0.1. Homomorfismos de Grupos

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1 0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS Homomorfismos de Grupos Definición 1 Sean (G, ) y (H, ) dos grupos. Una función f de G a H f : G H se dice ser a) Un homomorfismo si f(x y) = f(x) f(y), x, y (G, ), se puede prescindir de las operaciones y escribir simplemente f(xy) = f(x)f(y). b) Un monomorfismo si es un homomorfismo inyectivo de G en H. c) Un epimorfismo si es un homomorfismo sobreyectivo de G en H. d) Un isomorfismo de H en G si es un homomorfismo biyectivo entre estos dos grupos. G y H se dicen isomorfos, y se escribe G = H. e) Un automorfismo si es un isomorfismo de G en G. Ejemplo 1. Sea h : (IR, +) (IR {0}, ), se define h(x) = 3 x. Vemos que h(x + y) = 3 x+y, = 3 x 3 y, = h(x)h(y). Así h es un homomorfismo. Por otro lado, se tiene que dh(x) dx = ln3 3 x > 0, x IR, esto significa que h es creciente estrictamente y por lo tanto inyectiva, así que h es un monomorfismo. Ejemplo 2. Sea A cualquier grupo abeliano definimos h(a) = a 2, esta función es un homomorfismo de éste grupo en si mismo. En efecto, h(ab) = (ab) 2, = a 2 b 2, = h(a)h(b). Puede ser la propiedad de conmutatividad omitida aquí?.

2 2 Ejemplo 3. Consideremos h, una función definida por: h : ( Z, +) ({1, 1}, ), n h(n) = ( 1) n. Es claro que h(m + n) = ( 1) m+n = ( 1) m ( 1) n = h(m)h(n). Evidentemente no es un monomorfismo. Por qué?. Ejemplo 4. Consideremos los grupos de C y el grupo Klein cuyas tablas damos a continuación: C : e x x 2 x 3 e e x x 2 x 3 x x x 2 x 3 e x 2 x 2 x 3 e x x 3 x 3 e x x 2 K : e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Asumamos que exista un isomorfismo de h : C K, entonces debería ser que: h(x) = e, a, b, ó c, entonces h(x 2 ) = e 2, a 2, b 2 ó c 2. Supongamos que h(x) = e, entonces : h(x 2 ) = h(x)h(x) = e 2 = e, h(x 3 ) = h(x 2 )h(x) = e 3 = e, asi que h(e) = h(e 2 ) = h(e)h(e) = e = h no puede ser inyectivo. Ejemplo 5. Sea G = {e, g, g 2 } un grupo cíclico de orden 3 con y h : G G definido por e g g 2 e e g g 2 g g g 2 e g 2 g 2 e g h(e) = e, h(g) = g 2, h(g 2 ) = g.

3 0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 3 h es un isomorfismo de G en si mismo. Veamos primero que es un homomorfismo. En efecto, h(ee) = h(e)h(e) = e 2 = e h(eg) = h(e)h(g) = eg 2 = g 2, h(eg 2 ) = h(e)h(g 2 ) = eg = g, h(gg 2 ) = h(g)h(g 2 ) = g 2 g = e, Claramente es inyectiva y sobreyectiva, así que h es un automorfismo. Ejemplo 6. El siguiente es un ejemplo de un automorfismo de grupos. Sea a G, y sea f a : G G la función definida por f a (g) = a 1 ga para todo g G. Pruebe que f a es un homomorfismo de grupos. Prueba En efecto, pues f a (gg 1 ) = a 1 gg 1 a, = (a 1 ga)(a 1 g 1 a), = f a (g)f a (g 1 ). Finalmente para demostrar que f a es un isomorfismo y por lo tanto un automorfismo es suficiente ver que f a 1 es el inverso de f a. Dejamos este último hecho como un ejercicio al lector. Ejemplo 7. Si A es un grupo abeliano finito de orden n, y m.c.d(n,k) = 1, muestre f : A A definido por f(a) = a k es un isomorfismo. Prueba Si se muestra que f es sobreyectivo, entonces f es inyectivo, ya que A es un conjunto finito y f va de A en A. En efecto, sea a un elemento cualquiera en A considerado como conjunto de llegada del homomorfismo y tomemos a d en A conjunto de salida y entonces calculemos f(a d ) = (a d ) k, = a kd a nc, = a kd+nc, = a 1, = a,

4 4 ya que (a c ) n kd + nc = 1. = e, donde e es elemento neutro de A, y del hecho de que Nota El siguiente teorema es especialmente útil para determinar cuando dos grupos no son isomorfos. En general para demostrar que dos grupos no son isomorfos se muestra que uno de ellos tiene una propiedad estructural y el otro no. Así por ejemplo algunas propiedades estructurales posibles son que uno de los grupos sea cíclico, abeliano, el número de subgrupos, el ser grupo finito o no, el orden del grupo, que el grupo tenga por ejemplo exactamente dos elementos de un orden dado, o que por ejemplo la ecuación x 2 = a, tenga exactamente una solución para cada a en el grupo. Por otro lado no son propiedades estructurales que el grupo contenga al número 5 como elemento, que todos elementos sean números, que la operación del grupo se llame composición, que los elementos del grupo sean permutaciones, que el grupo sea un subgrupo de (IR, +). Teorema 1 Si h es un isomorfismo de un grupo G en un grupo H, entonces 1. h(e) = e. 2. h(x 1 ) = (h(x)) h(x k ) = (h(x)) k, k Z, k > 0 4. Si g y g conmutan en G h(g) y h(g ) conmutan en H. 5. G es abeliano H es abeliano. 6. g k = g en G (h(g)) k = h(g ) en H. 7. g y h(g) tienen el mismo orden. 8. x k = g tiene el mismo número de soluciones en G que h(g) = x k en H. 9. G y H tienen la misma cardinalidad, es decir, el mismo número de elementos.

5 0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 5 Prueba 1. Dado que e 2 = e, se tiene que h(e) = h(e 2 ) = (h(e)) 2, se sabe que en un grupo si un elemento x 2 = x = x = e, así si tomamos x = h(e) en H concluimos que e = h(e). 2. Si xx 1 = e = h(xx 1 ) = h(e) = e = h(x)h(x 1 ). Pero h(x) tiene un inverso único, así que h(x 1 ) = (h(x)) h(x k ) = (h(x)) k k entero. Si k es negativo, entonces h(x k ) = h((x 1 ) k ) = h((h(x)) 1 ) k = (h(x)) k. 4. (= ) Si gg = g g = h(g)h(g ) = h(g g) = h(g )h(g), así si g y g conmutan implica que h(g) y h(g ) conmutan. ( =) Por otro lado si h(g)h(g ) = h(g )h(g), entonces h(gg ) = h(g g) y dado que h es inyectivo, entonces gg = g g. 5. (= ) Sean f, f dos elementos cualesquiera del grupo H, existen g, g en G tales que h(g) = f y h(g ) = f dado que h es sobreyectivo. Luego ff = h(g)h(g ) = h(gg ) = h(g g) = h(g )h(g) = f f, esto significa que H es abeliano. Este argumento es válido en el sentido inverso. 6. g k = g en G = (h(g)) k = h(g k ) = h(g ) H aplicando h 1 a (h(g)) k = h(g k ) dado que g k = g. 7. Sea k el menor entero para el que g k = e, entonces por la parte anterior esto es equivalente a (h(g)) k = h(e) = e. 8. (= ) Si a satisface x k = g, entonces a k = g, así, de donde (h(a)) k = h(g), de modo que h(a) satisface la ecuación x k = h(g) en H. Este argumento es válido en el sentido inverso. 9. G y H tienen la misma cardinalidad. Ejemplo 8. Consideremos el conjunto de matrices {( ) } a b Gl(2, IR) = a, b, c, d IR, donde ad bc 0. c d

6 6 Gl(2, IR) con la multiplicación usual de matrices es un grupo, y (IR, +) no son isomorfos por la parte (4) del teorema anterior. Ejemplo 9. El grupo de Klein K y D 4 no son isomorfos por la parte (8) del teorema precedente. Ejemplo 10. Consideremos los grupos siguientes (Ql {0}, ) no son isomorfos a ( Z, +) por la parte (8), dado que x 2 = 4 tiene dos soluciones en (Ql {0}, ). Pero como h(4) = k para algún entero k, y del hecho que x 2 = x x = k, se convierte en x + x = 2x en ( Z, +), la que tiene a lo más una solución en ( Z, +). Ejemplo 11. El grupo (IR {0}, ) no es isomorfo a (IR, +) ya que x + x = a siempre tiene solución para cada a IR, 2x = a = x = a, mientras x x = a, que 2 es la ecuación equivalente no tiene siempre solución en (IR {0}, ), tómese a = 1. Ejemplo 12. Los grupos (Cl {0}, ) (IR {0}, ) no son isomorfos ya que x 2 = 1 tiene dos soluciónes {i, i} en (Cl {0}, ), mientras que no tiene en (IR {0}, ). Ejemplo 13. Sea G cualquier grupo, la función identidad de un grupo en si mismo definida por I : G G, i(g) = g es un automorfismo de G. Ejemplo 14. El grupo de Klein, es isomorfo a ( Z 2, +) ( Z 2, +). En efecto, sea K = {e, a, b, c} y Z 2 Z 2 = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}, entonces se define: f(e) = (0, 0), f(a) = (1, 0), f(b) = (0, 1), f(c) = (1, 1). obviamente es inyectivo y sobreyectivo.para ver que es homomorfismo revisar f(x 2 ) y f(xy) con x y, y así se comprobara que es un isomorfismo.

7 0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 7 Otra manera de probar lo mismo es observando que ( Z 2 Z 2 ) no tiene elementos de orden cuatro y así este no puede ser cíclico de modo que la única posibilidad es que sea isomorfo al grupo de Klein. Ejemplo 15. Sea K = {e, a, b, c} el grupo de Klein y H = {e, g} un grupo de orden 2. Definimos h : K H por h(e) = e, h(a) = e, h(b) = g, h(c) = g. evidentemente no es un isomorfismo. Veamos sin embargo que es un homomorfismo. h(a b) = h(c) = g mientras que h(a) h(b) = e g = g también, h(e b) = h(b) = g y h(e) h(b) = e g = g, mientras que h(b) h(c) = g g = e,, hay que verificar en total 16 productos. Ejemplo 16. Sea ( Z, +) y sea H = {e, g} el grupo cíclico de orden 2. Definimos h(n) = { e, si n es par, g, si n es impar. evidentemente h no puede ser un isomorfismo ya que no es inyectivo. Para ver que es homomorfismo veamos dos casos: 1) Si n y m son ambos pares o impares, entonces n+m es par y h(n+m) = e mientras que h(n)h(m) = { ee = e si n y m son pares, gg = e si n y m son impares. 2) Si n es par y m es impar, entonces n + m es impar y así h(n + m) = g mientras que h(n)h(m) = eg = g. El caso en que n es impar y m es par es similar. Así que h define un homomorfismo de grupos.

8 8 Ejemplo 17. Sean G = {a, a 2, a 3,, a 11, a 12 = e} este grupo es cíclico y su subgrupo G = {a 2, a 4, a 6,, a 12 = e} se ve que G : G, a n h(a n ) = a 2n. es un homomorfismo de G en G. (pruébelo!) Ejemplo 18. Demostrar que el grupo G, cuya tabla se da continuación y el grupo H del cual también damos su tabla son isomorfos. En efecto, basta definir h(1) = 0, h( 1) = 1 claramente h es una función biyectiva, solo debemos comprobar que h es un homomorfismo. así que G = H. a) h(1 1) = h(1)h(1), b) h( 1 1) = h( 1)h(1), c) h( 1 1) = h( 1)h( 1), d) h(1 1) = h(1)h( 1). Definición 2 Sea G un grupo, entonces A(G) = {f : G G fes un isomorfismo}, es decir, A(G) es el conjunto de automorfismos de G en G. Ejemplo 19. Si f, g A(G), entonces f g A(G), donde es operación composición de funciones A(G). Es claro que (A(G), ) es un grupo.

9 0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 9 Prueba Probemos que es una operación cerrada en A. Primero notemos que f g es una biyección de G en G ya que la composición de dos funciones biyectivas es una función biyectiva. Verifiquemos que f g es un homomorfismo de A en A. se tiene que mostrar que En efecto, (f g)(ab) = (f g)(a)(f g)(b), a, b G. (f g)(ab) = f(g(ab)), = f(g(a)g(b)), = f(g(a))f(g(b)), = (f g)(a)(f g)(b). con lo que se prueba que es una operación binaria sobre A(G), las demás propiedades de grupo se dejan como ejercicio. Nota Las propiedades de los grupos de automorfismos son muy interesantes. Así si G, H son grupos tales G = H, entonces A(G) = A(H) también. Es importante hacer notar que el recíproco no es cierto. Ejemplo 20. Consideremos el siguiente conjunto G = {a, b} con siguiente tabla es un grupo a b a b (a) a a b (b) a a b b b a b b a Encuentre el grupo de automorfismos de (G, ). Mostremos que la función identidad, es el único automorfismo posible ya que la otra posibilidad sería: h(a) = b, h(b) = a. Ahora bien h(bb) = h(a) = b, pero h(b)h(b) = aa = a, de donde se sigue que h(bb) h(b)h(b) y de este modo h no es un homomorfismo y así el único automorfismo es la identidad. Teorema 2 Sean H y G grupos tales que H = G, entonces A(G) = A(H).

10 10 Prueba Dado que G = H, entonces existe f : G H la cual es un isomorfismo de G en H. Para cualquier h A(G), definimos T f por T f (h) = f h f 1. Claramente f 1 es un isomorfismo de H en G, ya que f lo es de G en H. Por lo tanto, es claro T f (h) A(H), y así T f, es un isomorfismo de A(G) en A(H), con lo que A(G) = A(H) Imágen y núcleo de un homomorfismo Definición 3 Sean G y H grupos y considere un homomorfismo f : G H se define a) Imágen de F como el conjunto de las imagenes del homomorfismo f, es decir I(f) = {f(g) g G} b) Núcleo de f,o kernel de f como el conjunto de preimagenes del neutro e H de H, es decir N(f) = {g G f(g) = e H } Nota El N(f) siempre, ya que e G, f(e) = e. Ejemplo 21. Volvamos al ejemplo del homomorfismo h : K = {e, a, b, c} {e, g} donde h(e) = e, h(a) = e, h(b) = g, h(c) = g. Así el núcleo de está función es N(h) = {e, a}, mientras que el conjunto imágen es I(h) = {e, g} Ejemplo 22. El homomorfismo h : Z {e, g} definido por: h(n) = { e si n es par, g si n es impar. N(h) = {2n n Z}.

11 0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 11 Ejemplo 23. Sea G = {e, g, g 2 } el grupo cíclico de orden 3 definimos h : {e, g, g 2 } S 3 por: e g g 2 e e g g 2 g g g 2 e g 2 g 2 e g h(e) = f 0, h(g) = f 3, h(g 2 ) = f 4, cuyo núcleo es {e}. Muestre que h es un homomorfismo, probando que los nueve productos de pares de elementos de G son preservados por h. Ejemplo 24. I(h) = {h(g) g G} = {f 0, f 3, f 4 }. Considere ( Z m, +) y ( Z n, +) grupos aditivos donde n m. Se define la función f : Z m Z n donde f(a) = a (mod m) y (mod n) respectivamente a Z. Probaremos que la función es un isomorfismo, y hallaremos su núcleo. Prueba a) En primer lugar notemos que f está bien definido, es decir, a (mod m) = a (mod m),entonces f(a) (mod n) = f(a ) (mod n). En efecto, a (mod m) = a (mod m), = m (a a), = n (a a), = a (mod n) = a (mod n), = f(a ) (mod m) = f(a) (mod m).

12 12 Se ha mostrado así que f está bien definida. b) Ahora mostremos que f es un homomorfismo. En efecto, sean a, b Z m f(a + b) = f(a + b), = (a + b) (mod n), = a (mod n) + b (mod n), = f(a) + f(b). c) Es claro que f es sobreyectivo. Por qué? d) Para analizar la inyectividad hay analizemos el núcleo. En efecto, sea a (mod n) núcleo de f, = f(a (mod n)) = 0 (mod n), = a (mod n) = 0 (mod n), = n a. Por lo tanto, si escribimos m = nd, entonces núcleo de f consiste en los siguientes d elementos {0, n, 2n, 3n,, (d 1)n} el cual es un subgrupo normal de Z m. Teorema 3 Si f : G H un homomorfismo de grupos, entonces a) La imágen de f es un subgrupo de H b) El núcleo de f es un subgrupo normal de G. Prueba a)sean f(g 1 ), f(g 2 ) Im(f), entonces f(g 1 )[f(g 2 )] 1 = f(g 1 )f(g 1 2 ) = f(g 1 g 1 2 ) lo cual pertenece a Im(f), pues g 1 g2 1 G. Por lo tanto I(f) es un subgrupo de H. b) Hay que demostrar que si g 1, g 2 N(f), entonces g 1 g2 1 N(f). Si tanto g 1 como g 2 N(f), entonces esto significa que f(g 1 ) = e, f(g 2 ) = e, donde e es el elemento identidad de H. Así: f(g 1 g2 1 ) = f(g 1 )f(g2 1 ), = f(g 1 )(f(g 2 )) 1, = ee, = e,

13 0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 13 lo cual implica que g 1 g 1 2 N(f) y por lo tanto N(f) es un subgrupo de G. Mostremos ahora que I(f) es un subgrupo normal de G. Sea g G y sea n N(f), entonces f(g 1 ng) = f(g 1 )f(n)f(g) = [f(g)] 1 ef(g) = e por lo que g 1 ng N(f) y como n, g eran arbitrarios, se cumple que g 1 N(f)g N(f), o sea que N(f) G. Teorema 4 Si f : G H un homomorfismo de grupos, entonces f es un monomorfismo N(f) = {e G } Prueba Supongamos que f es inyectiva, y sea g N(f), entonces f(g) = e H = f(e G ) = e G N(f) = {e G } Supongamos ahora que N(f) = {e G }. Entonces si f(g 1 ) = f(g 2 ) f(g 1 )[f(g 2 )] 1 = e H f(g 1 )f(g2 1 ) = e H, f(g 1 g 2 ) 1 = e H, g 1 g2 1 N(f), g 1 g2 1 = e G, g 1 = g Grupos cíclicos e isomorfismos Teorema 5 Dos grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos. Prueba Sean C = < c > y D = < d > dos grupos cíclicos de orden n, es decir, D = C = n, definimos: f : C D, c k f(c k ) = d k. para 0 k n 1, es sobreyectivo por teorema anterior y como C = D, entonces es inyectivo y por lo tanto biyectivo, y así un isomorfismo.

14 14 Corolario Sea C = < c > tal que C = n, entonces C es isomorfo a ( Z n, +). Nota Así hemos contestado algunas preguntas con respecto a los grupos cíclicos. (a) Son cíclicos los subgrupos de los grupos cíclicos? (b) Cuántos subgrupos distintos se obtienen a partir de un grupo cíclico (con orden menor que el orden del grupo)? (c) Un hecho interesante que puede responderse acerca de los grupos cíclicos es la siguiente: Existen grupos cíclicos de cualquier orden m para cualquier entero (finito) m > 0?. La respuesta es afirmativa como se muestra a continuación, ( ) 1 2 m 1 m C m =, 2 3 m 1 ( ) 1 2 m 2 m 1 m Cm 2 =, 3 4 m 1 2 ( ) 1 2 m Cm m = = I. 1 2 m Es claro que todos los elementos {I, σ m, σm, 2, σm m 1 } son distintos y H = < σ m > es cíclico de orden m. (d) Existen dos grupos cíclicos de orden m, que sean esencialmente diferentes?. Dicho de otro modo: si dos grupos cíclicos son de orden m, son estos isomorfos?. Ya sabemos cual es la respuesta. Teorema 6 Todos los grupos cíclicos de orden infinito son isomorfos. Prueba Sean G = < g > y H = < h > dos grupos cíclicos infinitos cualesquiera. Definimos f : H G, h k f(h k ) = g k, k Z. es evidente que f es una función, la cual es sobreyectiva ya que si g m < g >, existe el correspondiente h m H tal que f(h m ) = g m también es

15 0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 15 suficientemente claro que f(h k h l ) = f(h k+l ), = g k+l, = g k g l, = f(h k )f(h l ), es decir, f es un homomorfismo. Veamos que f es inyectivo, En efecto, si f(h m ) = f(h n ), = g m = g n, = m = n, (por teorema anterior y su corolario) = h m = h n = f es inyectivo y por lo tanto un isomorfismo. Corolario Sea G = < g >, un grupo cíclico infinito, entonces < g > es isomorfo en ( Z, +). Prueba Consideremos f : Z < g >, n g n = f(n). NOTA: a) Así solo hay esencialmente un grupo cíclico de orden 2. b) Solo existe un grupo cíclico de orden 3. c) Existen al menos dos grupos de orden 4 distintos, el Klein y el cíclico de orden 4. d) Existen al menos dos grupos diferentes de orden 6, ( Z 6, +) y (S 3, ). f) Los grupos ( Z, +) y (Ql, +) no son isomorfos ya que Z = < 1 > es cíclico y (Ql, +) no lo es. Ejemplo 25. Considere Z 2 Z 3, con el producto directo usual de grupos, el cual sabemos tiene 2 3 = 6 elementos, (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1) y (1, 2). Afirmamos Z 2 Z 3 es cíclico. En efecto, 1(1, 1) = (1, 1), 2(1, 1) = (1, 1) + (1, 1) = (0, 2), 3(1, 1) = (1, 1) + (1, 1) + (1, 1) = (1, 3), 4(1, 1) = 3(1, 1) + (1, 1) = (1, 0) + (1, 1) = (0, 1), 5(1, 1) = 4(1, 1) + (1, 1), = (0, 1) + (1, 1) = (1, 2), 6(1, 1) = 5(1, 1) + (1, 1) = (0, 0).

16 16 Así que (1, 1) genera a ( Z 2 Z 3 ) y tiene orden 6, entonces Z 2 Z 3 = Z6. Ejemplo 26. Consideremos el grupo cociente Z/3 Z, ( Z, +) y N = 3 Z, de donde {3 Z, Z, Z} = Z/3 Z, es un grupo cíclico de orden 3, isomorfo a Z 3. Construya la tabla. Ejemplo 27. El grupo ( Z 4 Z 6 )/ < (0, 1) > aquí < (0, 1) > es un subgrupo cíclico de Z 4 Z 6 generado por (0, 1), así < (0, 1) > = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5)}. Dado que Z 4 Z 6 tiene 24 elementos y H = < (0, 1) > tiene 6 elementos, entonces ( Z 4, Z 6 )/H debe tener orden 4. Dado que Z 4 Z 6, es abeliano, así ( Z 4 Z 6 )/H es abeliano también, además note que ( Z 4 Z 6 )/H = {(0, 0) + H, (1, 0) + H, (2, 0) + H, (3, 0) + H}, que es isomorfo a Z 4. Ejemplo 28. Halle un isomorfismo entre el grupo cíclico general de orden 4 y ( Z 4, +). En efecto, sea < a > el grupo cíclico de orden cuatro; así: < a > = {e, a, a 2, a 3 }, Z 4 f < a >, 0 a 0 = f(0) = e, 1 a 1 = f(1), 2 a 2 = f(2), 3 a 3 = f(3). es claramente un isomorfismo, en realidad basta 1 a. Teorema 7 Si N es un subgrupo normal de un grupo G, y h : G G/N, el cual se define h(g) = gn, entonces h es llamado el homomorfismo canónico de G en G/N. Prueba

17 0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 17 h es sobreyectivo, para xn G/N, h(x) = xn. Que h es homomorfismo. En efecto, h(g 1 g 2 ) = g 1 g 2 N, = g 1 N g 2 N, = h(g 1 )h(g 2 ). Ejemplo 29. Sea G = {e, g, g 1 } y H = {e, h, h 1 } y consideremos los grupos de orden 3 asociados a estos grupos dados en la siguiente tabla. e g g 1 e e g g 1 g g g 1 e g 1 g 1 e g e h h 1 e e h h 1 h h h 1 e h 1 h 1 e h Es claro que e es la identidad de G y F es la identidad de H. Se nota en las tablas de estos grupos su similitud desde el punto estructural y y el hecho de que pueden ser sustituidos e por e, g por h, g 1 por h 1 para así obtener exactamente la tabla de H. En otras palabras estos grupos son esencialmente el mismo. Lo importante es saber que no siempre es posible identificar dos grupos con el mismo número de elementos como en presente ejemplo. Así podemos definir la función f de G en F tal que del siguiente modo f(x y) = f(x) f(y) x, y G f(e) = e, f(g) = h, f(g 1 ) = h 1,

18 18 y además f(e) f(e) = e e = e = f(e e), f(e) f(g) = e h = h = f(e g), f(g) f(e) = h e = h = f(g e), f(e) f(g 1 ) = e h 1 = h 1 = f(e g 1 ), f(g 1 ) f(e) = h 1 e = h 1 = f(g 1 e), f(g) f(g 1 ) = h h 1 = e = f(g g 1 ), f(g 1 ) f(g) = h 1 h = e = f(g 1 g), f(g) f(g) = h h = h 1 = f(g g), f(g 1 ) f(g 1 ) = h 1 h 1 = h = f(g 1 g 1 ). De modo que f es biyectivo, y por lo tanto un isomorfismo de grupos G y H.

19 0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 19 Ejercicios Propuestos 1. Determine cual de las siguientes funciones son homomorfismos: a) h : Z IR ambos conjuntos con la suma y h(n) = n, b) h : IR Z ambos conjuntos con la suma y h(x) = el mayor entero menor o igual a x, c) h : IR IR con la multiplicación y h(x) = x, d) h : Z 6 Z 2 con la suma y h(x) = el residuo de dividir x entre 2, e) h : Z 9 Z 2 con la suma y h(x) = el residuo de dividir x entre Halle todos los automorfismos de un grupo cíclico de orden Halle todos los automorfismos del grupo de Klein en si mismo. 4. Sean grupos G 1 y G 2, considere la función h 1 : G 1 G 2 G 1 dada por h 1 (x, y) = x. Muestre que h 1 es un homomorfismo. Cúal es el núcleo?. 5. Determine cuales de las siguientes funciones son homomorfismos. Si la función es un homomorfismo, describa su núcleo y la imagen de este. a) h : Z IR ambos grupos bajo la suma usual y donde h(n) = n. b) h : IR Z ambos grupos bajo la suma usual y donde h(n) = el entero más grande x. 6. Pruebe que un automorfismo queda totalmente determinado por su definición en el generador del grupo, si este es cíclico. 7. Muestre que h x : G G, definido por f(g) = g 1 para cada g G, es un automorfismo si y solo si G es abeliano. 8. Si A es un grupo abeliano de orden n y h un homomorfismo de A en A definido por h(a) = a k, donde k es un entero, muestre que: (a) h es un homomorfismo. (b) h es un isomorfismo si m.c.d(n,k) = 1. R: Recuerde que existen c, d Z tal que a 1 = a nc+kd. Esto ayudara a mostrar que h es sobreyectivo y por lo tanto inyectivo.

20 20 9. Sea G el grupo de polinomios de grado n con coeficientes en IR si h : G G, definido por n n n 1 h( a i x i ) = ( a i x i ) = ( ia i x i ) i=1 i=1 i=1 a) Determine si h es o no un homomorfismo. b) Determine si inyectivo. Si es sobreyectivo. 10. Si G = IR 3, y G = IR 2, con la suma como aperación para ambos para h : IR 3 IR 2, se define por f(a, b, c) = (a, b) determine si f es o no un homomorfismo. Determine su núcleo. 11. Sea h : (IR, +) GL(2, IR) definido por ( cos(x) sin(x) h(x) = sin(x) cos(x) ). Muestre que h es un homomorfismo sobreyectivo. 12. Cúal de los siguientes grupos son isomorfos entre si? ( Z, +), (2 Z, +), ( Z 20, +), (Ql +, +), (Ql +, ), ( Z 8, +), D 4, GL(2, IR). R: Resulta que D 4 y GL(2, IR) no son isomorfos a ninguno de los otros grupos, pues todos los otros grupos son abelianos mientras que estos dos no lo son. Por otro lado los grupos Z 20, Z 8, D 4 y GL(2, IR) son isomorfos solo a ellos mismos, mientras Z y 2 Z son isomorfos ya que puede, definirse h : Z 2 Z por medio de h(n) = 2n. Por otro lado x 2 = 2 en (Ql +, ) y h(2) = 2x muestran que (Ql +, ) y (Ql, +) no son isomorfos entre si. Dado que ninguno de los grupos anteriores es cíclico entonces estos no pueden ser isomorfos a ( Z, +). 13. Sea G un grupo. a) Si es un homomorfismo tal que h(0, 1) = k, encuéntrese h(m, n). b) Sean l, q G y sea g : Z Z G definida por g(m, n) = l m q n. Dése un condición necesaria y suficiente para que g un isomorfismo. Prúebese la condición. 14. Muestre que no es posible hallar un isomorfismo entre los grupos (IR, +) y (IR {0}, ).

21 0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS Muestre que la condición de ser isomorfismo entre grupos, define una relación de equivalencia sobre el conjunto de todos los grupos. 16. Muestre que los elementos G = {m + n 2 m, n Z}, es un grupo G bajo la adición. Muestre que S, = {5 k 3 l l, k Z} es un grupo S con la multiplicación. Es G isomorfo a S? R: Si son isomorfos. 17. Sea h : G G un isomorfismo del grupo G en el grupo G. Muestre que h 1 : G G, definida por h 1 (x ) = x, tal que h(x) = x para x G, es una función bien definida la cual resulta ser un isomorfismo. 18. Cúantos isomorfismos de Z 2 en Z 2 distintos pueden definirse?. La misma pregunta con Z 6, Z 8, Z, Z 17. R: 1, 2, 4, 2, Sea (G, ) un grupo. Considere la operación binaria definida sobre el conjunto G por a b = b a para cada a, b G. Muestre que (G, ) es un grupo y que este es isomorfo a (G, ). R: Considere la función h(g) = g Pruebe que el grupo S 3 y el grupo ( Z 6, +) no son isomorfos y que salvo isomorfismos no existen otros grupos de orden 6 más que estos. 21. Sea p número primo, entonces salvo isomorfismo, existe un único grupo de orden p, simplemente el grupo cíclico de orden p. 22. Sean los grupos ( Z 10, +) y ( Z 11, ) cíclicos de orden 10. Encuentre un isomorfismo: h : Z 10 Z 11 para el cual: (i) h(1) = 2, (ii) h(1) = 3. Halle tantos isomorfismos como sea posible entre estos grupos. R: i) Si; h(1) = 2, h(2) = 4, h(3) = 8, h(4) = 5, h(5) = 10, h(6) = 9, h(7) = 7, h(8) = 3, h(9) = 6, h(0) = Considere cada uno de los siguientes grupos y en cada caso describa los automorfismos posibles que se puedan construir, Cúantos hay en cada

22 22 caso?: a) ( Z, +), b) ( Z 7, +), c) El grupo cíclico de orden p, con p primo, con la operación de multiplicación y con a a como generador, d) El grupo S 3, e) El grupo cíclico con generador a y de orden n, f) De dos argumentos para mostrar que el grupo de klein K no es isomorfo a Z Complete cada una de las siguientes lista de proposiciones: a) Z 3 Z 4 tiene orden, b) El elemento (4, 2) de Z 12 Z 8 tiene orden, c) El grupo K de Klein es isomorfo a Z Z, d) El grupo Z 2 Z 4 tiene elementos de orden finito 25. Comprobar que el núcleo del homomorfismo canónico del grupo de los enteros ( Z, +) sobre Z/2 Z es 2 Z. 26. Demostrar que si G es un grupo cíclico de orden n, y si p n, entonces existe un homomorfismo de G sobre el grupo cíclico de orden p. Cúal es el núcleo de este homomorfismo?. 27. Demostrar que si h : G K es un homomorfismo y G <, entonces h(g) divide al orden de G. 28. Súpongase que G y H son dos grupos. Súpongase que G no puede ser generado por dos elementos pero que H sí. Demostrar que G y H no pueden ser isomorfos. 29. a) Cúantos homomorfismos distintos sobreyectivos hay de Z Z?, b) Cúantos homomorfismos distintos inyectivos hay de Z Z?, c) Cúantos homomorfismos distintos sobreyectivos hay de Z Z 8?, d) Cúantos homomorfismos distintos hay de Z Z 8?. e) Cúantos epimorfismos distintos hay de Z 12 Z 5?, f) Cúantos homomorfismos distintos hay de Z 12 Z 6?, g) Cúantos epimorfismos distintos hay de Z 12 Z 6?, h) Cúantos homomorfismos sobreyectivos hay de Z 12 Z 14?, i) Cúantos homomorfismos distintos hay de Z 12 Z 16?.

23 0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS a) Cúantos homomorfismos existen de Z 2 Z 2 en Z 2?, b) Cúantos homomorfismos sobreyectivos existen de Z 2 Z 2 en Z 2?, c) Cúantos homomorfismos existen de Z 2 Z 2 en Z 6?, d) Cúantos homomorfismos existen de Z 2 Z 2 en Z 2 Z 2 Z 2?, d) Cúantos homomorfismos existen de Z 2 Z 2 en Z 2 Z 2 Z 4?. 31. Diga si es verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones: ( ) Cualesquiera dos grupos con el mismo orden son isomorfos ( ) Cualesquier función biyectiva es un isomorfismo ( ) Un grupo de orden 30 puede ser isomorfo a uno de orden 72. ( ) Cada homomorfismo es un isomorfismo ( ) Cada isomorfismo es un homomorfismo ( ) La imagen de un grupo de orden 6 bajo un homomorfismo pueda tener 4 elementos ( ) La imagen de un grupo de orden 6 bajo un homomorfismo pueda tener 12 elementos ( ) Puede existir un homomorfismo de un grupo de orden 6 a uno de orden 12 ( ) Puede existir un homomorfismo de un grupo de orden 6 a uno de orden 10 ( ) Cualquiera dos grupos de orden tres son isomorfos ( ) Existe solo un grupo cíclico de orden finito salvo isomorfismo ( ) La propiedad de ser cíclico es una propiedad algebraíca. ( ) Es posible tener un homorfismo de un grupo infinito en un grupo finito. ( ) Puede ser que un grupo G cíclico no trivial sea isomorfo a uno de sus subgrupos propios. 32. Pruebe que conjunto de automorfismos de Z es isomorfo a ( Z 2, +), es decir, A( Z) = = Z Si G = g y h A(G), entonces G = h(g). 34. Si x = y = G, entonces la función h(x n ) = y n, para cada n Z es un automorfismo. Por lo tanto si G es cíclico, entonces A(G) es igual al número de generadores de G. 35. Pruebe que A( Z m ) = Z m.

24 Muestre que si G = g es cíclico de orden finito, entonces h(g n ) = g n es un automorfismo de G en G.