UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

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1 UNIVERSIDAD DON BOSCO - DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ÁLGEBRA LINEAL - GUIÓN DE CLASE - SEMANA 10 y 11 - CICLO Estudiante: Grupo: 1. Estructuras Algebraicas Un conjunto A con una o más operaciones internas (operaciones binarias) se llama Estructura Algebraica, y se denota (A,,,...). Se clasifican según las propiedades que cumpla la operación binaria, de la siguiente manera: 1.1. Semigrupo Si A es un Conjunto no Vacío y es una Operación Binaria sobre A, entonces la Estructura Algebraica (A, ) recibe el nombre de semigrupo, si la operación es cerrada y asociativa. Ejemplo. Si P es el conjunto de enteros pares positivos, entonces (P, +) y (P, ) son semigrupos Monoide Se llema monoide a una Estructura Algebraica (A, ) donde es una operación binaria cerrada, asociativa y con un elemento neutro e. Ejemplo. Las siguientes estructuras algebraicas son monoides: (R, +), (Z, ). (P (A), ), donde P (A) es el conjunto potencia de A φ y es la operación Unión de Conjuntos. Ejemplo. Si P es el conjunto de enteros pares positivos, entonces (P, +) y (P, ) no son monoides. Por qué?. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 1

2 1.3 Grupo 1.3. Grupo La estructura algebraica (G, ) recibe el nombre de Grupo si satisface las siguientes propiedades: 1. Cerradura: a, b G, a b G. 2. Asociatividad: a, b, c G, (a b) c = a (b c). 3. Existencia de elemento identidad: e G tal que a A, a e = e a = a. 4. Existencia de inversos: a G, a 1 G tal que a a 1 = a 1 a = e. Ejemplo. (Z, +) es un grupo. Cuando es la suma, el elemento neutro recibe también el nombre de elemento cero o elemento nulo. Observaciones La e. a. (A, ) es un semigrupo si es asociativa. Si además existe un elemento identidad es un monoide. Si además existe un inverso para cada elemento de A, entonces es un grupo. Otros ejemplos. 1. (Q, ) no es un grupo porque el elemento 0 Q y no posee inverso. 2. Si Q = Q {0},(Q, ) es un grupo. 3. Si I = {2a + 1, a Z}, es decir, el conjunto de los números impares, (I, +) no es un grupo, porque la suma no es una op. binaria (no cumple cerradura), es decir, ni siquiera es e. a. 4. (M 2, +) es un grupo. Definición. Un grupo (G, ) donde es una op. binaria conmutativa, se denomina grupo conmutativo o grupo abeliano. Lo de abeliano es en honor al matemático noruego Niels H. Abel ( ) que contribuyo de manera decisiva a la teoría de grupos. Propiedades de un Grupo (G, ) 1. El elemento identidad es único. 2. El inverso de cada elemento es único. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 2

3 1.4 Grupos Finitos 3. Las leyes cancelativas (por la izquierda y por la derecha) se cumplen. Es decir, si a b = b a = b = c y si b a = c a = b = c. 4. (a b) 1 = b 1 a 1 a, b G. Ejemplo: En el grupo (Z, +), (2 + 5) 1 = = 5 + ( 2) = 2 + ( 5) ya que el grupo es abeliano y (2 + 5) + ( 5 + ( 2)) = ( 5 + ( 2)) = Si a, b G, la ecuación a x = b tiene la única solución x = a 1 b. Similarmente la ecuación y a = b tiene la sol. única y = b a 1. Ejemplo. Sea el grupo (Z, +), la ecuación 5+x = 2 tiene la única solución x = a 1 b = 5+2 = El único elemento idempotente es e (e e = e). * Ver demostraciones en el Libro de Texto de Álgebra Lineal, págs Grupos Finitos Se llaman así a los grupos con un número finito de elementos. Y se llama orden de G y se denota G a la cantidad de elementos de G Tablas de Grupos Finitos Los grupos finitos pueden definirse totalmente mediante tablas, de manera que el resultado de operar los elementos a y b del grupo se coloca en la intersección de la fila de a con la columna de b, como muestra la figura: e b e. a a b. La ley de cancelación por la derecha se interpreta en la tabla de la op. como que los elementos no se repiten en ninguna de las columnas y la ley de cancelación por la izquierda como que los elementos no se repiten en ninguna de las filas de la tabla de la operación. Teniendo esto en cuenta y que el neutro siempre debe aparecer en la tabla de un grupo, se deduce que todos los grupos de dos elementos poseen una tabla de operación similar a la siguiente: Sea G = {e, a} y (G, ) un grupo: e a e e a a a e Puede observarse que este grupo es conmutativo; la prop. conmutativa se observa en la tabla de la op. viendo si la tabla es simétrica con respecto a la diagonal principal. *Todo grupo de dos elementos es abeliano. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 3

4 Ejemplo. La tabla del grupo ({ 1, 1}, ) con la multiplicación usual en R es : (Verificar que es un grupo) Notar que es un grupo abeliano. Si G posee tres elementos, G = {e, a, b}, inmediatamente podemos escribir e a b e e a b a a b b El resultado de operar a con a puede ser b o e; el resultado de operar a con b debe ser e (si fuera b, se tendría a = e); por tanto a a = b, se puede entonces completar la tabla de este grupo: e a b e e a b a a b e b b e a Obsérvese que este grupo también es abeliano. Es decir, todo grupo de tres elementos es abeliano. Ejercicio. Sea S = {1, i, 1, i} con i 2 = 1 y la multiplicación usual. Comprobar que(s, )es un grupo. Luego, construya la tabla del grupo y verifique si es abeliano. 2. Aritmética Modular 2.1. Congruencias Si m es un entero positivo, decimos que dos números enteros a, b son congruentes módulo m si existe un k Z tal que a b = km, es decir a b es divisible entre m. Equivalentemente podemos decir que a y b son congruentes módulo m si al dividir cada uno entre m dejan el mismo residuo. Usaremos la notación a b (m) para indicar que a y b son congruentes módulo m. Si no lo son, diremos que son incongruentes módulo m y escribiremos a b (m). Ejemplos 28 3 (5) ya que 28 3 = 25 = 5 5 Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 4

5 2.2 Suma y Multiplicación Modular (11) ya que = 121 = (5) ya que 28 4 = 24 no es un múltiplo de 5. El lenguaje de congruencias fue inventado por Karl F. Gauss y es usado constantemente en la vida diaria. Un reloj funciona con congruencias módulo 12, los cuentakilómetros de los coches lo hacen módulo 100,000 y los meses se representan módulo 12. La congruencia módulo m divide a Z en m clases de equivalencia que denotaremos como [0], [1], [2],..., [m 1]. Por ejemplo, en la clase de equivalencia [1] módulo m están todos los enteros que al ser divididos entre m dejan residuo 1. De igual manera se definen los elementos de las otras clases de equivalencia. Observación. Notar que al dividir un número entero entre m, el residuo se encuentra en el conjunto {0, 1, 2,..., m 1}. Ejemplo. Las clases de equivalencia en Z módulo 3 son [0], [1], [2]. Cada una de estas clases contiene los siguientes elementos: [0] = {..., 6, 3, 0, 3, 6,...} [1] = {..., 5, 2, 1, 4, 7,...} [2] = {..., 4, 1, 2, 5, 8,...} Y escribimos Z 3 = {[0], [1], [2]}. En general, Z m = {[0], [1], [2],..., [m 1]}. Ejemplo. Calcular a que clase de equivalencia pertenecen 53 y 101 en Z 13. *Al hacer obtenemos cociente 4 y residuo 1, así que 53 [1] en Z 13. *Al hacer obtenemos cociente 7 y residuo 10, así que 101 = ( 10) con un residuo negativo, pero también 101 = con un residuo positivo, así que 101 [ 10] = [3] en Z 13. Notar que 10 3 (13), por lo que [ 10] = [3] en Z 13. Además, dado a Z y m un entero positivo al hacer a m obtenemos un cociente(c) y un residuo(r), luego a = c m + r con 0 r m 1. Así que, a [r] en Z m. Que es lo mismo decir [a] = [r] en Z m Suma y Multiplicación Modular. Teorema 1. Si m es un entero positivo y [a], [b] Z m se pueden definir las operaciones de suma y multiplicación en Z m mediante [a] + [b] = [a + b] y [a] [b] = [a b]. 2. Ambas operaciones tienen las propiedades asociativa y conmutativa y se relacionan mediante la propiedad distributiva. La clase [0] es el elemento neutro para la suma y la clase [1] lo es para el producto. 3. Todo elemento [a] Z m tiene su opuesto respecto a la suma, a saber [m a], y si a es primo relativo con m, y [a] [0], entonces [a] tiene inverso multiplicativo y es único. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 5

6 2.3 Sustracción Modular Afirmación 1. De acuerdo con el teorema anterior, (Z m, +) es un grupo. Y si definimos, Z m = Z m {0}, entonces (Z m, ) es grupo sólo cuando m es primo. Ejemplo. Encontrar el opuesto de [7] en (Z 16, +), y el inverso de [8] en (Z 15, ). Según la parte 3 del teorema el opuesto de [7] es [16 7] = [9]. En efecto, [7] + [9] = [9] + [7] = [0] en Z 16. Y como 8 y 15 son primos relativos, ya que m.c.m. (8, 15) = 1, entonces [8] tiene inverso en (Z 15, ). En efecto, ya que [8] [2] = [2] [8] = [1] se tiene que [2] es la clase inversa del [8] en (Z 15, ) Sustracción Modular Sea m un entero positivo y [a], [b] Z m. Se define [a] [b] como la única [x] en Z m tal que [a] = [b] + [x]. Ejemplo. Calcular [3] [5] en Z 12. Por definición de resta, buscamos [x] tal que: [3] = [5]+[x] = [5 + x] = x = 10 ya que [5 + 10] = [15] = [3]. Por tanto, [3] [5] = [10] en Z División Modular Sea m un entero positivo y [a], [b] Z m, con [b] un elemento invertible en Z m. Se define [a] [b] = [a] [b] 1. Ejemplo. Calcular [2] [7] en Z 10. Por definición, [2] [7] = [2] [7] 1, entonces necesitamos calcular [7] 1 : Ya que [7] [3] = [3] [7] = [1] en Z 10 tenemos que [3] es la clase inversa de [7] en (Z 10, ). Así que, [2] [7] = [2] [7] 1 = [2] [3] = [2 3] = [6]. Por tanto, [2] [7] = [6] en Z 10. Ejercicio. Construir las tablas de (Z 3, +), (Z 3, ), (Z 4, +) y (Z 4, ). Verificar que son grupos abelianos (los que son grupos). Verificar por que (Z 4, ) no es grupo. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 6

7 Seguimos estudiando Estructuras Algebraicas que puedan describir sarisfactoriamente a R: 3. ANILLOS Y CAMPOS ANILLO Un conjunto A dotado de dos operaciones binarias cerradas que escribiremos + (suma) y (producto) se llama Anillo si se cumplen las siguientes propiedades: 1. (A, +) es un grupo abeliano. 2. El producto es asociativo. 3. Si se cumplen las propiedades distributivas, es decir a (b + c) = a b + a c y (b + c) a = b a + c a para cualesquiera a, b, c que pertenezcan a A. Observaciones: Como al producto no se le imponer ser conmutativo, es por ello que se especifican las dos propiedades distributivas. Si el producto es conmutativo, A se dice que es un Anillo Conmutativo. Si existe elemento identidad para el producto, diremos que A es un Anillo con Unidad. Este elemento lo simbolizaremos con 1 y es único. EJEMPLO A (Z, +, ) es un anillo conmutativo con unidad con las operaciones usuales de suma y multiplicación. (Z m, +, ) con las operaciones de suma y multiplicación módulo m es un anillo. (M n, +, ) con las operaciones de suma y multiplicación de matrices son anillos con unidad. El elemento identidad son las respectivas matrices identidad. Pero no son anillos conmutativos ya que el producto de matrices no tiene esta propiedad. El conjunto de los enteros pares, con las operaciones de suma y multiplicación es también un anillo; este anillo no tiene elemento unidad. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 7

8 REFERENCIAS EJEMPLO B También son anillos conmutativos con unidad (Q, +, ), (R, +, ) y (C, +, ); además (Q, ), (R, ) y (C, ) son grupos ( el indica que se ha extraído el elemento neutro de la suma). Es decir, el conjunto con la segunda operación puede también ser un grupo. Esto sugiere la siguiente definición: CAMPOS O CUERPOS Un Anillo Conmutativo con Unidad (A, +, ) se dice que es un Cuerpo o Campo si el conjunto A formado por todos los elementos de A excepto el neutro para la suma, es un grupo con respecto a la segunda operación. EJEMPLOS: (Q, +, ), (R, +, ) y (C, +, ) son Cuerpos o Campos. También lo es (Z m, +, ) siempre que m sea un número primo. Referencias [1] Álgebra Lineal, Cuadernos de Cátedra, Departamento de Ciencias Básicas, Universidad Don Bosco, Luis Alonso Arenivar (2012). [2] Números, Grupos y Anillos, Universidad Autónoma de Madrid, José Dorronsoro Eugenio Hernández (1996). Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 8