Tema 3:Introducción a las variables aleatorias PROBLEMAS PROPUESTOS. 2. La función de densidad de la variable aleatoria X viene dada por la expresión

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Esteban Espejo Lara
hace 5 años
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1 Tema :Introducción a las variables aleatorias PROBLEMAS PROPUESTOS. Puede ser la función de densidad de una variable aleatoria continua mayor que uno en algún punto? Sí. La función de densidad de la variable aleatoria X viene dada por la expresión Se pide: a) Calcular el coeficiente de variación de X. b) Calcula la moda c) Calcula la mediana a) CV= / b) moda=/ c) Mediana=.6 x x), <x< fx)=, en el resto. Dada la variable aleatoria X, cuya función de densidad es fx)= k x ), <x<, en el resto Obtener k, así como la media y la varianza de la variable Y =X. k =/; EY )= 7 8 ; VarY )=.. La función de densidad de una variable aleatoria X viene dada por: fx)= x/, ) kx x) x, ) a) Calcular el valor de k para que f sea función de densidad. b) Calcular la función de distribución de probabilidad. c) Calcular E[X] y var[x]. junio 98)

2 a) k = b) F x) = x <x x> ³ x x c) E[X] = 5 ; var[x] = 5 5. La longitud de cierta pieza se distribuye con función de densidad fx)= kx ) x) x [, ] resto Se consideran válidas las piezas cuya longitud esté comprendida entre.7 y. cm. Se pide: a) Calcular el valor de k para que sea función de densidad. b) Calcular la probabilidad de que una determinada pieza sea útil. sep. 98) a) k =. b) P útil) = Un vendedor de helados suele ganar euros en un día soleado y 5 euros en un día lluvioso. Hallar la ganancia esperada del vendedor en un día para el que se sabe que la probabilidad de que llueva es de /. Ganancia esperada=8.5 euros. 7. Se desea asegurar un coche de euros. La probabilidad de que un coche tenga un accidente en un año es de.5, en cuyo caso los daños ascienden a % del valor con probabilidad.8 6% del valor con probabilidad. % del valor con probabilidad.8 Hallar la prima anual que debe cobrar la aseguradora para que el coste esperado de la compañía sea. julio 99). Prima= 56.6 euros 8. Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas a) Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad definida entre y. Entonces X no puede tomar valores negativos b) Sea X una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores X = {,,, 6} con probabilidades según su función de probabilidad px). Entonces la esperanza matemática media poblacional) será μ =+++6)/ =.5

3 c) Sea X la variable aleatoria de arriba. Entonces la media poblacional no pueder ser un valor no entero d) Sea X la variable aleatoria de arriba. Entonces la media no podrá ser mayor que 6 e) Sea X la variable aleatoria de arriba y sean x,x,..., x n un conjunto de n datos realizaciones) procedentes de ella. Entonces la media de esos n datos será igual a EX) f) Sea X una variable aleatoria de varianza VarX) =5, yseay independiente de X ydevarianza VarY )=. Entonces VarX + Y )=.5 g) Sean X e Y las dos variables aleatorias anteriores. Entonces VarX Y )=;Var X Y )= 7;VarX Y )=8. 9. Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores x =,,,, 5 yseac una constante determinada. Cuál de las funciones siguientes puede ser función de probabilidad de X? a) px) = c x b) px) =c x +) c) px) =x d) px) =c x Sólo la b) Sea X una variable aleatoria continua definida en el intervalo [, ]. Calcula la función de densidad sabiendo que su función de distribución crece linealmente en dicho rango. Uniforme en el intervalo [, ] PROBLEMAS RESUELTOS. Una variable aleatoria X que toma valores en el intervalo [,] tiene una función de densidad fx) =a+bx, donde a y b son constantes a determinar. Se pide: a) Calcula a y b para que fx) sea una función de densidad de forma que la densidad de probabilidad en X =sea el doble que en X =. b) Calcula los cuartiles de la variable aleatoria X a) Como f) = a + b y f) = a, ycomof) = f) se tiene que Entonces se tiene que a + b =a b = a fx) =a + x) si x [, ] fx)dx = Z a + x)dx = a = a = a =. x + x

4 Por tanto fx) = + x) si x [, ] en el resto b) Sea Q el primer cuartil. Entonces se tiene que Z Q fx)dx =.5 Q x + x = Z Q Q + Q Se tiene entonces la siguiente ecuación de segundo orden: obien, cuyas soluciones son + x)dx =.5, =.5. 6 Q + Q = ) Q +8Q = ) 8 ± =.. Por lo que se tiene que Q =.. Sea ahora Q el segundo cuartil. Entonces Z Q fx)dx =.5 Q x + x = Z Q Q + Q Se tiene entonces la siguiente ecuación de segundo orden: obien cuyas soluciones son 6 Q + Q = Q +Q = ± + = + x)dx =.5, = Por lo que Q =.58. Finalmente, sea Q el tercer cuartil. Entonces Z Q fx)dx =.75 Q x + x = Z Q Q + Q Se tiene entonces la siguiente ecuación de segundo orden: 6 Q + Q = + x)dx =.75, =.75.

5 obien cuyas soluciones son por lo que Q =.8. Q +8Q 9= ± + =.8.8. Sea X una variable aleatoria definida para X y sea su función de distribución en dicho rango F x) = e x). Se pide: a) Calcula la mediana b) Calcula la función de densidad. a) La mediana x m es el valor tal que F x m )=.5. Por tanto se tiene que e xm) =.5 x m = ln.5) =.69 b) La función de densidad se obtiene derivando la función de distribución. Por tanto df x) fx) = = e x). dx. Cierta operación industrial está compuesta por dos tareas consecutivas, realizadas de forma automática por dos equipos con distinta CPU, tal y como muestra la Figura a). a) b) Llamemos T al tiempo que la CPU- tarda en ejecutar la Tarea y T al tiempo que la CPU- tarda en ejecutar la Tarea. La probabilidad de que la CPU- tarde en ejecutar la Tarea más de t segundos es P T >t)=e t/α ; siendo α una constante, α>, t >), mientras que la probabilidad de que la CPU-tardeenejecutarlaTareamásdet segundos es P T >t)=e t/β ; con β una constante que verifica β>α.estas probabilidades basadas en funciones exponenciales con exponentes negativos son muy frecuentes en procesos reales. La Figura b) muestra estas probabilidades, donde puede apreciarse que la probabilidad de que la tarea dure más de t segundos decae exponencialmente con t. Se pide: 5

6 densidad a) Calcula la función distribución de T. b) Calcula el tiempo medio que la CPU- tardará en ejecutar la tarea. c) Calcula el tiempo medio que se tardará en ejecutar la operación completa Tarea y Tarea ). a) F t) = P T >t)= e t/α.ft) =df t)/dt), donde F t) = P T >t)= e t/α. Por tanto, para t>, ft) = α e t/α. b) Las propiedades estadísticas de T son iguales a la de T, cambiando α por β. Entonces t Et) = tft)dt = β e t/β dt. Integrando por partes mediante el cambio de variables u = t, v = e t/β se tiene Et) = te t/βi c) ET + T )=ET )+ET )=α + β. Sea X una v.a. con función de densidad fx) = + e t/β dt = x ae x x> h βe t/βi = β Calcular el valor de a para que f sea una función de densidad. Calcular la función de distribución de probabilidad. sep. 97) Como R fx)dx =, entonces Z La siguiente figura muestra esta densidad fx)dx = dx + ae x dx = + ae x ) = + a = a =..7 Función de densidad x 6

7 Función de distribución: x F x) = x +) <x e x x> Función de distribución La función de densidad de una variable aleatoria X es: e kx ) si x> fx) = si x a) Calcular el valor de k para que sea una función de densidad. b) Calcular la función de distribución correspondiente. c) Calcular EX) y VarX). junio 99) a) Como R fx)dx =, entonces, e kx ) dx = k e kx ) =+ = k = k b) Función de distribución: F x) = x e x ) x> c) EX) = R xe x ) dx = xe x ) +R e x ) dx =.EX )= R x e x ) dx = x e x ) R xe x ) dx = x e x ) + xe x ) +R e x ) dx =++=5. varx) = EX ) [EX)] =5 = 5. Sea X una variable aleatoria de función de densidad fx) =ax /, definida en <x<. a) Determina el valor de a para que fx) sea función de densidad. b) Sea Y otra variable aleatoria cuya esperanza es EY )=/. Calcula la esperanza de la variable aleatoria Z = X + Y.junio 5) + 7

8 a) Debe verificarse que fx), y R fx)dx = Z " # ax / x + dx = a + yalsera> se cumple que, para todo x, fx). b) EZ) =EX)+EY ). Entonces EX) = Z x/ dx = x.5 = a.5 x / EZ) = + = / =a a = =. 8

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