sea {S n } la sucesión de sumas parciales de la serie de Fourier de f, es decir (. S n (x = a n o + a k cos kx + b k sen kx, donde a k y b k son los coeficientes de Fourier de f. Si substituimos las fórmulas (.9 y (. en la expresión (. obtenemos S n (x = π f(t [ n + cos kt cos kx + sen kt sen kx de la identidad (. para el coseno de la suma, sigue que S n (x = [ ] π n f(t π + cos( k(t x dt, por la fórmula de sumación obtenida en la Proposición.5 tenemos que S n (x = π f(t sen((n + (t x sen( dt. (t x ] dt, Si hacemos el cambio de variable τ = t x y usamos la Proposición. obtenemos (. S n (x = π f(x + τ sen((n + τ sen( τ dτ. Definición.. El núcleo de Dirichlet es la sucesión de funciones {D n } definida por D n (t = sen((n + t π sen( t 7

24 8. CONDICIONES PARA LA CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER De la igualdad (. se obtiene que, para f como antes, (.3 S n (x = f(x + td n (t dt = π π f(x + td n (t dt. que Observación.. De la fórmula de sumación obtenida en la Proposición.5 se deduce de esta última igualdad se obtiene que D n (t = π + (cos t + cos t + cos nt. π D n (t dt =, π D n (t dt = π D n (t dt =. Definición.3. Sea I R un intervalo cerrado y acotado, sea f : I R una función. Diremos que f es continua a trozos en I si f tiene una cantidad finita de discontinuidades de salto, es decir si: (i I se puede dividir en una cantidad finita de sub-intervalos [z o, z ], [z, z ],..., [z p, z p ] (z o < z < < z p, tales que f es continua en cada uno de los intervalos (z k, z k. (ii Para cada k =,..., p, los siguientes límites existen y son finitos lim f(x x z + k lim x z k f(x. (iii Los siguientes límites existen y son finitos lim x z + o f(x lim x z p f(x.

25 . CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA CONVERGENCIA PUNTUAL 9 Teorema.4. Sea f : R R una función de período π, tal que: (i f es continua a trozos en [, π]. (ii Es posible subdividir [, π], de acuerdo a la Definición.3, en sub-intervalos [z k, z k ], de manera que f sea derivable en (z k, z k y existen las derivadas laterales f(z k + h f(z + k lim h + h f(z k + h f(z k lim. h h Entonces, para cada x R, la serie de Fourier de f converge a f(x + + f(x. Demostración. Fourier de f, entonces Luego Sea x R. Sea {S n (x} la sucesión de sumas parciales de la serie de S n (x = π π f(x + td n (t dt. S n (x f(x+ + f(x = = π π π = π π f(x + td n (t dt f(x + D n (t dt f(x π ( f(x + t f(x + D n (t dt + π ( f(x + t f(x + sen( t + ( f(x + t f(x π π sen( t π sen (( n + t dt D n (t dt ( f(x + t f(x D n (t dt sen (( n + t dt. Para t [, π] sea claramente g(t = f(x + t f(x+ sen( t, ( ( f(x + t f(x + t g(t = t sen( t, de las hipótesis sobre f sigue inmediatamente que existe lim t g(t y que si definimos g( como este límite entonces g es continua a trozos en [, π]. Por el Lema de Riemann-Lebesgue (ver Lema.3 tenemos que π ( f(x + t f(x + lim n π sen( t sen (( n + t dt =.

26 . CONDICIONES PARA LA CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER De manera completamente análoga se prueba que ( f(x + t f(x lim n π sen( t Por lo tanto π lim S n(x = f(x+ + f(x. n sen (( n + t dt =. Observación.5. Notar que si f satisface las hipótesis del Teorema.4 entonces su serie de Fourier converge puntualmente a f en cada punto de continuidad. Corolario.6. Si f satisface las hipótesis del Teorema anterior y todos sus coeficientes de Fourier son iguales a cero entonces f es nula, salvo en una cantidad finita de puntos. Corolario.7. Si f y g satisfacen las hipótesis del Teorema anterior y los coeficientes de Fourier de f son iguales a los de g entonces f = g, salvo en una cantidad finita de puntos. Ejercicio.8. Demostrar que π ( = Indicación: Considerar la serie de Fourier de la función f(x = x para π x < π.. Convergencia de las medias aritméticas Definición.9. Sea λ, λ,... una sucesión de números reales. La sucesión de las medias de Cesaro, o medias aritméticas, de la sucesión {λ n } es la sucesión {ξ n } definida por Ejercicio.. ξ n = λ + λ + + λ n. n + ( Demostrar que si lim n + λ n = L entonces la sucesión de las medias de Cesaro de {λ n } también converge a L. ( Dar un ejemplo de una sucesión {λ n } tal que existe lim n + pero sin embargo no existe lim n + λ n. λ + λ + + λ n, n +

27 . CONVERGENCIA DE LAS MEDIAS ARITMÉTICAS Es muy natural preguntarse qué ocurre con las medias de Cesaro de las sumas parciales de la serie de Fourier de una función. A continuación veremos algunos resultados en esta dirección. Al igual que en la Sección anterior sea f : R R una función de período π, integrable en el intervalo [, π] y sea {S n } la sucesión de sumas parciales de la serie de Fourier de f. Consideremos sus medias de Cesaro (.4 σ n (x = S (x + S (x + + S n (x n + Por la fórmula (.3 tenemos que (.5 σ n (x = π π ( D (t + D (t + + D n (t f(x + t dt. n + Definición.. El núcleo de Fejer es la sucesión de funciones {K n } definida por (.6 K n (t = D (t + D (t + + D n (t, n + donde {D n } es el núcleo de Dirichlet. Observación.. Claramente (.7 σ n (x = π π f(x + tk n (t dt. Proposición.3. Sea {K n } el núcleo de Fejer. Entonces: (a π π (b K n (t = K n (t dt =, (c K n (t. ( sen (n+t π(n + sen ( t,

28 . CONDICIONES PARA LA CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER Demostración. (a Es inmediato, ya que π π D k(t dt =, para k =,,,... (b Usando las identidades (.3 y (.6, obtenemos que, para k =,..., n, D k (t = sen((k + t π sen( t = sen( t sen((k + t π sen ( t = ( cos kt cos(k + t, π cos t de donde, K n (t = D (t + D (t + D n (t n + ( cos(n + t = π(n + cos t ( = sen (n+t π(n + sen (. t (c Sigue inmediatamente de (b. Teorema.4 (Fejer. Sea f : R R una función continua de período π, sea {σ n } la sucesión de las medias de Cesaro de las sumas parciales de la serie de Fourier de f. Entonces {σ n } converge uniformemente a f en R. Demostración. Claramente f es uniformemente continua y acotada en el intervalo [ π, π]. Por la periodicidad f es uniformemente continua y acotada en todo R. Sea M > tal que f(x M para todo x R. Dado ε >, sea δ > tal que f(x f(x < ε si x, x R y x x < δ. Sea x R, por la fórmula (.7 y por (b de la Proposición.3, tenemos que

29 . CONVERGENCIA DE LAS MEDIAS ARITMÉTICAS 3 σ n (x f(x = = π π π π δ + + ε ε δ π ( f(x + t f(x K n (t dt f(x + t f(x K n (t dt f(x + t f(x K n (t dt δ δ π δ δ π π f(x + t f(x K n (t dt f(x + t f(x K n (t dt K n (t dt + M K n (t dt + = ε + M π(n + π δ π δ M π(n + sen ( t dt. K n (t dt + M π δ δ π sen ( t dt + La función sen ( x es creciente para x π. Luego para δ t π. Por lo tanto π Como δ sen ( t sen ( δ, sen ( t dt (π δ sen ( δ lim n n + =, existe un entero positivo N o tal que, si n N o entonces Tenemos que si n N o entonces M (n + sen ( δ < ε. σ n (x f(x < ε π sen ( δ. K n (t dt M δ π(n + π sen ( t dt para todo x R. Como ejercicio demostrar los siguientes resultados.

30 4. CONDICIONES PARA LA CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER Corolario.5. Sea f : R R una función continua de período π. Si x R y existe lim n + S n (x entonces lim S n(x = f(x. n + Teorema.6 (Teorema de aproximación de Weierstrass. Toda función continua a valores reales, definida en un intervalo cerrado y acotado puede ser aproximada uniformemente por polinomios. Indicación: (A Considerar primero el caso en que f < a < b < π. está definida en un intervalo [a, b] y (i Demostrar que en este caso f se puede extender a una función continua g con dominio [, π], tal que g( = g(π. (ii Demostrar que g tiene una extensión continua y de período π definida en todo R. (iii Utilizar el Teorema de Fejer para demostrar que g puede ser aproximada uniformemente por polinomios trigonométricos en R. (iv Utilizar el Teorema de Taylor para demostrar que g se puede aproximar uniformemente por polinomios en el intervalo [a, b]. (B Obtener el caso general a partir del anterior. 3. Ejercicios adicionales ( Sea f : R R una función continua, de período π. Demostrar que si entonces f(x = para todo x R. f(x cos(kx dx = para k =,,..., f(x sen(kx dx = para k =,,... ( Demostrar que π 8 = Indicación: Ver el Ejercicio de la Sección 6 del Capítulo

31 3. EJERCICIOS ADICIONALES 5 (3 Sea [a, b] R un intervalo cerrado y acotado y sea f : [a, b] R una función continua. Demostrar que si b a x k f(x dx = para k =,,,... entonces f(x = para todo x [a, b]. Indicación: Utilizar el teorema de aproximación de Weierstrass.

32 6. CONDICIONES PARA LA CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER

33 CAPíTULO 3 Convergencia en media cuadrática de la serie de Fourier. Media cuadrática Definición 3.. Si f : R R es una función de período π, continua a trozos, se define f = ( π (f(x dx. Ejercicio 3.. Sea f : R R una función de período π, continua a trozos. Demostrar que para cada ε > existe g : R R, continua y de período π tal que f g < ε. Proposición 3.3 (Desigualdad de Cauchy-Schwartz. Si f, g : R R son funciones de período π y continuas a trozos entonces ( ( f(x g(x dx (f(x π dx (g(x dx. Demostración. Sea λ R, entonces ( f(x λg(x dx, de donde, (f(x dx λ f(xg(x dx + λ (g(x dx. La expresión de la izquierda es un polinomio de grado en la variable λ, por lo tanto su discriminante es menor o igual que cero, es decir ( ( ( 4 f(x g(x dx 4 (f(x dx (g(x dx. 7

34 8 3. CONVERGENCIA EN MEDIA CUADRÁTICA DE LA SERIE DE FOURIER Como ejercicio establecer el siguiente resultado. Proposición 3.4. Si f, g : R R son funciones de período π y continuas a trozos entonces (i f = si y sólo si f es nula, salvo en una cantidad finita de puntos. (ii f + g f + g, (iii Si λ R, entonces λ f = λ f. Aproximación en media cuadrática Sea f : R R una función de período π, continua a trozos y sea S n (x = a o + n la sucesión de sumas parciales de su serie de Fourier. a k cos kx + b k sen kx Sea N un entero positivo y sea P un polinomio trigonométrico de la forma (.8 de grado N, es decir π Entonces (f(x P (x dx = π P (x = α N o + α k cos kx + β k sen kx. Por la Proposición.6 tenemos que (f(x dx π f(xp (x dx + π (P (x dx. por otra parte π N (P (x dx = α o + αk + βk, π = α o f(xp (x dx = π = α oa o + f(x dx + N N α k a k + β k b k. α k π f(x cos kx dx + β k π f(x sen kx dx

35 3. DESIGUALDAD DE BESSEL E IDENTIDAD DE PARSEVAL 9 Luego (3. π (f(x P (x dx = = ( π (f(x α o a o N dx + α k a k + β k b k + α o π + N αk + βk ( = f + (a o α o N + (a k α k + (b k β k a N o + a k + b k Teorema 3.5. Sea f : R R una función de período π, continua a trozos, sea N un entero positivo y sea P un polinomio trigonométrico de grado N. Sea {S n } la sucesión de sumas parciales de la serie de Fourier de f. Entonces f S N f P y hay igualdad si y sólo si P = S N. Demostración. De la fórmula (3. sigue inmediatamente el resultado. 3. Desigualdad de Bessel e Identidad de Parseval Proposición 3.6 (Desigualdad de Bessel. Sea f : R R una función de período π, continua a trozos y sean a k y b k sus coeficientes de Fourier. Entonces para todo entero positivo N. a o + N a k + b k f Demostración. Sea {S n } la sucesión de sumas parciales de la serie de Fourier de f, considerando la fórmula (3. con P = S N, obtenemos f ( a o + N a k + b k = π (f(x S N (x dx.

36 3 3. CONVERGENCIA EN MEDIA CUADRÁTICA DE LA SERIE DE FOURIER Corolario 3.7. Sea f : R R una función de período π, continua a trozos y sean a k y b k sus coeficientes de Fourier. Entonces la serie a k + b k es convergente Teorema 3.8. Sea f : R R una función de período π, continua a trozos y sea {S n } la sucesión de sumas parciales de la serie de Fourier de f. Entonces lim f S n =. n + Demostración. Supongamos primero que f es continua. Sea {σ n } la sucesión de las medias de Cesaro de las sumas parciales de la serie de Fourier de f. Por el Teorema.4 {σ n } converge uniformemente a f en R, por lo tanto ( lim f σ n = lim (f(x σ n (x dx n + n + Por el Teorema 3.5 f S n f σ n, para cada n N, luego =. Sea f continua a trozos y de período π. lim f S n =. n + Dado ε > existe g continua y de período π (ver Ejercicio 3. tal que f g < ε. Sea {S g,n } la sucesión de sumas parciales de la serie de Fourier de g, por lo que acabamos de probar, existe un entero positivo N o tal que si n N o entonces g S g,n < ε. Por el Teorema 3.5 tenemos que, para cada n N, f S n f S g,n.

37 4. APLICACIÓN A SUMACIÓN DE SERIES NUMÉRICAS 3 Sea n N o, entonces f S n f S g,n f g + g S g,n < ε + ε = ε. Observación 3.9. Se puede probar que el resultado anterior vale para cualquier función de cuadrado integrable, no necesariamente continua a trozos. Teorema 3. (Identidad de Parseval. Sea f : R R una función de período π, continua a trozos y sean a k y b k sus coeficientes de Fourier. Entonces a o + a k + b k = f. Demostración. Sea {S n (x} la sucesión de sumas parciales de la serie de Fourier de f, considerando la fórmula (3. con P = S n, obtenemos ( f a n o + a k + b k = (f(x S n (x dx = f S n π. Tomando límite cuando n tiende a infinito y usando el Teorema 3.8 tenemos que ( ( lim f a n o n + a k + b k =. 4. Aplicación a sumación de series numéricas Ejemplo 3.. Vamos a ver como la identidad de Parseval nos permite establecer que Consideremos la función = π 6. extendida por periodicidad a toda la recta. f(x = x para π x < π,

38 3 3. CONVERGENCIA EN MEDIA CUADRÁTICA DE LA SERIE DE FOURIER Su serie de Fourier es (ver Ejemplo.7 ( sen x sen x sen 3x k+ sen(kx ( +. 3 k Al aplicar la identidad de Parseval obtenemos 4 ( = π x dx π π = [ ] x 3 π = π 3 3 π, de donde se obtiene el resultado. π 5. Ejercicios adicionales ( Demostrar que = π4 9. ( Hallar el valor de (3 Hallar el valor de

39 CAPíTULO 4 Comportamiento de las series de Fourier. Fenómeno de Gibbs La convergencia de la serie de Fourier de una función en las cercanías de una discontinuidad de salto muestra ciertas carácterísticas muy particulares que fueron estudiadas por el matemático J. N. Gibbs alrededor del año 899. Sea f una función de período π y sea {S n } la sucesión de sumas parciales de su serie de Fourier. Gibbs observó lo siguiente: en un entorno de una discontinuidad de salto S n siempre difiere de f en un valor que es aproximadamente igual al 9% del tamaño del salto. Esta propiedad se conoce como fenómeno de Gibbs. Vamos a ilustrar el fenómeno de Gibbs a través de un ejemplo muy sencillo, para más información y detalles se pueden consultar los textos [] y []. En lo que resta de esta sección f será la función definida por f(x = (π x ( x < π, extendida por periodicidad a toda la recta. Si representamos gráficamente a esta función obtenemos: Figura 4.. gráfico de f 33

40 34 4. COMPORTAMIENTO DE LAS SERIES DE FOURIER Se observa que f tiene una discontinuidad de salto en los puntos, ±π, ±4π,.... Ejercicio 4.. Demostrar que la serie de Fourier de f es igual a sen kx. k Sea S n (x = n sen kx. k Si superponemos los gráficos de S 5 y S 9 con el gráfico de f obtenemos Figura 4.. S Figura 4.3. S 9 En las gráficas se observa claramente un salto de altura similar alrededor de cada discontinuidad.

41 . FENÓMENO DE GIBBS 35 Si consideramos S 9, obtenemos Figura 4.4. S 9 A través de los siguientes ejercicios vamos a formalizar lo que observamos en los gráficos. Ejercicio 4.. Demostrar que Indicación: Identificar S n ( π n π ( π lim S sen t n = dt. n n t π con una suma de Riemann para la integral sen t t dt. Ejercicio 4.3. Demostrar que π sen t t dt, 85 Indicación: Usar el desarrollo de Taylor de la función sen. Luego ( π S n f( + n = π π sen t t sen t t, 85 π dt f( + dt π, 8, 9π. Por otro lado, la altura del salto de f en es f( + f( = π,

42 36 4. COMPORTAMIENTO DE LAS SERIES DE FOURIER por lo tanto, para n bastante grande, S n ( π n f( + 9 (f(+ f(. En conclusión, a la derecha de, las sumas parciales S n difieren del valor de f en aproximadamente un 9% del valor del salto.. Integración y derivación de series de Fourier Necesitaremos el siguiente resultado, que dejamos como ejercicio. Ejercicio 4.4. Sea I R un intervalo cerrado y acotado y sea f : I R una función continua a trozos. Sea x o I y sea F : I R definida por F (x = x x o f(t dt. Demostrar que F es continua en I y que F posee derivadas laterales en cada punto de I. En general, una serie infinita puede ser integrada término a término, solamente cuando es uniformemente convergente. Sin embargo para series de Fourier la integración término a término es posible, más precisamente, se tiene. Teorema 4.5. Sea f : R R una función de período π, continua a trozos en [, π], con serie de Fourier a o Entonces, para a, b R, se cumple b a + a k cos kx + b k sen kx. f(t dt = a o (b a + Demostración. Sea F la función definida por a k (sen kb sen ka b k (cos kb cos ka. k F (x = x ( f(t a o dt.

43 . INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN DE SERIES DE FOURIER 37 Por el Ejercicio 4.4, F es continua y posee derivadas laterales en cada punto de la recta, más aún, por la Proposición. F (x + π = = x+π x = F (x + = F (x + = F (x. Por lo tanto F tiene período π. ( f(t a o ( f(t a o dt dt + ( f(t a o x+π x f(t dt πa o dt ( f(t a o dt Por el Teorema.4 la serie de Fourier de F converge a F en cada punto de la recta, es decir, si A k y B k son los coeficientes de Fourier de F, tenemos que, para cada x R F (x = A o + A k cos kx + B k sen kx. Calculemos A k y B k. Integrando por partes obtenemos que, para k A k = π = π = b k k, de manera análoga se obtiene Por lo tanto de donde (4. x F (x cos(kx dx [ ] π sen kx F (x k kπ F (x = A o + B k = a k k. f(t dt = a ox + A o + ( f(x a o sen kx dx a k sen kx b k cos kx, k a k sen kx b k cos kx. k Para obtener el resultado evaluamos la fórmula anterior en x = b, en x = a y restamos.

44 38 4. COMPORTAMIENTO DE LAS SERIES DE FOURIER Observación 4.6. Notar que en el Teorema anterior no se supone la convergencia de la serie de Fourier de f. Observación 4.7. Es importante destacar que la conclusión del Teorema anterior se puede expresar de la siguiente manera b a f(t dt = b a o a dt + b b a k cos kt dt + b k sen kt dt, es decir, la serie se puede integrar término a término. Corolario 4.8. Si f : R R es una función de período π, continua a trozos en [, π], con serie de Fourier entonces la serie converge. a o + a k cos kx + b k sen kx, b k k a a Demostración. Substituir x = en la fórmula (4.. Observación 4.9. Notar que de la fórmula (4. sigue que Ejercicio 4.. (i Demostrar que la serie converge para todo x R. A o = k= sen kx ln k (ii Demostrar que no existe ninguna función continua a trozos y de período π cuya serie de Fourier sea Ejercicio 4.. Demostrar que para π < x < π. k= b k k. sen kx ln k. x = k+ sen kx ( k

45 . INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN DE SERIES DE FOURIER 39 Teorema 4.. Sea f : R R una función de período π, continua a trozos en [, π], con serie de Fourier a o Entonces, para π < x < π, x b k f(t dt = k + + a k cos kx + b k sen kx. b k cos kx + (a k + ( k+ a o sen kx. k Demostración. Para obtener el resultado basta substituir el valor de A o / (ver Observación 4.9 y el desarrollo de x/ (ver Ejercicio 4. en la fórmula 4.. Teorema 4.3. Sea f : R R una función diferenciable, de período π con serie de Fourier a o + a k cos kx + b k sen kx. Si f es continua a trozos, entonces la serie de Fourier de f es k(b k cos kx a k sen kx, es decir, la serie de Fourier de f se obtiene derivando término a término la serie de Fourier de f. Demostración. Sean a k y b k los coeficientes de Fourier de f. Entonces a o = π f (x dx = f(π f( =, a k = π De igual manera se obtiene = π = kb k. f (x cos kxdx [f(x cos kx]π + k π b k = ka k. f(x sen kxdx

46 4 4. COMPORTAMIENTO DE LAS SERIES DE FOURIER 3. Orden de magnitud de los coeficientes de Fourier Teorema 4.4. Si f : R R es una función de período π, diferenciable, con serie de Fourier a o y f es continua a trozos, entonces + a k cos kx + b k sen kx, lim k a k = lim k b k =. k k Demostración. El resultado sigue del Teorema 4.3 y del Corolario.4 aplicado a f. Corolario 4.5. Si f : R R es una función de período π, p veces diferenciable, con serie de Fourier a o y f (p es continua a trozos, entonces + a k cos kx + b k sen kx, lim k kp a k = lim k p b k =. k Corolario 4.6. Si f : R R es una función de período π, dos veces diferenciable, con serie de Fourier a o + a k cos kx + b k sen kx, y f ( es continua a trozos, entonces la serie de Fourier de f converge uniformemente a f en R. Demostración. Por el Corolario 4.5 tenemos que lim k k a k = lim k b k =. k De lo anterior se deduce fácilmente que a k < y b k <. Del teorema M n de Weierstrass sigue que la serie a k cos kx + b k sen kx

47 4. EJERCICIOS ADICIONALES 4 converge absoluta y uniformemente en R. De lo anterior y el Corolario.5 se obtiene el resultado. 4. Ejercicios adicionales ( Partiendo del desarrollo en serie de Fourier de la función f(x = x para π < x < π (Ejercicio 4., hallar el desarrollo de Fourier de la función f(x = x para π < x < π. ( Sea f : R R una función de período π, tres veces diferenciable. Demostrar que si f (3 es continua a trozos, entonces la serie de Fourier de f converge uniformemente a f en R. Puede generalizar el resultado anterior?

48 4 4. COMPORTAMIENTO DE LAS SERIES DE FOURIER

49 CAPíTULO 5 Casos más generales. Notación compleja Muchas de las operaciones con funciones trigonométricas se simplifican al pasar a los números complejos, usando la fórmula de Euler (5. e iθ = cos θ + i sen θ. De la fórmula de Euler se obtiene (5. cos θ = (eiθ + e iθ sen θ = i (eiθ e iθ Ejercicio 5.. Deducir la fórmula de sumación que aparece en la Proposición.5 a partir de la fórmula para la suma de una progresión geométrica y de la igualdad + cos x + cos x + + cos nx = n k= n e ikx A continuación enunciamos algunos resultados que pueden ser verificados sin mayores dificultades por el estudiante familiarizado con el manejo de números complejos. Si en un polinomio trigonométrico de la forma P (x = α n o + α k cos kx + β k sen kx, hacemos la substitución cos kx = (eikx + e ikx sen kx = i (eikx e ikx, obtenemos n P (x = γ k e ikx, k= n 43

50 44 5. CASOS MÁS GENERALES donde los números complejos γ k están relacionados con los números α o, α k y β k por la ecuaciones γ o = α o, γ k = (α k iβ k, γ k = (α k + iβ k, para k =,..., n. También se tiene que α k = γ k + γ k, β k = i(γ k γ k. Si f : R R es una función de período π, integrable en el intervalo [, π], entonces su serie de Fourier es igual a + k= c k e ikx, donde c k = f(xe ikx dx. π En este caso la identidad de Parseval queda así: π (f(x dx = + k= c k.. Funciones de período arbitrario Sea f : R R una función de período T (T >, si definimos ϕ : R R por entonces ϕ tiene período π. ϕ(x = f ( T x, π Este cambio de variable permite trasladar, en forma muy natural y sencilla, los resultados que hemos obtenido para funciones de período π a funciones de período T.

51 3. DESARROLLO EN SERIE DE COSENOS Y EN SERIE DE SENOS 45 Una función de período T, integrable en el intervalo [, T ], tiene una serie de Fourier (generalizada de la forma a o + ( ( kπx kπx a k cos + b k sen, T T donde a k = T b k = T T T T T ( kπx f(x cos dx T (k =,,..., ( kπx f(x sen dx T (k =,,.... Los resultados sobre convergencia, integración, diferenciabilidad, etc... se extienden en forma completamente natural a funciones de período T con el tipo de expansión que acabamos de señalar. Ejercicio 5.. Escribir la fórmula de Parseval para funciones de período T. 3. Desarrollo en serie de cosenos y en serie de senos Definición 5.3. Sea I R un intrevalo simétrico con respecto al origen y sea f : I R una función. Se dice que f es par si y se dice que f es impar si f(x = f( x para todo x I f(x = f( x para todo x I. Ejercicio 5.4. Sea f una función de período T, integrable en el intervalo [, T ], con serie de Fourier a o + ( ( kπx kπx a k cos + b k sen. T T Demostrar que si f es par entonces b k = para k =,..., n, y además a k = T T ( kπx f(x cos dx (k =,,.... T

52 46 5. CASOS MÁS GENERALES Demostrar que si f es impar entonces a k = para k =,..., n, y además b k = T T ( kπx f(x sen dx (k =,,.... T Supongamos que tenemos una función f, definida en un intervalo de la forma [, T ], donde T >. Si definimos f(x si x [, T ], g(x = f( x si x [ T, ], entonces g es una extensión par de f al intervalo [ T, T ]. La función g tiene una extensión de período T a toda la recta. La expansión de Fourier de g es lo que se conoce como el desarrollo en serie de cosenos de f. Si definimos f(x si x [, T ], h(x = f( x si x [ T, ], entonces h es una extensión impar de f al intervalo [ T, T ]. La función h tiene una extensión de período T a toda la recta (más precisamente la restricción de h al intervalo [ T, T. La expansión de Fourier de h es lo que se conoce como el desarrollo en serie de senos de f. Del Ejercicio 5.4 sigue que si f : [, T ] R es una función integrable, entonces su desarrollo en serie de cosenos es a o + ( kπx a k cos, T donde a k = T T ( kπx f(x cos dx (k =,,.... T

53 4. EJERCICIOS ADICIONALES 47 Su desarrollo en serie de senos es ( kπx b k sen, T donde b k = T T ( kπx f(x sen dx (k =,,.... T El lector no debe encontrar dificultad en extender los resultados sobre convergencia, integración, diferenciabilidad, etc. a los desarrollos en serie de cosenos y en serie de senos. ( Demostrar que 4. Ejercicios adicionales = π 8 6. Indicación: Desarrollar f(x = sen x, x π en serie de cosenos. ( Desarrollar la función f(x = x, < x <, en serie de cosenos y en serie de senos. (3 Demostrar que, para x π, se cumplen las siguientes igualdades: ( (a x(π x = π cos x 6 cos 4x cos 6x (b x(π x = 8 π ( sen x sen 3x sen 5x (4 Utilizar el ejercicio anterior para demostrar que (a (b (c n= n= n= n = π 6. ( n n = π. ( n (n 3 = π3 3.

54 48 5. CASOS MÁS GENERALES (5 Demostrar que = 3π3. 3 6

55 CAPíTULO 6 Aplicación a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales. Introducción La idea básica de las series de Fourier es que, una amplia variedad de funciones periódicas se puede expresar como una suma de funciones trigonométricas simples, (senos y cosenos con un período común. Esta idea aparece en forma natural en el estudio de fenómenos astronómicos periódicos. Ya los Babilonios usaban una forma primitiva de series de Fourier para la predicción de eventos relacionados con los astros. La historia más reciente de las series de Fourier comienza con D Alembert en el año 747, quien estudiaba el problema de la descripción de la oscilación de una cuerda de violín, para lo cual debía resolver la ecuación en derivadas parciales con ciertas condiciones de borde. u x = u t, La contribución de Fourier comienza en el año 87, cuando estudia el problema de la transmisión del calor, que está asociado a la ecuación u x = u t. En su libro Théorie Analytique de la Chaleur (8 aparece un intento serio de demostración de que toda función periódica y suave a trozos puede ser expresada como una serie trigonométrica. Las pruebas rigurosas y precisas de este hecho fueron dadas después por Dirichlet (89 y por Riemann (867. A continuación vamos a considerar la ecuación de la cuerda vibrante y la ecuación del calor en dos situaciones particularmente sencillas y veremos cómo el método de separación de variables, combinado con el método de expansión en series trigonométricas, permite hallar la solución de estas ecuaciones. 49

56 5 6. APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. Ecuación de la cuerda vibrante.. Planteamiento del problema. Consideremos una cuerda de longitud L, que se encuentra fija en sus extremos. Si esta cuerda realiza un movimiento de vibración en un plano, entonces este movimiento se puede describir mediante una función de dos variables u(x, t de la siguiente manera: Sea xu el plano en el que vibra la cuerda, supongamos que la posición de equilibrio de la cuerda queda a lo largo del eje x. La función u(x, t tiene por dominio el conjunto {(x, t : x L, t } y para cada t el gráfico de la función x u(x, t es la forma de la cuerda en el instante t. La siguiente figura nos ilustra esta situación. u u u(x,t = L x Figura 6.. Supongamos que se cumplen las siguientes condiciones ideales: (a La amplitud de la cuerda es pequeña y cada punto de la misma se mueve solamente en dirección vertical. (b Todas las fuerzas de fricción, tanto internas como externas, pueden despreciarse. (c La masa de la cuerda, por unidad de longitud, es pequeña en relación con la tensión en la misma, por lo que la fuerza de gravedad puede ser despreciada. Entonces la función u, que describe el movimiento de la cuerda, satisface la ecuación en derivadas parciales (6. u x = u a t, donde a es una constante positiva, que depende de la tensión y otras características físicas de la cuerda.

57 . ECUACIÓN DE LA CUERDA VIBRANTE 5 Como aplicación de lo que hemos estudiado de series de Fourier, vamos a resolver la ecuación (6. sujeta a las condiciones de borde: u(, t = u(l, t =, t (6. u(x, = f(x, u (x, = g(x, t donde f y g se suponen funciones conocidas. La interpretación física es sencilla: tal como señalamos anteriormente la función u(x, t describe el movimiento de una cuerda ideal de longitud L, cuya posición de equilibrio coincide con el eje x y cuyos extremos se encuentran fijos en x = y en x = L. Suponemos que la forma inicial de la cuerda es conocida y está dada por el gráfico de f, también supondremos conocida la velocidad inicial de cada punto de la cuerda y que está dada por g. forma.. Separación de variables. Vamos a comenzar por buscar soluciones no triviales de la ecuación (6. que tengan la y que satisfagan En este caso tendremos que u(x, t = ψ(xφ(t u(, t = u(l, t = t. Substituyendo en (6. obtenemos u x = ψ (xφ(t u t = ψ(xφ (t. ψ (xφ(t = a ψ(xφ (t, por lo tanto (6.3 ψ (x ψ(x = a φ (t φ(t, siempre que ψ(xφ(t. El primer miembro de la ecuación (6.3 sólo depende de x y el segundo miembro sólo depende de t, por lo tanto cada uno de los miembros de esta ecuación

58 5 6. APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES tiene que ser constante. Si llamamos λ a esta constante, obtenemos que la ecuación (6.3 equivale al par de ecuaciones diferenciales ordinarias (6.4 ψ (x λψ(x =, φ (t λa φ(t =. Analicemos primero la ecuación (6.5 ψ (x λψ(x =. Como u(, t = u(l, t = para t, se debe cumplir que ψ( = ψ(l =. Consideraremos tres casos: λ >, λ = y λ <. Si λ > entonces la solución general de la ecuación (6.5 es ψ(x = C e λx + C e λx, donde C y C son constantes reales. Es fácil verificar que si se satisface la condición ψ( = ψ(l = entonces C = C =. Luego, en este caso, sólo obtenemos la solución trivial. Si λ = entonces la solución general de la ecuación (6.5 es ψ(x = C + C x, donde C y C son constantes reales. Al igual que en el caso previo, es fácil verificar que si se satisface la condición ψ( = ψ(l = entonces C = C =. Luego, en este caso, sólo obtenemos la solución trivial. Si λ < entonces la solución general de la ecuación (6.5 es (6.6 ψ(x = C cos( λ x + C sen( λ x, donde C y C son constantes reales. Como ψ( = tiene que ser C =. Como ψ(l = tiene que ser C sen( λ L =, por lo tanto para que la solución no sea trivial se debe cumplir de donde sen( λ L =, (6.7 λ = k π L, para algún entero positivo k.

59 . ECUACIÓN DE LA CUERDA VIBRANTE 53 De la solución general (6.6 obtenemos que, para cada entero positivo k, la función ψ k definida por ( kπ ψ k (x = γ k sen L x, donde γ k es una constante real, es una solución de la ecuación (6.5. Reemplazando el valor de λ, dado en (6.7, en la segunda ecuación de (6.4 obtenemos La solución general de esta ecuación es φ k (t = α k cos donde α k y β k son constantes reales. φ (t + k π L a φ(t =. ( ( kπ kπ L at + β k sen L at, En conclusión, para cada entero positivo k, tenemos una solución de la ecuación (6. de la forma ( ( kπ u k (x, t = A k cos L at donde A k y B k son constantes reales. ( ( kπ kπ + B k sen L at sen L x, Supongamos que la solución de la ecuación (6. que satisface las condiciones (6., se puede expresar en la forma (6.8 u(x, t = u k (x, t y supongamos también que es posible derivar la serie término a término. y que Entonces tendríamos que es decir (6.9 (6. u k (x, = f(x u k (x, = g(x, t ( kπ A k sen L x = f(x ( kπ kπ L ab k sen L x = g(x De la fórmula para el desarrollo en serie de senos de una función (ver Sección 3 del Capítulo 5, obtenemos

60 54 6. APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES A k = L B k = kπa.3. Validez de la solución. L L ( kπx f(x sen dx L ( kπx g(x sen dx. L Los resultados sobre convergencia y diferenciación término a término de series de Fourier, que hemos establecido en la Sección del Capítulo 4, se pueden extender a series de dos variables de la forma (6.8 y se puede probar que, bajo ciertas hipótesis sobre las funciones f y g, la serie (6.8 converge a una solución de la ecuación (6.. Más precisamente se puede probar el siguiente resultado (los detalles se pueden encontrar en [4]. Teorema 6.. Sea L un número real positivo y sean f, g : [, L] R funciones tales que (i f, f y f son continuas en [, L] y f( = f ( = f(l = f (L =. (ii g y g son continuas en [, L] y g( = g(l =. Para k sean Entonces la serie u(x, t = A k = L B k = kπa L L ( kπx f(x sen dx L ( kπx g(x sen dx. L ( ( ( ( kπ kπ kπ A k cos L at + B k sen L at sen L x converge uniforme y absolutamente a una solución de la ecuación u x = a u t,