Observación: Aceptaremos que la función f no este definida para un número finito de términos como por ejemplo f(n) = n 5.

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1 Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencial e Integral 07- Importante: Visita regularmente Ahí encontrarás las guías de ejercicios y problemas, además de información acerca de cuál será la dinámica del curso. 1. Continuidad SEMANA 1: CONTINUIDAD 1.1. Subsucesiones Definición 1.1 (Subsucesión). Sea (s n ) una sucesión. Sea f : Æ Æ una función estrictamente creciente. Se llama subsucesión de s n generada por f, a la sucesión (u n ), definida por: u n = s f(n). Usa estas notas al margen para consultar de manera más rápida el material. Haz también tus propias anotaciones. subsucesión Ejemplo: Si f(n) = n, entonces u n = s n. (u n ) = (s 0, s, s 4, s 6, s 8...). Si f(n) = n + 1, entonces u n = s n+1. (u n ) = (s 1, s 3, s 5, s 7,...). En general, (u n ) = (s f(n) ) = (s f(0), s f(1), s f(),...). Observación: Aceptaremos que la función f no este definida para un número finito de términos como por ejemplo f(n) = n 5. (s n 5 ) = (,,,,, s 0, s 1,... ). El siguiente teorema caracteriza la convergencia de una sucesión vía la de sus subsucesiones, mostrando que además éstas no pueden tener un límite distinto al de la original. Teorema 1.1. Sea (s n ) una sucesión y sea l Ê. Entonces s n l Todas las subsucesiones de (s n ) convergen a l. Demostración ) Basta tomar f(n) = n, con lo que s f(n) = s n l. ) Sabemos que ε > 0, n 0 Æ, n n 0, s n l ε. Sea f : Æ Æ, estrictamente creciente y eventualmente no definida en un número finito de casos. P.d.q. ε > 0, k 0 Æ, k k 0, s f(k) l ε. Efectivamente, como f no es acotada superiormente ( por qué?), k 0 Æ, f(k 0 ) n 0. Y luego: k k 0, f(k) f(k 0 ) n 0, de donde k k 0 s f(k) l ε. 1

2 Teorema 1. (Bolzano-Weierstrass). Toda sucesión acotada tiene al menos una subsucesión convergente. Bolzano-Weierstrass Demostración La demostración se realiza mediante un método de dicotomía. Sea (s n ) una sucesión acotada. Existen entonces a 0, b 0 Ê tales que n Æ, a 0 s n b 0. Llamemos I 0 = [a 0, b 0 ]. Sea a continuación c 0 = a0+b0. Es claro que en alguno de los intevalos [a 0, c 0 ] y [c 0, b 0 ], hay una infinidad de términos de la sucesión (s n ). Llamemos I 1 = [a 1, b 1 ] a dicho intervalo. Definimos entonces c 1 = a1+b1. Nuevamente, debe haber una infinidad de términos de (s n ) en alguno de los intervalos [a 1, c 1 ] y [c 1, b 1 ]. Llamamos a dicho intervalo I = [a, b ] y proseguimos de la misma manera. Así, se formará una colección de intervalos I 1, I, I 3,..., I n,... con las siguientes propiedades: n Æ, el intervalo I n = [a n, b n ] contiene una cantidad infinita de términos de la sucesión (s n ). n Æ, b n a n = b0 a0 n. n Æ, I n I n+1. Cuando esta condición se satisaface, se habla de una colección de intervalos encajonados. Definamos entonces la siguiente subsucesión de (s n ) (denotada (s f(n) )): f(1) = mínk Æ s k I 1 } f() = mínk > f(1) s k I } f(3) = mínk > f() s k I 3 } f(n + 1) = mínk > f(n) s k I n+1 }. Con esto la subsucesión (s f(n) ) tiene la siguiente propiedad: n Æ, s f(n) I n, o sea, a n s f(n) b n. (1.1) Finalmente, es claro que las sucesiones (a n ) y (b n ) son monótonas (a n a n+1, b n+1 b n ) y acotadas (a n, b n [a 0, b 0 ]), luego convergen a los reales a y b, respectivamente. Además como a n b n, entonces a b. Por último, ya que b n a n = b0 a0 n, entonces tomando límite se tiene que b a = 0 o sea, a = b. Luego, aplicando sandwich en la desigualdad de (1.1), se obtiene que s f(n) a = b.

3 f f( x) f(s n ) s n x Figura 1: Para esta función f y sucesión (s n ), s n x pero f(s n ) f( x). 1.. Funciones continuas Sabemos, del semestre anterior, que si tenemos una sucesión s n x, entonces sen(s n ) sen( x). Es decir, la función seno satisface la siguiente propiedad: s n x f(s n ) f( x). Pero, se tiene esta propiedad para cualquier función? Veamos la Figura 1. En la función dibujada, si uno toma cualquier sucesión s n que converge a x por la derecha, la sucesión de las imágenes f(s n ) converge sin problemas al valor f( x). Sin embargo, al tomar una sucesión s n que converge a x por la izquierda, se tiene que la sucesión f(s n ) converge a un valor h < f( x). La intuición nos dice que este fenómeno está relacionado de algún modo con el salto o discontinuidad que la función f posee. Formalicemos esto vía la siguiente definición. Definición 1. (Función continua en un punto). Sea f : A Ê Ê y x A. Diremos que f es una función función continua en x si (x n ) A, x n x f(x n ) f( x). función continua en x Observación: Notemos que en la definición, la propiedad de ser verificada para toda sucesión que converge a x y con valores en A. Es decir, si somos capaces de probar que la propiedad es válida para alguna sucesión, eso no es suficiente para que la función sea continua. Sin embargo, los valores de la sucesión deben estar en el dominio de la función, luego si el dominio es reducido, entonces el número de sucesiones test es pequeña. 3

4 Ejercicio Ejercicio 1.1: Cómo se podría restringir el dominio de la función en la Figura 1, para que sea contínua en x? Ejemplos: Consideremos la función f definida por la ley x f(x) = x si x É si x Á 1. Probar que f es continua en x = 0 y en x = 1.. Probar que f no es continua en x si x Ê \ 0, 1}. Solución: 1. Consideremos el caso x = 0. Sea (x n ) una sucesión arbitraria que converge a 0. P.D.Q: f(x n ) f(0) = 0. En efecto, se tiene que f(x n ) = x n x n por lo tanto se obtiene el acotamiento siguiente: si x n É si x n Á 0 f(x n ) x n + x n, n Æ. Usando esta mayoración y el teorema del sandwich de sucesiones se obtiene el resultado buscado. Ahora consideremos el caso x = 1. Sea (x n ) una sucesión arbitraria que converge a 0. P.D.Q: f(x n ) f(1) = 1. En efecto, se tiene que de donde se deduce que f(x n ) = f(x n ) 1 = x n x n por lo tanto se obtiene el acotamiento siguiente: si x n É si x n Á x n 1 si x n É x n 1 si x n Á 0 f(x n ) 1 x n 1 + x n 1, n Æ. Usando esta mayoración y el teorema del sandwich de sucesiones se obtiene el resultado buscado. 4

5 . Consideremos el caso x É \ 0, 1}. En este caso se tiene que f( x) = x. Para demostrar que la función no es continua en este punto, debemos mostrar alguna sucesión (x n ) que converja a x pero para la cual se tenga que f(x n ) x. Dada la fórmula de la función f, esto último lo hacemos con una sucesión de números irracionales. Sea x n = x + n. Claramente esta sucesión converge a x. Sin embargo, la sucesión de las imágenes ( ) f(x n ) = x + x n y como x 0, 1} se tiene que x x. El caso x Á se propone como ejercicio. Para formar una sucesión de racionales que converja a x, use para cada n Æ la densidad de É en Ê en el intervalo ( x, x+ 1 n ). Ejercicio Ejemplos: Algunas funciones continuas: f(x) = c (constante) es continua x Ê. f(x) = x es continua x Ê. f(x) = sen(x) es continua x Ê. f(x) = cos(x) es continua x Ê. f(x) = e x es continua x Ê. f(x) = ln(x) es continua x Ê +. Teorema 1.3 (Álgebra de funciones continuas). Sean f : A Ê Ê y g : B álgebra Ê Ê dos funciones continuas en x A B. Luego las siguientes funciones son continuas en x: de funciones continuas 1. f + g.. f g. 3. λf, con λ Ê. 4. f g. 5. f/g, cuando g( x) 0. 5

6 Demostración Probaremos la continuidad sólo para 1 y 5, el resto quedan propuestas como ejercicio. Para 1, debemos probar que si (x n ) es una sucesión en Dom(f + g) = A B que converge a x, entonces (f + g)(x n ) converge a (f + g)( x). Esto último es cierto ya que (f + g)(x n ) = f(x n ) + g(x n ). Pero como f y g son continuas en x, entonces f(x n ) f( x) y g(x n ) g( x), y por el teorema de álgebra de sucesiones Ejercicio (f + g)(x n ) = f(x n ) + g(x n ) f( x) + g( x) = (f + g)( x). Para 5, sea (x n ) una sucesión con valores en Dom(f/g) = (A B)\Z(g) (Z(g) es el conjunto de ceros de g), que converge a x. Nuevamente, por continuidad de f y g, f(x n ) f( x) y g(x n ) g( x) y usando el teorema de álgebra de sucesiones, resulta: (f/g)(x n ) = f(x n) g(x n ) f( x) g( x) = (f/g)( x). Teorema 1.4 (Composición de funciones continuas). Sean f : A Ê Ê y g : B Ê Ê dos funciones. Si f es continua en x A y g es continua en f( x) B, entonces la función g f es continua en x. composición de funciones continuas Demostración Notemos primero que Dom(g f) = x A f(x) B}. Sea entonces una sucesión (x n ) con valores en Dom(g f) que converge a x. Como x n Dom(g f), entonces x n Dom(f) f(x n ) Dom(g). Esto implica, por un lado que, x n Dom(f) y x n x. Usando la continuidad de f en x se concluye que la sucesión (f(x n )) converge a f( x). Ahora, notemos la sucesión (f(x n )) cumple que f(x n ) Dom(g) y f(x n ) f( x), luego por continuidad de g, (g f)(x n ) = g(f(x n )) g(f( x)) = (g f)( x). Ejercicio Ejercicio 1.: Gracias a los teoremas anteriores, podemos concluir que las siguientes funciones son continuas. Pruébelo. 1. f(x) = a 0 + a 1 x + a x + + a n x n son continuas x Ê.. f(x) = a 0 + a 1 x + a x + + a n x n b 0 + b 1 x + b x son continuas x Dom(f). + + b m xm 3. f(x) = a x, con a > 0 son continuas x Ê. 6

7 4. f(x) = log a (x), son continuas x Ê f(x) = x x, es continua x Ê. 6. f(x) = x xxx...x, con a > 0 es continua x > f(x) = tan(x) es continua x Ê \ (k + 1) π k }. Teorema 1.5 (Caracterización ε δ de la continuidad). Sean f : A Ê Ê y x A. f es continua en x ssi se cumple que } ε > 0, δ > 0, x A x x δ f(x) f( x) ε caracterización ε δ f(x)+ε f(x) f(x) ε x δ x x+δ Demostración ( ) Razonemos por contradicción. Si la propiedad fuese falsa, significaría que existe ǫ > 0 tal que para todo δ > 0 podemos encontrar x A con x x δ y f(x) f( x) > ǫ. En particular, para cada n Æ podemos tomar δ = 1/n y encontrar x n A que cumple las propiedades x n x 1/n y f(x n ) f( x) > ε. Claramente la sucesión x n } n Æ converge hacia x y sin embargo f(x n ) f( x) lo cual contradice la continuidad de f en x. ( ) Supongamos ahora que la propiedad es cierta y probemos la continuidad. Tomemos una sucesión cualquiera (x n ) con valores en A, tal que x n x. Debemos probar que f(x n ) f( x). Para ello consideremos ǫ > 0 arbitrario y sea δ > 0 dado por la propiedad. Dado que x n x existe n 0 Æ tal que x n x δ para todo n n 0. Usando la propiedad, se sigue que f(x n ) f( x) ǫ para n n 0 con lo cual f(x n ) f( x). 7

8 Observación: Esta propiedad permite entre otras cosas, hacer la conexión entre los conceptos de continuidad y límite de funciones. En efecto, las caracterizaciones ε δ de ambos conceptos son prácticamente los mismos, cambiando l por f( x) y autorizando a la variable x a tomar el valor x. De este modo podemos establecer que si el dominio de la función permite estudiar el límite de f(x) cuando x x y x A se tiene que: f es continua en x ssi lím x x f(x) = f( x). Definición 1.3 (Función continua). Sea f : A Ê Ê. Si f es continua x A, diremos que f es continua. función continua 8