CAPÍTULO 4 TÉCNICA PERT

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1 54 CAPÍTULO 4 TÉCNICA PERT Como ya se mencionó en capítulos anteriores, la técnica CPM considera las duraciones de las actividades como determinísticas, esto es, hay el supuesto de que se realizarán con ese tiempo o con una probabilidad mínima que no merece tomarse en cuenta. La razón de tal suposición es porque se trata de proyect75os que, para quien los programa, son muy conocidos, que existe tanta experiencia en ellos que las actividades involucradas se conocen a la perfección. Tal es el caso de las obras civiles repetitivas, Pero cuando se trata de proyectos que nunca se han realizado y que en conjunto puede decirse que es un proyecto nuevo, la adecuada es la técnica PERT porque permite establecer el tiempo de terminación parcial o total del proyecto en términos de probabilidad, con base en las duraciones estimadas de las actividades del mismo. La confiabilidad del resultado de probabilidad para alguna etapa del proyecto dependerá de la exactitud de las estimaciones de los tiempos de las actividades involucradas Cálculo de la media y la varianza. Para cada actividad se tienen tres estimaciones de tiempos definidos así: a = Tiempo optimista. Es el que se estima considerando que todo en la ejecución de la actividad irá extremadamente bien. b = Tiempo pesimista. Es aquél que se considera si se supone que todo irá muy mal. m = Tiempo más probable. El que se estima si la ejecución transcurre normalmente. Toda estimación posible de la duración de la actividad debe estar dentro de los límites de tiempos optimista y pesimista. El punto medio de los valores (a + b)/2 no necesariamente tiene que coincidir con el valor de la estimación del tiempo más probable m, este punto puede estar ubicado a la derecha o a la izquierda del punto medio. Es por esta propiedad que de manera intuitiva se justifica que la duración de la actividad puede seguir una distribución Beta con su punto unimodal en m y sus puntos extremos a y b. Simétrica Sesgada hacia la derecha Sesgada hacia la izquierda a m b a m b a m b Para la distribución Beta las siguientes fórmulas son aceptadas para el cálculo de los valores de la media D y la variancia V. D = (a + 4m + b)/6

2 Nota: Originalmente en el libro la fórmula es (a + b + 4m)/6. El cambio propuesto es para utilizar el formato que usa el paquete computacional al alimentar los datos. V = [(b a)/6] 2 Una vez que se han calculado los valores de la media para los tres tiempos, se elabora la red y esos valores D son los que se utilizan en la red para efectuar los cálculos en cada nodo como ya se vio en el capítulo 2. Si se supone que todas las variables son aleatorias y estadísticamente independientes, i se define como el tiempo de ocurrencia más temprano del evento i (nodo i ), E{ i }, el tiempo esperado en dicho nodo, es la suma de las duraciones esperada D desde el nodo de inicio hasta el nodo i y Var{ i } es la suma de las variancias de las mismas actividades. Pero en una red lo más común es que a un nodo se llegue por diferentes caminos, la simplificación que se hace es tomar la ruta que tenga el mayor valor de la suma de las duraciones esperadas, lo que conduce a: E{ i} = ESi Var{ i} = Donde ES i es el tiempo más temprano de inicio del nodo i definido en el capítulo 2 y el subíndice k denota las actividades a lo largo de la ruta de mayor duración que lleva al nodo i. La probabilidad de que el evento i satisfaga un tiempo especificado por el analista del proyecto, ST i, es: P{ i <= ST i } = P{( i - E{ i })/(V var{ i }) <= (ST i - E{ i })/ (V var{ i })} = P{z<=K i } donde z es la distribución normal estándar con media 0 y variancia 1, y V k K i = (ST i - E{ i })/ (V var{ i }) representa la desviación estándar para el tiempo ST i comparado con E{ i }. Con ese valor se entra a la tabla de distribución normal para conocer la probabilidad correspondiente al tiempo ST i que se está evaluando. Para calcular la probabilidad de término del proyecto, se refiere a los tiempos del nodo final y se toman diversos valores a criterio del analista. Sin embargo, se pueden estimar las probabilidades de terminaciones parciales a lo largo de la red en cualquier nodo intermedio y es útil tomar como tiempo ST i el valor de LCj Cálculo de probabilidades para tiempos dados. Se puede obtener el valor de la probabilidad para un cierto tiempo, ya sea en el nodo final o en cualquier nodo intermedio. Cuando se trata del nodo final, el cálculo de la probabilidad se refiere a la terminación del proyecto y puede emplearse como una herramienta más para tomar la decisión del tiempo que se propondrá en una cotización de un proyecto. Para un nodo intermedio, la utilidad es de control interno y está limitada a tener la idea del retraso que en cierta fase del proyecto pudiera llegar a existir. Los pasos a seguir en el proceso de cálculo, son los siguientes. 1. Trazar la red del proyecto. 2. Calcular la media y la variancia para cada actividad del proyecto, con base en los tiempos optimista, más probable y pesimista que se tienen como datos.

3 56 3. Hacer los cálculos en la red y determinar el camino crítico tomando como duración de cada actividad el valor de la media calculado en el paso anterior. 4. Calcular Var{ i} = V k para el nodo que se está analizando. Si tal nodo está en el camino crítico, se toma la suma de las variancias de las actividades a lo largo del camino crítico. Si el nodo no está en un camino crítico, se ven todos los caminos que desde el nodo inicial llegan al nodo que se está analizando; se obtiene la suma de las variancias de cada camino y se toma el mayor valor, para así tener un valor de probabilidad más conservador. 5. Con el valor el tiempo ST i que determina el analista o que se tiene como dato del problema y con el valor ES i que se tiene en el nodo que se está analizando, se calcula el valor de la desviación estándar K i. 6. Con el valor de K i buscar en la tabla de probabilidad para la distribución normal. En la sección 5.4 donde se resuelve el problema paso a paso se hacen observaciones para el manejo de la tabla, que también aparecen en el diagrama de flujo Cálculo de tiempos para probabilidades dadas. Cuando lo que se pretende es conocer el tiempo de terminación de un proyecto para una cierta probabilidad, utilizando las fórmulas de la sección 5.1, se observa que el proceso de cálculo es exactamente a la inversa del de la sección 5.2. Si en la sección 5.2 el proceso de cálculo termina en el valor de la probabilidad encontrado en la tabla, en esta sección el proceso inicia dentro de la tabla con el valor de la probabilidad, de ahí se obtiene el valor de la desviación estándar y con éste, el valor de ST i despejado de la fórmula de K i. Los pasos serán, entonces: 1. Con la probabilidad que se tiene como dato inicial, éste se modifíca, si es necesario, para adecuarlo a la tabla de distribución normal que se esté manejando. En la sección 5.4 se verá el manejo numérico de tal adecuación. 2. En la tabla de distribución normal se busca el valor de la desviación estándar para la probabilidad que se está manejando interpolando los valores si es necesario. 3. De la ecuación de K i se despeja ST i utilizando E{ i }, que se toma de los cálculos de la red y V var{ i } se calcula como ya se indicó en la sección anterior. Este es el valor de tiempo buscado Problema resuelto paso a paso. Ver diagrama de flujo en Apéndice. Dado el siguiente problema cuya red AOA es igual a la del problema de la sección 2.2. Los tres tiempos están ordenados de tal manera que coincidan con la fórmula de la sección 5.1. Actividad Precedencia Inmediata Tiempos Optimista Más probable Pesimista a m b A G B K C E, F, J D E G F A G H C, I, K

4 I E J K K D A - Calcular las probabilidades para los siguientes tiempos de terminación del proyecto. a) 40 b) 45 c) 50 d) 53 e) 54 f) 55 g) 56 h) 57 i) 58 j) 65 k) 70 B - Calcular los tiempos de terminación del proyecto para los siguientes probabilidades. a) 0.40 b) 0.45 c) 0.50 d) 0.55 e) 0.60 f) 0.70 g) 0.80 h) 0.90 i) 0.95 j) 1.00 C - Calcular las probabilidades de retraso del proyecto en los nodos: 4, 5 y 6. A - Cálculo de probabilidades para tiempos dados. Los pasos que se siguen para el cálculo de las probabilidades dados los tiempos, están numerados de la misma manera que la secuencia de la sección 5.2 hasta el punto 4; a partir de ahí, se especifica el tipo de cálculo: para calcular probabilidades de nodo final, tiempos de nodo final y probabilidades de nodo intermedio. 1. La red que corresponde a las relaciones de precedencia, es: PARA HACERSE EN CLASE 2. Los cálculos de la media y de la variancia para cada actividad se consignan en la tabla siguiente. Actividad a m b Media = D Varianza = V A B C D E F G H I J K 3. Los cálculos en la red con los tiempos de la media para cada actividad, son: PARA HACERSE EN CLASE

5 58 4. Como lo que se busca son la probabilidades del tiempo total del proyecto se trata del nodo 9, que es el nodo final, donde el valor del tiempo total (ES 9 ) es de 55 unidades de tiempo y el de Var{ i } se calcula sumando las variancias de las actividades G-E-*-C-H, que son las actividades reales del único camino crítico. Var{ 9 } = V var{ 9 } = Pasos 5 y 6 para los cálculos de las probabilidades para los tiempos de terminación del proyecto. a) Para 40 unidades de tiempo (valor de ST 9 ), K 9 = Este valor está redondeado a centésimas porque con esa aproximación están los valores de la desviación estándar en la tabla. La tabla que se utilizará para encontrar las probabilidades de este ejemplo, es la más común que aparece en el apéndice de los libros de estadística, y es la que muestra los valores hacia la derecha de la curva a partir de la media. También es común que los valores de la desviación estándar lleguen como máximo a En el libro consultado para hacer los cálculos de probabilidad el valor máximo de la desviación estándar es de 3.09 con valor de probabilidad de , lo que significa, grosso modo, que para una desviación estándar de 3 o mayor, el valor de la probabilidad es prácticamente la unidad. Por lo anterior, la probabilidad de que el proyecto se termine en 40 unidades de tiempo es de cero ( por computadora), porque la desviación estándar es negativa y corresponde a valores del lado izquierdo de la curva. b) Para 45 unidades de tiempo (valor de ST 9 ), c) Para 50 unidades de tiempo (valor de ST 9 ), d) Para 53 unidades de tiempo (valor de ST 9 ), e) Para 54 unidades de tiempo (valor de ST 9 ), f) Para 55 unidades de tiempo (valor de ST 9 ), g) Para 56 unidades de tiempo (valor de ST 9 ), h) Para 57 unidades de tiempo (valor de ST 9 ), i) Para 58 unidades de tiempo (valor de ST 9 ), j) Para 65 unidades de tiempo (valor de ST 9 ), k) Para 70 unidades de tiempo (valor de ST 9 ),

6 59 B - Cálculo de los tiempos de terminación del proyecto dados los valores de probabilidad. El valor buscado es ST i para el nodo 9, que se encuentra con la siguiente fórmula. ST i = K i (V var{ i }) + E{ i } Con el valor conocido de probabilidad, se entra a la tabla de distribución normal y se localiza el valor de la desviación estándar K 9 que el corresponde y así se obtiene el tiempo ST 9.= a) Para la probabilidad de 0.40, se entra a la tabla con el valor... porque como la probabilidad es menor que 0.50, está localizada del lado izquierdo de la curva. De la tabla se obtiene el valor (negativo) de la desviación estándar, K 9 = sin interpolar, yendo al valor más cercano. Teniendo todos los datos, b) Para la probabilidad de 0.45 el valor para entrar a la tabla es... cuya desviación estándar K 9 = y c) Para la probabilidad de 0.50 el valor para entrar a la tabla es..., cuya desviación estándar K 9 = y d) Para la probabilidad de 0.55 el valor para entrar a la tabla es = 0, porque ahora el valor de la probabilidad es mayor que 0.50, y éste se restará de la probabilidad dada para entrar a la tabla, y el valor de K 9 *(V var{ 9 }) se sumará a E{ 9 } cuya desviación estándar K 9 = y e) Para la probabilidad de 0.60 el valor para entrar a la tabla es..., cuya desviación estándar K 9 = y f) Para la probabilidad de 0.70 el valor para entrar a la tabla es..., cuya desviación estándar K 9 = y g) Para la probabilidad de 0.80 el valor para entrar a la tabla es..., cuya desviación estándar K 9 = y h) Para la probabilidad de 0.90 el valor para entrar a la tabla es..., cuya desviación estándar K 9 = y i) Para la probabilidad de 0.95 el valor para entrar a la tabla es..., cuya desviación estándar K 9 = y j) Para la probabilidad de 1.00 el valor para entrar a la tabla es = 0.50, cuya desviación estándar K 9 > Conclusiones: Resumiendo los cálculos para el nodo final en la siguiente tabla. Tiempo Prob. Prob. Tiempo Prob. Tiempo Prob. Tiempo

7 60 1. Al tiempo total del proyecto calculado en la red (55), siempre corresponde una probabilidad de Para tiempos menores que 55 el valor de K i es negativo y tienen una probabilidad menor que que corresponde a la mitad izquierda del área de la curva. 3. Para tiempos mayores que 55 el valor de K i es positivo y tienen una probabilidad mayor que que corresponde a la mitad derecha del área de la curva. 4..Para valores de K i < -3, la probabilidad prácticamente es cero. 5..Para valores de K i > +3, la probabilidad prácticamente es uno. 6. La probabilidad de los nodos intermedios (entre el inicial y el final) que si se encuentran en el camino crítico es siempre igual a La probabilidad de los nodos intermedios (entre el inicial y el final) que no se encuentran en el camino crítico es siempre mayor que

8 Problemas para práctica. El resultado de estos problemas está en el Apéndice. Problema 5.1 Actividad Precedencia T. optimista T. más T. pesimista Inmediata probable A F B D C B, F D E H F D G C, I H B, F I A J B, F Trace la red AOA correspondiente a esa información, haga los cálculos y determine el camino crítico. 2. Calcule las probabilidades de terminar el proyecto en los tiempos: a) unidades del tiempo total, unidades del tiempo total, unidades del tiempo total. b) 42, 45, 47, 49, 52 y 55 unidades de tiempo. 3. Calcule los tiempos de terminación del proyecto con exactitud a centésimas de unidades de tiempo, para las siguientes probabilidades: 0.20, 0.30, 0.40, 0.60, 0.80 y Problema 5.2. Actividad Precedencia Inmediata Tiempo Optimista Tiempo Más probable Tiempo Pesimista A H B C D, I, G D A, B, F E G F H G A, B, F H I B, F J B, F Trace la red AOA correspondiente a esa información, haga los cálculos y determine el camino crítico. 2. Calcule las probabilidades de terminar el proyecto en los tiempos: a) unidades del tiempo total, unidades del tiempo total, unidades del tiempo total. b) 100, 110, 120, 130, 140 y 150 unidades de tiempo. 3. Calcule los tiempos de terminación del proyecto con exactitud a centésimas de unidades de tiempo, para las siguientes probabilidades: 0.35, 0.45, 0.65, 0.75, 0.85 y 0.95.

9 62 Problema 5.3. Act. Prec. Inm. T. opt. T. más Prob. T. pes. Act. Prec. Inm. T. opt. T. más Prob. T. pes. B L J E C J, M K B, I D L J, M E D M H F P N G G E O H O P C, N I C, N Trace la red AOA correspondiente a esa información, haga los cálculos y determine el camino crítico. 2. Calcule las probabilidades de terminar el proyecto en los tiempos: a) unidades del tiempo total, unidades del tiempo total, unidades del tiempo total. b) 38, 40, 43, 46, 48 y 50 unidades de tiempo. 3. Calcule los tiempos de terminación del proyecto con exactitud a centésimas de unidades de tiempo, para las siguientes probabilidades: 0.43, 0.48, 0.53, 0.68, 0.88, y 0.93 Problema 5.4. Act. Prec. Inmd. T. opt. T. más Prob. T. pes. Act. Prec. Inmd. T. opt. T. más Prob. T. pes. A I H I B H, M, N, I E C E J D M, N K A, F E L B, K F C M J G D N I Trace la red AOA correspondiente a esa información, haga los cálculos y determine el camino crítico. 2. Calcule las probabilidades de terminar el proyecto en los tiempos: a) unidades del tiempo total, unidades del tiempo total, unidades del tiempo total. b) 35, 38, 40, 43, 46 y 50 unidades de tiempo. 3. Calcule los tiempos de terminación del proyecto con exactitud a centésimas de unidades de tiempo, para las siguientes probabilidades: 0.32, 0.46, 0.49, 0.59, 0.67, y 0.91.