TEORIA DE CONJUNTOS. 2.-Subconjunto: A es subconjunto de B si todo elemento de A lo es también de B.

Transcripción

1 TEORI DE CONJUNTOS Definiciones: 1.- Conjunto: es una lista, clase o colección de objetos bien definidos, objetos que, pueden ser cualesquiera: números, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. Ejemplos: { 1, 3, 7, 10} {x x 2-3x 2= 0} { Inglaterra, Francia, Dinamarca} 2.-Subconjunto: es subconjunto de si todo elemento de lo es también de. Notación: x x El conjunto C = {1,3,5} es un subconjunto del D = {5,4,3,2,1} ya que todo elemento de C pertenece al conjunto D. 3.- Conjunto Universal: es aquel conjunto que no puede ser considerado un subconjunto de otro conjunto, excepto de si mismo. Todo conjunto se debe considerar un subconjunto del Conjunto Universal. Notación: U = {1,3,5} = {2,4,6,8} U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 5.- Conjunto Vacío: es aquel que no posee elementos y es subconjunto de cualquier otro conjunto. Notación: = { x / x x } = {x/x 2 = 4, x es impar}. es entonces un conjunto vacío. 6.-Diagrama de Venn: Los diagramas de venn permiten visualizar gráficamente las nociones conjuntistas y se representan mediante círculos inscritos en un rectángulo. Los círculos corresponden a los conjuntos dados y el rectángulo al conjunto universal. U

2 7.-Conjuntos Finitos o Infinitos: Los conjuntos serán finitos o infinitos, si sus elementos son o no factibles de contar. M= {a,e,i,o,u}, M es finito. N={1,3,5,7...}, N es infinito. 8.- Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes. Gráficamente: U = {1,3,8}, ={2,4,9}; y son conjuntos disjuntos. OPERCIONES CON CONJUNTOS 1.-Unión de conjuntos: La unión de dos conjuntos y es un conjunto cuyos elementos pertenecen a o a. Notación: = {x/x x } Gráficamente: U U U b Ejemplo ={3,4,5,8,9} ={5,7,8,9,10}

3 ={3,4,5,7,8,9,10} 2.- Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos y, es un conjuntos cuyos elementos son comunes a y. Notación: = {x / x x } Gráficamente: ) ) ) U U U ={7,8,9,10,11,12} ={5,6,9,11,13,14} ={9, 11} 3.-Complemento: El complemento de un conjunto, son todos los elementos que no están en el conjunto y que están en el universo. Notación: c = {x / x U x } c = U - Gráficamente: c U U= {1,2,3,...10} y ={ 3,4,6,7} c = {1,2,5,8,9,10}

4 4.- Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos y, es un conjunto cuyos elementos son aquellos que están en el conjunto, pero no en el conjunto. Notación: - ={x / x x } Gráficamente: U U U C = {u, v, x, y, z} D = {s, t, z, v, p, q} C - D = {x, y, u} LEYES DE LGER DE CONJUNTO 1.- sociatividad: C C) ( C = C) 2.- Conmutatividad: = 3.- Distributividad: C C) C) = ( C)

5 4.-Complemento: c U c = ( c ) c = U =, = U 5.- Ley de Morgan: ( ) c = c c ( c = c c = c OPERCIONES CON CONJUNTOS En aritmética se suma, resta y multiplica, es decir, a cada par de números x e y se le asigna un número x + y llamado suma de x e y, un número x - y llamado diferencia de x e y y un número xy llamado producto de x e y. Estas asignaciones se llaman operaciones de adición, sustracción y multiplicación de números. En este capítulo se van a definir las operaciones de unión, intersección y diferencia de conjuntos, es decir, se van a asignar o a hacer corresponder nuevos conjuntos a pares de conjuntos y. En un capítulo posterior se vera que estas operaciones entre conjuntos se comportan de manera un tanto semejante a la de las anteriores operaciones con números. UNIÓN La unión de los conjuntos y es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a o a o a ambos. Se denota la unión de y por U que se lee «unión». Ejemplo 1-1: En el diagrama de Venn de la Figura 2-1, aparece rayado, o sea el área de y el área de lo rayado Fig. 2-1 Ejemplo 1-2: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces S T = {a, b, c, d, f, g}

6 Ejemplo 1-3: Sean P el conjunto de los números reales positivos y Q el conjunto de los números reales negativos. P Q, unión de P y Q, consiste en todos los números reales exceptuado el cero. La unión y se puede definir también concisamente así: = {x x o x } Observación 2-1: Se sigue inmediatamente de la definición de la unión de dos conjuntos que y son el mismo conjunto, esto es: = Observación 2-2: y son ambos subconjuntos de es decir, que: ( ) y ( ) En algunos libros la unión de y se denota por + y se la llama suma conjuntista de y o simplemente más L INTERSECCIÓN La intersección de los conjuntos y es el conjunto de los elementos que son comunes a y, esto es, de aquellos elementos que pertenecen a y que también pertenecen a. Se denota la intersección de y por que se lee «intersección». Ejemplo 2-1: En el diagrama de Venn de la Fig. 2-2 se ha rayado, el área común a ambos conjuntos y. lo rayado Fig. 2-2 Ejemplo 2-2: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces S T = {b, d} Ejemplo 2-3: Sea V = {2, 4, 6,...}, es decir, los múltiplos de 2; y sea W = {3, 6, 9,...}, o sean los múltiplos de 3. Entonces V W = {6, 12, 18,...} La intersección de y también se puede definir concisamente así:

7 quí la coma tiene el significado de «y». = {x x, x } Observación 2-3: Se sigue inmediatamente de la definición de intersección de dos conjuntos que = Observación 2-4: Cada uno de los conjuntos y contiene al como subconjunto, es decir, ( ) y ( ) Observación 2-5: Si dos conjuntos y no tienen elementos comunes, es decir, si y son disjuntos, entonces la intersección de y es el conjunto vacío, o sea =. En algunos libros, sobre todo de probabilidades, la intersección de y se denota por y se llama producto conjuntista de y o simplemente por. DIFERENCI La diferencia de los conjuntos y es el conjunto de elementos que pertenecen a. pero no a. Se denota la diferencia de y por - que se lee «diferencia» o simplemente «menos». Ejemplo 3-1: En el diagrama de Venn de la Fig. 2-3 se ha rayado, el área no es parte de. lo rayado Fig. 2-3 Ejemplo 3-2: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Se tiene: S T = {a, c} Ejemplo 3-3: Sean R el conjunto de los números reales y Q el conjunto de los números racionales. Entonces R Q es el conjunto de los números irracionales. La diferencia de y se pueden también definir concisamente como = {x x, x } Observación 2-6: El conjunto contiene al como subconjunto, esto es: ( - )

8 Observación 2-7: Los conjuntos ( - ), y ( - ) son mutuamente, esto es decir, la intersección de dos cualesquiera es vacía. La diferencia de y se denota a veces por / o bien por. COMPLEMENTO El complemento de un conjunto es el conjunto de elementos que no pertenecen a, es decir, la diferencia del conjunto universal U y del. se denota el complemento de por ' Ejemplo 4-1: En el diagrama de Venn de la fig. 2-4 se ha rayado el complemento de, o sea el área exterior a. Se supone que el conjunto universal U es el área del rectángulo. ' lo rayado Fig. 2-4 Ejemplo 4-2: Siguiendo que el conjunto universal U sea el alfabeto, dado T = {a, b, c}, entonces T = {d, e, f,.y, z} Ejemplo 4-3: Sea E = {2, 4, 6,.}, o sea los números pares. Entonces E = {1, 3, 5,.}, que son los impares. quí se supone que el conjunto universal es el de los números naturales, 1, 2, 3,. También se puede definir el complemento de concisamente así: ' = {x x U, x } o simplemente: ' = {x x } Lo que se establece en seguida resulta directamente de la definición del complemento de un conjunto. Observación 2-8: La unión de cualquier conjunto y su complemento es el conjunto universal, o sea que ' = U Por otra parte, el conjunto y su complemento ' son disjuntos, es decir. ' = Observación 2-9: EL complemento del conjunto universal U es el conjunto vacío, y viceversa, o sea que: U' = y ' = U Observación 2-10: El complemento del complemento de un conjunto es el conjunto mismo. Más breve: (') =

9 La siguiente observación muestra cómo la diferencia de dos conjuntos podría ser definida por el complemento de un conjunto y la intersección de dos conjuntos. En efecto, se tiene la siguiente relación fundamental: Observación 2-11: La diferencia de y es igual a la intersección de y el complemento de. o sea: - = ' La demostración de la Observación 2-11 se sigue inmediatamente de las definiciones: - = [x x, x } = {x [x, x '} = ' UNIÓN PROLEMS RESUELTOS 1. En los diagramas de Venn que siguen, rayar unión, o sea : (a) (b) (c) (d) La unión de y es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a o a o a ambos. Se rayan entonces las áreas de y de como sigue: (a) (b) (c) (d) lo rayado 2. Sea = {1, 2, 3, 4}, = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a), (b) C (c) C, (d). Para formar la unión de y se reúnen todos los elementos de con todos los elementos de. De modo que = {1, 2, 3, 4, 6, 8} De igual manera. C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} C = {2, 4, 6, 8, 3, 5} = {2, 4, 6, 8}

10 Nótese que es precisamente. 3. Sean, y C los conjuntos del Problema 2. Hallar (1) ( ) C, (2) ( C). (1) Se determina primero = {1,2, 3, 4, 6, 8}. Entonces la unión de U y C es ( ) C = {1, 2, 3, 4. 6, 8,5} (2) Se determina primero C = {2, 4, 6, 8, 3, 5}. Entonces la unión de y C es ( C) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 5} Nótese que ( ) C = ( C). 4. Sean el conjunto X = (Tomás, Ricardo, Enrique}, el conjunto Y = {Tomás, Marcos, Emilio} y Z = Marcos, Emilio, Eduardo}. Hallar (a) X Y, (b) Y Z, (c) X Z. Para hallar X Y se hace la lista de los nombres de X con los nombres de Y; así Y = {Tomás, Ricardo, Enrique, Marcos, Emilio} Del mismo modo Y Z = {Tomás, Marcos, Emilio, Eduardo} X Z = {Tomás, Ricardo, Enrique. Marcos, Emilio, Eduardo} INTERSECCIÓN 5. En los diagramas de Venn del Problema 1, rayar la intersección de y, esto es, de. La intersección de y consiste en el área que es común tanto a como a. Para encontrar, se raya primero con trazos oblicuos hacia la derecha (////) y luego se raya con trazos oblicuos inclinados a la izquierda (\\\\) como se ve en la figura: (d) (a) (b) (c) Entonces es el área que tiene los dos rayados. El resultado final, que es, se raya ahora con líneas horizontales, como sigue: (a) (b) (c) (d) lo rayado Nótese que es vacía en (c) en que y son disjuntos.

11 6. Sean = {1, 2, 3, 4}, = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a), (b) C, (c) C, (d). Para formar la intersección de y se inscriben todos los elementos comunes a y ; así = (2, 4}. De igual manera, C = {3, 4}, C = {4, 6} y = {2, 4, 6, 8}. Nótese que es efectivamente. 7. Sean, y C los conjuntos del Problema 12. Hallar (a) ( ) C, (b) ( C). (a) = (2, 4). sí que la intersección de {2, 4} con C es ( ) C = {4}. (b) C = {4, 6}. La intersección de este conjunto con el es {4}, esto es, ( C) = {4}. Nótese que ( ) C = ( C). DIFERENCI 8. Sea = {1, 2, 3, 4}, = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) ( - ), (b) (C - ), (c) ( - C), (d) ( - ), (e) ( - ). (a) El conjunto - consiste en los elementos de que no están en. Como = {l, 2, 3, 4} y 2, 4, entonces - = {1, 3}. (b) Los únicos elementos de C que no están en son 5 y 6; por tanto, C - = {5, 6}. (c) - C = {2, 8}. (d) = {6, 8}. (e) = 9. En los diagramas de Venn del problema 1, rayar menos, o sea. Solución. En cada caso el conjunto consiste en los elementos de que no están en, es decir, el área en que no está en. (a) (b) (c) (d) - lo rayado

12 COMPLEMENTO 10. Sean U = {1, 2, 3,..., 8, 9}, = {1, 2, 3, 4}. = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) ', (b) ', (c) ( C) ', (d) ( ) ', (e) (')v, (f) ( - C)'. (a) El conjunto ' consiste en los elementos que están en U pero no en. Por tanto, ' = {5. 6, 7, 8,}. (b) El conjunto de los elementos de U que no están en es '= {1,3, 5, 7, 9} (c) ( C) = {3, 4} y entonces ( C)' = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9). (d) ( ) = {1, 2, 3, 4, 6, 8} y entonces ( )' = {5, 7, 9}. (e) ' = {5, 6, 7, 8, 9} y entonces (')' = {1,2, 3, 4}, es decir, (')' =. (f) ( - C') = {2, 8} y entonces ( C)' = {1. 3, 4, 5, 6, 7, 9}. 11. En el diagrama de Venn siguiente, rayar (a) ', (b) ( )', (c) ( )', (d) ' ' (a) Como ', complemento de, consta de los elementos que no están en, se raya el área exterior a. ' lo rayado (b) Primero se raya el área : luego, ( )' es el área exterior a ( ). U lo rayado ( )' lo rayado (c) Primero se raya - ; y así ( - )' es el área exterior a

13 - lo rayado ( - )' lo rayado (d) Primero se raya ', el área exterior a, con trazos oblicuos inclinados a la derecha (////) y se raya ' con trazos oblicuos inclinados a la izquierda (\\\\), entonces resulta ser el área con doble rayado. ' y ' con doble rayado ' ' lo rayado Nótese que el área de ( U )' es la misma que la de ' '.