Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 7: Momentos de Variables Aleatorias Grupo B

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1 Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 7: Momentos de Variables Aleatorias Grupo B Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Marzo 2010 Contenidos Definición de Momentos 3 Momentos Esperanza Matemática 5 Esperanza Matemática, Expectation Value Varianza y Desviación Típica 7 Varianza, Variance Desviación Típica Propiedades Asimetría y Apuntamiento 11 Asimetría y Apuntamiento Covarianza y Correlación Lineal 13 Covarianza, Covariance Propiedades Desigualdades de Markov y Tchebychev 16 Desigualdad de Markov Desigualdad de Tchebychev

2 Contenidos Definición de Momentos. Esperanza Matemática, Expectation Value. Varianza y Desviación Típica, Variance and Standard Deviation. Covarianza y Coeficiente de Correlación Lineal, Covariance and Correlation Coefficient. Desigualdades de Markov y Tchebychev, Markov and Tchebychev Inequalities. Podemos construir medidas características de la distribución de una Variable Aleatoria de forma equivalente a cómo se hizo en el Tema 3 para distribuciones de frecuencias. A statistical distribution is not uniquely specified by its moments, although it is by its characteristic function. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 7, M.E.I. 2 / 18 Definición de Momentos 3 / 18 Momentos La definición general de un Momento respecto del punto v y de orden r de la variable aleatoria X: i (x i v) r f(x i ) = i (x i v) r p i si X es discreta M r (v) = (x v)r f(x)dx si X es contínua Destacar la importancia de ciertos Momentos: Momentos Respecto al Origen, Raw Moment, v = 0. Momentos Centrales, Central Moment, v = µ. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 7, M.E.I. 4 / 18 2

3 Esperanza Matemática 5 / 18 Esperanza Matemática, Expectation Value La Esperanza Matemática, µ, de una variable aleatoria X es el Momento respecto al Origen de orden 1 y se conoce como media o valor esperado de X: µ = E(X) = i x i f(x i ), en el caso discreto. µ = E(X) = xf(x)dx, en el caso contínuo. Siendo f(x) la función de probabilidad o de densidad, según el caso. The Expectation Value of a function f(x) in a variable X is denoted E(X). Algunas propiedades de la Esperanza: Si a y b son constantes y X una variable aleatoria con media µ y formamos Y = ax + b entonces, E(Y ) = E(aX + b) = ae(x) + b = aµ + b. El valor esperado de la suma o diferencia de dos o más funciones de una variable aleatoria X, es la suma o diferencia de los valores esperados de las funciones: E(g(X) ± h(x)) = E(g(X)) ± E(h(X)) La esperanza del producto de dos variables aleatorias independientes, X e Y, es el producto de las esperanzas: E(XY ) = E(X) E(Y ). Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 7, M.E.I. 6 / 18 3

4 Varianza y Desviación Típica 7 / 18 Varianza, Variance La Varianza, σ 2, de una variable aleatoria X con distribución de probabilidades f(x) y media µ, es el Momento Central de orden 2: σ 2 = Var(X) = E[(X µ) 2 ] = i (x i µ) 2 f(x i ), en el caso discreto. en el caso contínuo. σ 2 = Var(X) = E[(X µ) 2 ] = (x µ) 2 f(x)dx, Siendo f(x) la función de probabilidad o de densidad. For a single variate X with known population mean µ, the population Variance σ 2, is defined as E[(X µ) 2 ]. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 7, M.E.I. 8 / 18 4

5 Desviación Típica Se denomina Desviación Típica de X, a la raíz cuadrada positiva de la varianza, σ = Var(X) = σ 2. The Standard Deviation σ of a probability distribution is defined as the square root of the variance σ 2 Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 7, M.E.I. 9 / 18 Propiedades Algunas propiedades de la Varianza: La varianza de una variable aleatoria X puede expresarse Var(X) = σ 2 = E(X 2 ) E(X) 2 = E(X 2 ) µ 2. Si a y b son constantes y X una variable aleatoria con media µ y formamos Y = ax + b entonces, Var(Y ) = Var(aX + b) = a 2 Var(X) = a 2 σ 2. Casos particulares de lo anterior son: Var(b) = 0 Var(X + b) = Var(X) Var(aX) = a 2 Var(X) Var(aX + b) = a 2 Var(X) Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 7, M.E.I. 10 / 18 5

6 Asimetría y Apuntamiento 11 / 18 Asimetría y Apuntamiento Asimetría, Skewness: γ 1 = µ 3 σ 3, siendo µ 3 el momento centrado de orden 3. Apuntamiento, Kurtosis: γ 2 = µ 4 σ 4 3, siendo µ 4 el momento centrado de orden 4. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 7, M.E.I. 12 / 18 Covarianza y Correlación Lineal 13 / 18 Covarianza, Covariance Sean X e Y dos variables aleatorias, con distribución de probabilidades conjunta f(x,y), la Covarianza entre X e Y se define del siguiente modo: Cov(X,Y ) = σ XY = E[(X µ X )(Y µ Y )]. Siendo esta expresión: Cov(XY ) = σ XY = i (x i µ X )(y j µ Y )f(x i,y j ), j en el caso discreto. Cov(XY ) = σ XY = (x µ X )(y µ Y )f(x,y)dxdy, en el caso contínuo. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 7, M.E.I. 14 / 18 6

7 Propiedades Algunas propiedades de la Covarianza: La Covarianza puede expresarse: σ XY = E(XY ) E(X) E(Y ) = E(XY ) µ X µ Y. Si X e Y son independientes, entonces σ XY = 0, ya que en ese caso E(XY ) = E(X) E(Y ). El Coeficiente de Correlación Lineal de Pearson se define como, ρ = σ XY σ X σ Y. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 7, M.E.I. 15 / 18 Desigualdades de Markov y Tchebychev 16 / 18 Desigualdad de Markov Esta desigualdad permite establecer una acotación de la probabilidad de una función no negativa de una variable aleatoria X. Sea g una función no negativa de la variable aleatoria X y t una constante positiva, se verifica que P(g(X) t) E(g(X)) t Sea D el dominio en el que g(x) t: E(g(X)) = g(x)f(x)dx g(x)f(x)dx D tf(x)dx t f(x)dx = t P(g(X) t) D Un caso interesante resulta cuando g(x) = X, suponiendo que X > 0, D P(X t) E(X) t Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 7, M.E.I. 17 / 18 7

8 Desigualdad de Tchebychev La Desigualdad de Tchebychev nos permite, conociendo la Esperanza y la Varianza de una variable aleatoria, acotar la probabilidad P( X µ < kσ). Sea X una variable aleatoria de media µ y varianza σ 2 entonces, para todo k > 0 se verifica, Sea Y = g(x) = (X E(X)) 2, P(µ kσ < X < µ + kσ) = P( X µ < kσ) 1 1 k 2. P( X µ kσ) = P(Y k 2 σ 2 ) como g(x) 0 podemos aplicar la desigualdad de Markov, Tomando el complementario, se verifica: E(Y ) k 2 σ 2 = E((X E(X))2 ) k 2 σ 2 = σ2 k 2 σ 2 = 1 k 2. P( X µ < kσ) 1 1 k 2. Como ejemplo tendríamos que si el número medio de pasos de vuelta de 100 barras roscadas de longitud 1m, es de 125 y su desviación típica es de 1 entonces el 75%, k = 2, de las barras tienen entre 123 y 127 pasos de vuelta. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 7, M.E.I. 18 / 18 8