UNIDAD III. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. Tema. Probabilidad

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1 UNIDAD III. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Tema. Probabilidad

2 PROBABILIDAD INTRODUCCIÓN Sin tomar en cuenta la carrera o profesión que se vaya a elegir, algo es seguro: en algún momento se han de tomar decisiones. Con mucha frecuencia tendrá que hacerse sin conocer todas las consecuencias que tendrá tales decisiones. Por ejemplo, los empresarios al decidir comercializar un producto enfrentan la incertidumbre sobre si tendrá éxito. En la mayoría de los casos se han de tomar decisiones sin tener toda la información pertinente. El esfuerzo por reducir el nivel de incertidumbre en el proceso de tomar una decisión incrementará enormemente la probabilidad de que se tomen decisiones más inteligentes y mejor informadas. El propósito de que este apartado es ejemplificar las formas en las cuales puede medirse la posibilidad o probabilidad de ocurrencia de eventos futuros. Al mejorar la habilidad para juzgar la ocurrencia de eventos futuros, se puede minimizar el riesgo y la especulación en el proceso de toma de decisiones. EXPERIMENTOS Y RESULTADOS La probabilidad es la posibilidad numérica de ocurrencia de un evento. La probabilidad de un evento es medida por valores entre 0 y 1 (no puede ser menor a 0 ni mayor a 1). Entre mayor sea la probabilidad de que ocurra un evento, su probabilidad asignada estará más cerca a 1. La probabilidad de que con seguridad ocurra un evento es 1. La probabilidad de una imposibilidad es 0. Esto es: Por tanto la probabilidad de cualquier evento E i es La probabilidad de que un ser humano viva no más de cien años es muy alta (cercana a 1). La probabilidad que se apruebe este curso sin estudiar, estando en el otro extremo es cercana a 0. El proceso que produce un evento es denominado experimento. Un experimento es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único y bien definido. Lanzar un dado es un experimento. Un resultado bien definido seria un número del 1 al 6. Un experimento puede consistir en revisar un producto para determinar si cumple con ciertas especificaciones de fabricación. El resultado puede ser o (1) defectuoso o (2) no defectuoso.

3 EVENTOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS A. Eventos deterministas. Experimentos cuyos resultados pueden ser anticipados con toda certeza. B. Eventos aleatorios. Experimentos con los que no es posible adelantar el resultado con completa seguridad. Los eventos aleatorios son el objeto de estudio de la probabilidad. EJEMPLO: Un evento determinista puede ser si el día de hoy es miércoles entonces, se puede anticipar con toda seguridad que el día de mañana será Jueves. Un evento aleatorio seria si hoy compro un boleto de loteria no puedo saber con seguridad si me sacaré el premio mayor. ESPACIO MUESTRAL DE DIVERSOS EVENTOS El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados para un experimento. Por ejemplo el espacio muestral (SS) para lanzar un dado es Mientras que el espacio muestral para el experimento de lanzar una moneda al aire es: SS = {Aguila, Sol} La probabilidad de que al menos uno de los eventos que están dentro del espacio muestral ocurra es igual a 1. Si se lanza un dado, el resultado debe ser un número entre 1 y 6. Debido a que esto es una certeza puede decirse que PROBABILIDAD CLASICA DE EVENTO ALEATORIO La probabilidad puede ser escrita de tres maneras diferentes: como un número racional, como un número decimal o como un porcentaje. La probabilidad bajo el enfoque clásico se calcula como:

4 Ejemplo: Determinar la probabilidad de que al tirar un dado, aparezca el número 3. Existen 6 posibles resultados al tirar el dado que son 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Entre los cuales hay solo 1 que nos interesa, en este caso el 4. Por lo tanto, Otro ejemplo sería determinar la probabilidad de obtener un sol en un lanzamiento de una moneda, sin conocer a fondo la probabilidad clásica se puede estar consciente de que la probabilidad es la mitad. Esto es: La probabilidad clásica implica la determinación de la probabilidad de algún evento a priori (antes del hecho). Por tanto, antes de sacar una carta de una baraja de 52 cartas se puede determinar que la probabilidad de sacar un as es: PROBABILIDAD DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES E INDEPENDIENTES Eventos mutuamente excluyentes Dos o más eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de cualquiera de ellos prohibe la ocurrencia de los otros. Un ejemplo de eventos mutuamente excluyentes es el de sacar un sol o un aguila al lanzar una moneda una vez. Si se obtiene sol, no puede salir un aguila. Otro ejemplo es seleccionar una unidad de producción y encontrarla defectuosa o no defectuosa son eventos mutuamente excluyentes. Sacar una carta de una baraja bien sea una reina o un as también son eventos mutuamente excluyentes. Sin embargo, obtener una reina y un corazón no lo son, debido a que ambos se presentarían si se sacara la reina de corazones. De modo que si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces:

5 Los eventos colectivamente exhaustivos constan de todos los posibles resultados de un experimento y constituyen todo su espacio espacio muestral. Los eventos colectivamente exhaustivos de lanzar un dado son 1, 2, 3, 4, 5, y 6. También, debido a que existe la certeza de que uno de estos eventos ocurrirá, su probabilidad combinada será igual a 1: Ejemplo: Si tenemos 500 empleados de una compañía, de los cuales 170 están clasificados como personal administrativo, 290 como trabajadores de línea, y los 40 restantes son empleados auxiliares. Los eventos colectivamente exhaustivos son administrativo (D), de línea (L) y auxiliares (A). Si un empleado se selecciona al azar entonces: Debido a que hay certeza de que el empleado seleccionado este en una de las tres categorías colectivamente exhaustivas, se tiene Eventos independientes Son eventos en que la ocurrencia o no de un evento no tiene nada que ver con la ocurrencia del otro. En caso contrario se llaman eventos dependientes. La ley de la multiplicación para que dos eventos ocurran conjuntamente: 1. Si los eventos son independientes se calcula multiplicando la probabilidad del primer evento por la probabilidad del segundo evento:

6 2. Si dos eventos A y B son dependientes, entonces la probabilidad de que ocurran los dos eventos es igual al producto de la probabilidad de A por la probabilidad de B después de ocurrir A: Ejemplos: 1. El resultado del lanzamiento de una moneda y el de un dado. El resultado del lanzamiento de la moneda no afecta al del dado. Dos lanzamientos de una moneda también son eventos independientes. Veamos ahora que sucede si sacamos dos cartas de una baraja, Serán eventos independientes?. Sea el primer evento sacar una reina (Q) y el segundo evento sacar un as (A). De acuerdo al enfoque clásico, la probabilidad de sacar una reina en el primer intento es La probabilidad de sacar un as en el segundo intento dependede si la primera carta fue reemplazada antes de sacar la segunda. Se asume que una reina, o cualquier otra carta distinta a un as se saca la primera vez. Esta carta se mantiene fuera de la baraja en el segundo intento, entonces la probabilidad de sacar un as es Debido a que 4 de las 51 cartas restantes son ases. Si la carta se regresa a la baraja antes del segundo intento, la probabilidad de sacar un as en el segundo intento es Cuando se saca de un conjunto finito, en este caso una baraja de cartas, dos eventos son independientes si y sólo si se realiza el reemplazo. Sin embargo, si el primer elemento no se reemplaza antes de sacar el segundo elemento, los dos eventos son dependientes. Si fueran eventos independientes (se realiza el reemplazo) la probabilidad de sacar una reina y un as es:

7 Si fueran eventos dependientes ( no se realiza el reemplazo) la probabilidad de sacar una reina y un as es: