Probabilidad y Estadística

Transcripción

1 Probabilidad y Estadística

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3 Sondeo Que tanto han visto sobre temas relacionados con probablidad y estadística? Por ejemplo: combinaciones, permutaciones, teorema del binomio, teoría de conjuntos?

4 Probabilidad Conceptos como probabilidad, azar, aleatorio son tan viejos como la misma civilización. Y es que a diario utilizamos el concepto de probabilidad: Quizá llueva mañana Probablemente llegaremos tarde Seguramente tendré notable en Métodos Matemáticos para la Física... Pero, qué es la probabilidad?

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6 Diferentes interpretaciones de la probabilidad... Interpretación clásica de probabilidad: esta interpretación está basada en la idea de eventos igualmente posibles (probables). Ejemplo. Si existen n posibles resultados, todos ellos con la misma posibilidad de que ocurran, entonces la probabilidad de cada evento es 1/n Pero, el concepto de igualmente probable está basado en el concepto de probabilidad que queremos definir! Qué hacemos cuando los eventos no son igualemente probables?

7 Diferentes interpretaciones de la probabilidad... Probabilidad como frecuencia de sucesos: Aquí la probabilidad se obtiene a través de la frecuencia relativa, si el proceso se repitiera muchas veces bajo las mismas condiciones. Pero, cuánto es mucho? Qué significa condiciones similares?

8 Diferentes interpretaciones de la probabilidad... Interpretación subjetiva de la probabilidad: Esta es la probabilidad que una persona asigna a los posibles eventos de una situación. El juicio para la asignación de probabilidades está basada en creencias o información del individuo. Obviamente, aquí la probabilidad cambia de persona a persona.

9 Teoría de Probabilidades Aquí veremos una teoría de probabilidades sin considerar las controversias respecto a la interpretación de lo que es una probabilidad. Por supuesto, la teoría que veremos es formalmente correcta y podrá utilizarse para la asignación de valores de probabilidad en problemas reales. En resumen: La teoría de probabilidades nos dará una forma de cuantificar que tan probable es que ocurra un evento en un experimento

10 Comentario: La teoría de probabilidades es toda una área de las matemáticas

11 Conceptos preliminares Un experimento es cualquier proceso, real o hipotético, cuyo posible resultado puede identificarse de antemano. Un evento es un conjunto bien definido de los posibles resultados de un experimento.

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13 Conceptos preliminares Espacio muestral: es la colección de todos los posibles resultados de un experimento. Usualmente, denotaremos por S al espacio muestral. Un posible resultado x de S se dice que es un miembro del espacio muestral y se denota como

14 Conceptos preliminares Cuando se realiza un experimento y se dice que un evento ha ocurrido, significa que el resultado del experimento satisface las condiciones que especifican a ese evento. Cada evento puede considerarse como un subconjunto del espacio muestral

15 Ejemplo: Conceptos preliminares Experimento: lanzamiento de un dado de seis caras Espacio muestral S : Sea A el evento de obtener un número par:

16 Conceptos preliminares Sea B el evento de obtener un número mayor o igual que 2 Vemos que los elementos de conjunto A también están en B

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18 Teoría de conjuntos Se dice que un evento A está contenido en otro evento B, si cada resultado que pertece al subconjunto que define a A, también pertenece al subconjunto que define B : o bien

19 Teoría de conjuntos Si dos eventos A y B son tales que y Entonces A y B tienen los mismos elementos, es decir,

20 Teoría de conjuntos (Transitividad) Si A, B y C son tres eventos tales que y se sigue entonces que:

21 Conjunto vacío: Teoría de conjuntos Algunos eventos son imposibles de obtener. Por ejemplo, obtener un número negativo al lanzar un dado. Es decir, el evento está definido por un subconjunto de S sin resultados. A este subconjunto de S se le llama conjunto vacío y se denota por: Para un evento arbitrario A es lógicamente correcto decir que cada elemento del pertenece a A :

22 Teoría de conjuntos Conjuntos finitos e infinitos El número de elementos de un conjunto puede ser finito o infinitos Un conjunto infinito puede ser a su vez contable o Un incontable conjunto es contable si hay una correspondencia uno a uno de sus elementos con los números naturales {1,2,3,...}. Un conjunto es incontable si no es finito ni contable

23 Diagramas de Venn Una representación gráfica de los resultados de un experimento son los diagramas de Venn

24 Diagramas de Venn

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26 Diagramas de Venn Regiones: i) Resultados que pertenecen al evento A, pero no al evento B ii) Resultados que pertenecen al evento B, pero no al evento A iii) Resultados que pertenecen a ambos eventos A y B iv) Resultados que no pertenecen ni a A ni a B

27 Teoría de conjuntos Algunas operaciones elementales entre conjuntos: Si A y B son dos eventos cualesquiera, la intersección de A y B esta definida por los resultados que pertenecen a ambos conjuntos, A y B. La unión de dos eventos A y B está definida por el conjunto de resultados que pertenecen a A, o a B, o a ambos A y B.

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29 Teoría de conjuntos Algunas relaciones entre las operaciones de unión e intersección: Conmutatividad Asociatividad Distributividad Idempotencia

30 Teoría de conjuntos Leyes de Morgan:

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32 Teoría de Probabilidades

33 Teoría de Probabilidades

34 Teoría de Probabilidades Queremos asignar un valor/número Pr(A) a cada evento de A en un espacio muestral S. Pr(A) indicará la probabilidad de que ese evento ocurra.

35 Teoría de probabilidades Axioma 1. Para cada A en un espacio muestral S, Axioma 2. Para un espacio espacio muestral S Axioma 3. Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes Para una serie infinita de eventos disjuntos asumimos que

36 Teoría de Probabilidades Definición matemática de probabilidad: Una probabilidad en un espacio muestral S es una especificación de números Pr(A) que satisfacen los axiomas 1, 2 y 3

37 Teoría de Probabilidades Algunos teoremas: 1) 2) Para cada serie finita de eventos disjuntos 3) Para cada evento A

38 Teoría de probabilidades 4) Si entonces 5) Para cada evento A 6) Para dos eventos A y B

39 Teoría de probabilidades Ejemplo: Un paciente visita al médico por un dolor de garganta y fiebre. Después de examinar al paciente, el médico piensa que el paciente sufre o una infección bacteriana, o una de tipo viral. El doctor decide que hay una probabilidad de 0.7 que el paciente tenga una infección bacteriana y una probabilidad de 0.4 que la persona tenga una infección viral. Cuál es la probabilidad de que el paciente tenga ambos tipos de infección?

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41 Teoría de probabilidades (espacio muestral simple) Un espacio muestral simple si la probablidad asignada a cada posible resultado es 1/n se le llama Si un evento A en este espacio contiene m resultados, entonces