4.2. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Transcripción

1 4.. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas En esta sección estudiaremos tres conceptos básicos sobre funciones Funciones inyectivas Definición 4.. Sea f una función de en. Diremos que f es inyectiva si dados a, a con a a, se tiene que f(a) f(a ). una función inyectiva también se le llama una función uno a uno (a veces se escribe: f es ). Este nombre se debe a que elementos distintos del dominio son enviados por la función a elementos distintos del contradominio. La inyectividad tiene una interpretación en términos del grafo de la función: cada elemento del contradominio le llega a lo sumo una flecha. Como lo ilustraremos en los ejemplos a continuación. Ejemplo 4.. Consideremos los conjuntos = {,, }, = {,, 4, 5}. En los diagramas que siguen se tiene que la función f es inyectiva y la función g no lo es. f g Podemos expresar el concepto de inyectividad de la manera siguiente:

2 4.. FUNCIONES INYECTIVS, SOREYECTIVS Y IYECTIVS 05 Sea f : una función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) f es inyectiva. (ii) Para todo a, a, si f(a) = f(a ), entonces a = a. Dejamos la verificación de este hecho al lector (ver ejercicio 9). En los siguientes ejemplos haremos uso de esta caracterización de la inyectividad. Ejemplo 4.4. Considere la función f : N N dada por f(n) = n +. Mostraremos que f es inyectiva. Usaremos el criterio de inyectividad enunciado en el recuadro anterior. Fijemos dos naturales n, m y supongamos que f(n) = f(m). Debemos mostrar que n = m. En efecto, nuestra suposición nos asegura que n + = m +. Restando en ambos lados de la igualdad obtenemos que n = m. Ejemplo 4.5. Considere la función g : N N dada por g(n) = n. Mostraremos que g es inyectiva. Usaremos otra vez el criterio anterior. Debemos probar que Es decir, Si g(n) = g(m), entonces n = m. Si n = m, entonces n = m. En efecto, fijemos n, m N y supongamos que n = m. De esto tenemos que n m = 0. Factorizando obtenemos que (n + m)(n m) = 0. Hay dos casos a considerar: (i) n + m = 0 y (ii) n m = 0. Como n, m N, entonces n, m 0. Por lo tanto en el caso (i) tenemos que n = m y entonces necesariamente se cumple que n = m = 0. En el caso (ii) tenemos obviamente que n = m. En el ejemplo que sigue usaremos la definición original de inyectividad. Ejemplo 4.6. Defina h : Z Z de la siguiente manera: { x, si x < 0 h(x) = x +, si 0 x. Mostraremos que h es inyectiva. Tomemos dos enteros x, y distintos y mostremos que h(x) h(y). Hay cuatro casos posibles, los consideraremos por separado. (i) Supongamos que x < 0 y y < 0. En este caso, por la definición de h, tenemos que h(x) = x y h(y) = y. Como x y es claro que x y y por lo tanto x y. Es decir que h(x) h(y). (ii) Supongamos que x 0 y y 0. En este caso, por la definición de h, tenemos que h(x) = x + y h(y) = y +. Como x y es claro que x y y por lo tanto x + y +. Es decir, h(x) h(y).

3 06 CPÍTULO 4. FUNCIONES (iii) Supongamos que x < 0 y y 0. Por la definición de h tenemos que h(x) = x y h(y) = y +. Como x < 0 entonces x < 0 y como y 0, entonces y + 0. Por lo tanto h(x) h(y). (iv) Supongamos que y < 0 y x 0. Este caso se analiza como en el apartado anterior. Hemos mostrado que en cada uno de los casos se cumple que h(x) h(y). Como estos cuatro casos son todos los posibles, podemos concluir que h es inyectiva. Es importante tener claro cuando una función no es inyectiva. En el siguiente recuadro lo resaltamos: Sea f : una función. Las afirmaciones (i) y (ii) son equivalentes (i) f no es inyectiva (ii) Existe un par de elementos a, a tales que a a y f(a) = f(a ). Notemos entonces que para mostrar que una función no es inyectiva debemos conseguir DOS elementos del dominio que tengan la misma imagen. Ejemplo 4.7. Consideremos la función h : Z N dada por h(n) = n. Uno estaría tentado a rápidamente concluir del ejemplo 4.5 que h es inyectiva. Pero no es así. Notemos que h no es la misma función g del ejemplo 4.5, pues hemos modificado el dominio. En este caso para mostrar que h no es inyectiva debemos conseguir un par de elementos distintos n, m del dominio de h que tengan la misma imagen bajo h, es decir tales que h(n) = h(m). Por ejemplo, h() = 4 = h( ). Por esta razón h no es inyectiva Funciones sobreyectivas Definición 4.8. Sea f : una función. Diremos que f es sobreyectiva si dado b existe algún a tal que b = f(a). Es claro que una función f : es sobreyectiva cuando el rango de f es igual al contradominio. Esto lo resaltamos en el próximo recuadro. Sea f : una función. Las afirmaciones (i) y (ii) son equivalentes (i) f es sobreyectiva (ii) rango(f) =.

4 4.. FUNCIONES INYECTIVS, SOREYECTIVS Y IYECTIVS 07 Cuando f(x) = y se dice que y es la imagen de x y también diremos que x es una preimagen de y. En el caso que y rango(f), diremos que y no tiene preimagen. Notemos que la sobreyectividad indica que en el grafo de la función a todo elemento del contradominio le llega al menos una flecha (pero puede ser más de una). El primero de los diagramas que siguen corresponde a una función sobreyectiva, en cambio el segundo no. f g Ejemplo 4.9. Considere la función f : {, 0,, } {0,, 4} definida por f(x) = x. Mostraremos que f es sobreyectiva. Debemos mostrar lo siguiente: Para todo y {0,, 4} existe x {, 0,, } tal que f(x) = y. Como el contradominio de f, el conjunto {0,, 4}, tiene sólo elementos, podemos verificar esta afirmación con una simple inspección de todos los casos posibles. (i) Para y = 0, en efecto existe x {, 0,, } tal que f(x) = 0, precisamente x = 0. Es decir, la preimagen del 0 es el 0. (ii) Para y =, tenemos que existe x {, 0,, } tal que x =. En realidad existen dos elementos del dominio que tiene imagen igual a : f() = = y f( ) = ( ) =. Es decir, tiene dos preimágenes: y -. (iii) Para y = 4, tenemos que f() = = 4. Es decir, la preimagen del 4 es el. Hemos entonces verificado que todo elemento del contradominio de f es la imagen de algún elemento del dominio de f. En otras palabras, el rango de f es {0,, 4}. Ejemplo 4.0. Sea g : Q Q definida por g(x) = x+. Mostraremos que g es sobreyectiva. Debemos mostrar lo siguiente: Para todo y Q existe x Q tal que x + = y. Por ejemplo, tomando y igual a 4 es claro que g( ) = + = 4. Es decir, es una preimagen de 4. En este ejemplo no podemos mostrar la sobreyectividad de g analizando todos los casos posibles como lo hicimos en el ejemplo anterior, pues el contradominio de g tiene una cantidad infinita de elementos. Es por esta razón que necesitamos un argumento general.

5 08 CPÍTULO 4. FUNCIONES Fijemos un elemento y cualquiera del contradominio, es decir y Q. Queremos hallar x tal que x + = y. En muchos ejemplos para hallar tal x lo que hacemos es despejar x de una ecuación. En el ejemplo que estamos analizando tenemos que x = y y por lo tanto x = y. Es claro que y Q y ahora verificaremos que la imagen de y es y. En efecto, ( ) ( ) y y g = + = (y ) + = y. Ejemplo 4.. Consideremos la función f : N N N, definida por f((n, m)) = n. Mostraremos que f es sobreyectiva. Para entender mejor la definición de f calculemos algunas imágenes. Por ejemplo tenemos que f((5, 0)) = 5, f((, )) =, f((0, 0)) = 0. Esto nos dice que 5, y 0 tienen (al menos una) preimagen, respectivamente (5, 0), (, ) y (0, 0). Pero esto no es suficiente para garantizar que g es sobreyectiva. Debemos mostrar que dado cualquier elemento del contradominio n N, existe un elemento del dominio (x, y) N N tal que f((x, y)) = n. Los ejemplos anteriores sugieren una respuesta. En efecto, notemos que f((n, 0)) = n para cualquier n N, esto dice que (n, 0) es una preimagen de n y por lo tanto n rango(f) para todo natural n. Observemos que en el ejemplo anterior, el conjunto de preimágenes de cada elemento del contradominio es un conjunto infinito. Por ejemplo, las preimágenes del son todos los pares ordenados que tienen la forma (, m), en símbolos, {(n, m) N N : f((n, m)) = } = {(, m) : m N}. Esto nos dice que f está muy lejos de ser una función inyectiva. Para determinar si una función es sobreyectiva es crucial poder conseguir su rango. En los próximos ejemplos calcularemos el rango de algunas funciones.

6 4.. FUNCIONES INYECTIVS, SOREYECTIVS Y IYECTIVS 09 Ejemplo 4.. Considere la función f : {,,, 4} {,,, 4, 5, 6, 7, 8} dada por f(n) = n. Entonces por simple inspección se verifica que el rango de f es el conjunto {, 4, 6, 8}. Ejemplo 4.. Considere la función f : R \ {} R dada por f(x) = x x. Para hallar el rango de f debemos determinar cuales números reales son de la forma Para hacerlo consideremos la ecuación x x = y. Debemos despejar x de esta ecuación. Tenemos entonces que x. x Luego Y por lo tanto x = (x )y. x xy = y. x = y y. Usando esta última ecuación mostraremos que si y, entonces y está en el rango de f. En efecto, sea y, conseguiremos un real z tal que f(z) = y. Sea Verificaremos que f(z) = y. En efecto, z = y y. f(z) = y y y y = y y y +y y = y = y. Hemos mostrado que rango(f) = R \ {}. Ejemplo 4.4. Considere la función f : P(N) P(N) dada por f() = {, }. Mostraremos que el rango de f consiste de todos los subconjuntos de N que contienen al y al. En efecto, sea N tal que,. Observemos que f() = {, } =.

7 0 CPÍTULO 4. FUNCIONES Por esto está en el rango de f. Observemos que para cada que contenga al y al existen varios conjuntos tales que f() =. En efecto, tenemos que f( \ {, }) = ( \ {, }) {, } =, f( \ {}) = ( \ {}) {, } =, f( \ {}) = ( \ {}) {, } =. Esto muestra que los conjuntos, \ {, }, \ {} y \ {} todos tienen como imagen a. Es importante que también quede claro cuando una función no siguiente recuadro lo resaltaremos. es sobreyectiva. En el Sea f : una función. Las afirmaciones (i) y (ii) son equivalentes (i) (ii) f no es sobreyectiva Existe un elemento b tal que para ningún a se tiene que b = f(a). Notemos que para mostrar que una función no es sobreyectiva debemos encontrar UN elemento del contradominio que no tenga preimagen. Ejemplos 4.5. siguiente. f : {0,,, 6} {0,,, 6} definida por partes de la manera f(x) = { x +, si 0 x 7 x, si x 6. Será f sobreyectiva? Como el dominio de f tiene sólo 7 elementos es sencillo responder esta pregunta simplemente analizando por inspección todos los casos posibles. Vemos que rango(f) = {,,, 4}. De esto vemos que 5 no tiene preimagen y por lo tanto f no es sobreyectiva.. Podemos modificar el contradominio de la función dada en el ejemplo anterior y obtener otra función que sí sea sobreyectiva. Definimos g : {0,,, 6} {,,, 4} usando la misma ley de correspondencia que la de f. Como el dominio de g es igual al de f y usamos la misma regla, entonces se tiene que rango(g) es de nuevo {,,, 4} y por lo tanto g sí es sobreyectiva. En el último ejemplo hemos usado un hecho general acerca de las funciones que enunciaremos a continuación. Teorema 4.6. Sea f : una función. Defina g : rango(f) por g(x) = f(x). Entonces g es sobreyectiva.

8 4.. FUNCIONES INYECTIVS, SOREYECTIVS Y IYECTIVS Ejemplo 4.7. Sea f : (, ) R definida por f(x) = x +. firmamos que f no es sobreyectiva. En efecto, notemos que si x (, ) entonces < x <. Multiplicando por la desigualdad anterior obtenemos que < x <. hora sumamos a ambos miembros de la desigualdad anterior y obtenemos < x + < 5. De esto se deduce que el rango de f está contenido en (, 5). Y por consiguiente podemos entonces concluir que f no es sobreyectiva pues, por ejemplo, 6 no tiene preimagen. Podemos de hecho hallar el rango de f. En efecto, afirmamos que rango(f) = (, 5). Nos falta mostrar que (, 5) rango(f). Sea x (, 5). Es decir, < x < 5. Entonces restando obtenemos < x <. hora dividiendo entre obtenemos Dejamos al lector la verificación que < x <. ( ) x f = x. Con esto queda demostrado que todo x (, 5) tiene preimagen y por lo tanto que (, 5) es el rango de f. Definimos g : (, ) (, 5) por g(x) = x +. El teorema 4.6 nos dice que g es sobreyectiva Funciones biyectivas Definición 4.8. Diremos que f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Una función es biyectiva cuando su digrafo tiene la propiedad que a todo elemento del contradominio le llega una y sólo una flecha, como se indica en el siguiente diagrama

9 CPÍTULO 4. FUNCIONES Por esta razón se dice que una biyección establece una correspondencia biunívoca entre los elementos del dominio y del contradominio. Las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas son las herramientas básicas para comparar el número de elementos de dos conjuntos. Observando el digrafo de una función biyectiva f : vemos que y tienen el mismo número de elementos. hora bien, si f : es inyectiva, sólo podemos afirmar que tiene al menos tantos elementos como (pero puede suceder que tenga más elementos que ). Por último, si f : es sobreyectiva, sólo podemos afirmar que tiene al menos tantos elementos como (pero puede suceder que tenga más elementos que ). Ejemplo 4.9. Consideremos los conjuntos = {,, }, = {,, 5} y C = {, }. Es fácil encontrar una función biyectiva de en, una inyectiva de C en y una sobreyectiva de en C. Como lo mostramos en los gráficos que siguen. Sin embargo, no es posible encontrar una inyección de en C, ni tampoco una función sobreyectiva de C en. En particular, esto nos dice además que no existe un función biyectiva entre y C, lo cual es claro pues tiene elemento y C sólo elementos. f C g h C 5 5 Un hecho general que usaremos con frecuencia lo enunciamos a continuación. Teorema 4.0. Sea f : una función inyectiva, definimos g : rango(f) por g(x) = f(x). Entonces g es biyectiva. Terminaremos esta sección presentando algunos ejemplos de funciones biyectivas. Ejemplos 4... Consideremos los conjuntos {,, } y {a, b, c}. Existirá una función biyectiva entre ellos? Es claro que sí. Por ejemplo, definimos la función f : {,, } {a, b, c} por f() = a, f() = b y f() = c. Por una simple inspección vemos que f es inyectiva y sobreyectiva. De hecho existen 6 funciones biyectivas distintas entre estos dos conjuntos (ver ejercicio ).