Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 1: Introducción y Concepto

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1 Estadística Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 1: Introducción y Concepto Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Octubre 2010 Contenidos Definición de Probabilidad 3 Experimento Aleatorio Suceso Definición Clásica Definición Frecuentista Definición Subjetiva Axiomas y Propiedades Probabilidad Condicionada 10 Probabilidad Condicionada Regla del Producto Problema I Teorema de la Probabilidad Total Problema II Teorema de Bayes

2 Contenidos Definición de Probabilidad Experimento Aleatorio, Definición Clásica, Definición Frecuentista, Definición Subjetiva. Probabilidad Condicionada. Teorema de la Probabilidad Total. Teorema de Bayes. En un Experimento Aleatorio, las condiciones experimentales determinan el comportamiento probabiĺıstico de los resultados observables. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 1 2 / 16 Definición de Probabilidad 3 / 16 Experimento Aleatorio En la naturaleza, podemos distinguir entre dos tipos de Experimentos: Experimento Determinístico: El resultado se encuentra predeterminado por las condiciones en las que se verifica el experimento. Experimento Aleatorio: El resultado no se puede predecir con certeza. Para cada experimento, E que realicemos se define el espacio muestral, S,como el conjunto de todos los posibles resultados de E. Ejemplo: El lanzamiento de un dado, S = {1,2,3,4,5,6} Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 1 4 / 16 2

3 Suceso Un suceso A es un conjunto de resultados posibles de un experimento E. A S Cada resultado recogido en el espacio muestral es un suceso elemental. Si se toman varios resultados del espacio muestral, formamos un suceso compuesto. Diremos que dos sucesos A y B son excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente. A B = Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 1 5 / 16 Definición Clásica Dado un espacio muestral S, con n sucesos elementales y excluyentes, la probabilidad de un suceso A se define como la relación entre los casos favorables y los casos posibles: P(A) = Casos Favorables Casos Posibles = n A n. Siendo n A el número de resultados que constituyen A. 0 P(A) 1 P(S) = 1 P( ) = 0 Si A y B son excluyentes, P(A B) = P(A) + P(B) Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 1 6 / 16 3

4 Definición Frecuentista Esta interpretación se aplica a sucesos que se pueden repetir indefinidamente y bajo las mismas condiciones. Dado el experimento E y el suceso A, llamaremos probabilidad de A, P(A), al ĺımite de la frecuencia relativa f A cuando el número de veces que repetimos el experimento, n, tiende a infinito: n A P(A) = lim n n = lim f A. n En este caso n es el número de veces que se repite el experimento bajo las mismas condiciones. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 1 7 / 16 Definición Subjetiva Medida del grado de creencia que se tiene acerca de un suceso de interés. Se puede aplicar en cualquier situación en la que exista una opinión. Al recibir nueva información, las probabilidades establecidas, cambian. Podemos definir la probabilidad de un suceso, como la medida del grado de creencia que tiene una persona en un momento preciso acerca de la ocurrencia de un suceso. Requiere de un calibrado. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 1 8 / 16 4

5 Axiomas y Propiedades Axiomas: P(A) 0 P(S) = 1 P(A 1 A 2...) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +..., siendo A 1, A 2,... excluyentes dos a dos. Propiedades: P(A c ) = 1 P(A) P( ) = 0 P(A B) = P(A)+ P(B) P(A B) P(A) P(B), para A B P(A B) P(A B) P(B A) = P(B) P(A), para A B Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 1 9 / 16 Probabilidad Condicionada 10 / 16 Probabilidad Condicionada Supongamos que estamos interesados en el suceso A, cuya probabilidad de ocurrencia definimos como P(A), y nos informan de la ocurrencia del suceso B. Cambian nuestras creencias acerca de la ocurrencia del suceso A. Son A y B independientes? Siendo B un suceso tal que P(B) > 0, para cualquier otro suceso A denominaremos Probabilidad Condicionada de A respecto de B: P(A B) = P(A B) P(B) = n AyB n B Diremos que los sucesos A y B son independientes si y sólo si: P(A B) = P(A) P(B) Es decir, el conocimiento de la ocurrencia de B no afecta para nada al grado de creencia acerca de la ocurrencia de A: P(A B) = P(A) Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 1 11 / 16 5

6 Regla del Producto Si A 1, A 2,...,A k son un conjunto de sucesos tales que, P(A 1 A 2 A k ) > 0, entonces, P(A 1 A 2 A k ) = P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A 3 A 1 A 2 )......P(A k A 1 A 2 A k 1 ) Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 1 12 / 16 Problema I Supongamos que tres máquinas, M1, M2 y M3 fabrican piezas con una producción de 300, 450 y 600 piezas por hora respectivamente. Sabemos que los porcentajes de piezas defectuosas que fabrica cada máquina son el 2%, 3.5% y el 2.5% respectivamente. Las piezas fabricadas se almacenan de forma conjunta en el mismo almacén. Cuál es la probabilidad de elegir al azar una pieza defectuosa? P(D) Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 1 13 / 16 6

7 Teorema de la Probabilidad Total Si A 1, A 2,...,A k son un conjunto de sucesos exhaustivo, k A i = S, i=1 y mutuamente excluyente, entonces B S: A i A j = i j, k P(B) = P(B A i ) P(A i ) i=1 Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 1 14 / 16 Problema II Una empresa desarrolladora de antivirus nos proporciona la siguiente información para juzgar las ventajas de su producto estrella: Si un ordenador está infectado, I, lo cual ocurre según ellos en un 1% de las ocasiones, el test antivirus será positivo (infección), T +, en el 99% de las ocasiones. Si un ordenador no está infectado, I c, lo cual ocurre en un 99% de las ocasiones, el test del antivirus será positivo (infección), T +, en el 5% de las ocasiones. Son estos valores adecuados? Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 1 15 / 16 7

8 Teorema de Bayes Si A 1, A 2,...,A k son un conjunto exhaustivo y mutuamente excluyente de sucesos. Sea B un suceso del que conocemos las probabilidades: Entonces se verifica j = 1,...,n: P(B A i ), i = 1,...,n P(A j B) = P(B A j) P(A j ) k i=1 P(B A i) P(A i ) Probabilidades a priori : P(A i ) Probabilidades a posteriori : P(A i B) Verosimilitudes: P(B A i ) Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 1 16 / 16 8