PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ININ4010 Prof. DAVID GONZÁLEZ BARRETO SOLUCIÓN ASIGNACIÓN 6

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ININ4010 Prof. DAVID GONZÁLEZ BARRETO SOLUCIÓN ASIGNACIÓN 6"

Irene Quintero Gallego
hace 5 años
Vistas:

1 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ININ4 Prof. DAVID GONZÁLEZ BARRETO SOLUCIÓN ASIGNACIÓN 6. Con base en probabilidades de la distribución normal a, 2 y 3 desviaciones, determine para una variable con μ = 5 y σ =3, las probabilidades siguientes. a. P(x>5) Puesto que la desigualdad abarca la mitad del área bajo la curva, la probabilidad es.5 b. P(x<2) Dado que la distribución a 2 desviaciones estándar abarca un 95.45% de las observaciones, por fuera de esta área se tiene un 4.55% de las observaciones. Por simetría, a cada cola de la distribución le corresponde un 2.275%. Así, la probabilidad de X sea menor o igual a 2 es igual a.2275 =.97725

2 c. P(x>9 y x < 8) X=9 está ubicado a 2 desviaciones por debajo de la media. Se sabe que una cola a 2 desviaciones contiene un 2.275% de las observaciones. Entonces, el área por debajo de la media (5) es igual a = Puesto que a desviación por encima y por debajo de la media se tiene el 68.27% de las observaciones, desde la media X=8 está el 34.3% de los datos. Se concluye entonces que P(x>9 y x < 8) = = d. P(x>2 ó x < 2) Se tiene un área compuesta por una cola a desviación ( =.58655), y por cola a dos desviaciones (.2275). Por lo tanto, P(x>2 ó x < 2) = = La demanda del producto que fabrica la empresa JGB tiene una media de 25 unidades por semana, con una desviación estándar de 3 unidades semanales. Cuál deberá ser el nivel de inventario para la semana si se desea que la probabilidad de faltantes sea solo del 2%?

3 A partir de la distribución normal estándar, se determina para que valor de Z corresponde una probabilidad acumulada de.2 =.98. Se obtiene Z = Para encontrar el correspondiente valor de la variable aleatoria, se resuelve para x en la siguiente ecuación. μ Z := x σ De aquí que, x= (2.54)(3)+25 = unidades 3. De acuerdo con las especificaciones, un componente utilizado para el ensamble de ventiladores debe tener una longitud entre 5.3 y 5.7 centímetros. Las dimensiones reales de los componentes que fabrica un proveedor de esta empresa se distribuyen normalmente con media de 5.4 centímetros y un varianza de. cm 2. a) En un gráfico represente las especificaciones y la distribución de probabilidad de la longitud del componente. b) Cuál es la probabilidad de que un componente seleccionado aleatoriamente de la producción de la empresa cumpla las especificaciones? Este problema se reduce a determinar P( 5.3 x 5.7) = P(x 5.7) P(x 5.3) P(x 5.7) P(x 5.3) = =.84

4 4. Determine el valor de para el cual la siguiente función es una distribución de probabilidad en el rango. Explique qué condiciones fueron verificadas. Utilizando MathCAD, se siguen los siguientes pasos: Se define la función f( a) := a x Se evalúa su integral en el rango definido: ga ( ) 2 := f( a) dx Se calcula el valor del parámetro a, para el cual el área total bajo la curva es ( ga ( ) ) solve, a 2 Ahora se verifica que f( a) := a x sea no negativa en el rango f 2 solve, x 2 La función corta el eje horizontal cuando x=2. Gráficamente:.8.6 f x 5. A partir de la función de probabilidad obtenida en el punto 4, calcule

5 a) f 2, 2 = b) f dx =.75 2 c) 2 f dx = d) F (.5) ( Cuál es el valor de x para el cual la probabilidad acumulada es.5?) Primero se obtiene la función de distribución acumulada x F( x) f x ( x 4) := dx 2 4 La inversa de la distribución acumulada, se obtiene al despejar para x x 2 4x + 4p solve, x 2 2 p 2 p + 2 Dado que x está en el rango [,2], sólo es válida la expresión: x( p) := 2 2 p Para p=.5, x(.5) =.586 Para corroborarlo, se puede evaluar:.586 f dx =.5 2 e)

6 .7 f dx = A un taller de reparación llegan piezas aleatoriamente, a razón de 3 por día. Mediante la distribución de Poisson determine la probabilidad de que no lleguen piezas en un día. Resuelva el mismo problema empleando la distribución exponencial. Qué concluye a partir del resultado obtenido? Inicialmente, se define la función de Poisson p( λ, k) := λ k e λ k! La probabilidad de que no lleguen piezas en un día es p3 (, ) =.5 Ahora se define la función de densidad de la distribución exponencial g( λ, t) := λ e λ t La probabilidad de que no ocurran llegadas en un día, es igual a determinar la probabilidad de que la siguiente llegada ocurra cuando t >, es decir, g3t (, ) dt =.5 Mediante este ejemplo se corrobora entonces la equivalencia entre las distribuciones exponencial y Poisson 7. Clientes llegan aleatoriamente, a una tasa de 5 por hora. Cuál es la probabilidad de que un cliente llegue antes de hora? Si hace minutos llegó el último cliente, cuál es la probabilidad de que el próximo cliente llegue antes de una hora? Si hace hora llegó el último cliente, cuál es la probabilidad de que el próximo cliente llegue antes de una hora? (Nota: Para resolver este problema puede utilizar las propiedades de la distribución exponencial o la definición de la probabilidad condicional)

7 De acuerdo con la propiedad de falta de memoria de la distribución exponencial, P (t t) = P (t) Utilizando la función definida en el ejercicio 7, se puede calcular la probabilidad P (6) 6 g 5 t 6, t d =.993 Si hace minutos llegó el último cliente, la probabilidad de que el próximo cliente llegue antes de hora, se puede determinar como una probabilidad condicional, mediante su complemento a := 7 g 5 t 6, t d g 5 t 6, t d = Entonces, la probabilidad de este evento es: a =.993 Luego, se llega al mismo resultado. De igual manera, si hace hora llegó el último cliente, la probabilidad de que el próximo cliente llegue antes de hora es Durante una investigación sobre la presencia de un cierto nutriente en una variedad exótica de plantas, se recolectaron los datos que aparecen en el archivo Resultados.xlsx. Utilice un método gráfico para determinar si la cantidad del nutriente en las plantas de esta variedad, es una variable que se distribuye normalmente (no olvide incluir evidencia del resultado obtenido). Mediante Minitab se generó el diagrama de probabilidad normal, que se observa en la página siguiente.

8 Diagrama de Probabilidad Normal de la Cantidad de Nutriente Normal - 95% CI Percent Mean 4.29 StDev 3. N 356 AD P-Value < C La distribución de los puntos indica que los datos muy probablemente no provienen de una distribución normal. La mayoría de las observaciones están por fuera del intervalo de confianza del 95%. Se ensayó entonces con un diagrama de probabilidad exponencial. Diagrama de Probabilidad Normal de la Cantidad de Nutriente Exponential - 95% CI Mean 4.29 N 356 AD.58 P-Value Percent C.. La mayoría de los datos están ubicados dentro del intervalo de confianza del 95%. Por lo tanto, no se puede descartar la hipótesis de que los datos provengan de una distribución exponencial.

Documentos relacionados

1. Si se lanza una vez un dado no cargado, cuál es la probabilidad de que el resultado sea 1, dado que se obtuvo un número impar?

PROAILITY AND STATISTICS ININ4010 Prof. David González arreto 1. Si se lanza una vez un dado no cargado, cuál es la probabilidad de que el resultado sea 1, dado que se obtuvo un número impar? Si el dado