Distribuciones unidimensionales continuas

Transcripción

1 Estadística II Universidad de Salamanca Curso 2011/2012

2 Outline 1 Distribución uniforme continua 2 Estándar 3 Distribución χ 2 de Pearson 4

3 Distribución uniforme continua Definición Es una variable continua cuyos valores se distribuyen uniformemente sobre un intervalo (a, b) X representa la elección de un punto al azar en el intervalo (a, b) X U(a, b)

4 Distribución uniforme continua Función de densidad f X (x) = { 1 b a si a < x < b, ( < a < b < ) 0 en el resto. Características E(X) = a+b 2 = Me Var(X) = (b a)2 12

5 Distribución uniforme continua Propiedades Sea X U(a, b) Y = cx + d U(c.a+d, c.b+d), c > 0 Y = cx + d U(c.b+d, c.a+d), c < 0 Sea X una variable aleatoria continua con función de distribución estrictamente creciente Y = F X (x) U(0, 1)

6 Distribución uniforme continua Example El volumen de precipitaciones estimado para el próximo año en la ciudad de León va a oscilar entre 400 y 500 litros por metro cuadrado. Calcular: 1 La función de densidad 2 La función de distribución 3 La precipitación media esperada

7 Distribución uniforme continua Example 1 2 f X (x) = { si 400 < x < 500, 0 en el resto. 0 x < 400, x 400 F X (x) = < x < 500, 1 x> E(X) = = 450

8 Estándar Definición Esta distribución es sin duda la más importante tanto en el Cálculo de Probabilidades como en la Estadística Definición X N(µ,σ)

9 Estándar Función de densidad f X (x) = 1 2πσ e 1 2 ( x µ σ )2 < x <,σ > 0 Características E(X) = µ = Me = Mo Var(X) = σ 2

10 Estándar Propiedad de la constante Sea X N(µ,σ) Y = k.x N(k.µ, k.σ) Y = X k N(µ k, σ k ) Y = ax + b N(a.µ+b, a.σ)

11 Estándar Propiedad reproductiva Sean X N(µ 1,σ 1 ) y Y N(µ 2,σ 2 ) v.a. continuas independientes X + Y N(µ 1 +µ 2, σ1 2 +σ2 2 ) X Y N(µ 1 µ 2, σ1 2 +σ2 2 ) Sea X i N(µ i,σ i ), i = 1,...,n v.a. continuas independientes n n X i N( µ i, n σi 2) i=1 i=1 i=1

12 Estándar Propiedad reproductiva Sea X i N(µ i,σ i ), i = 1,...,n v.a. continuas independientes n n Y = a i.x i + b N( a i.µ i + b, n a 2 i σ2 i ) i=1 i=1 i=1 n n Y = a i.x i b N( a i.µ i b, n a 2 i σ2 i ) i=1 i=1 i=1

13 Estándar Propiedad reproductiva Sea X i N(µ,σ), i = 1,...,n v.a. continuas independientes e igualmente distribuidas n X i N(n.µ, n.σ 2 ) i=1

14 Estándar Calculo de probabilidades Para calcular probabilidades, No se integra!! se tipifica la variable pasando a la distribución a la N(0, 1) y se busca en sus tablas X N(µ, σ 2 ) Z = X µ σ N(0, 1)

15 Outline Distribución uniforme continua Estándar 1 Distribución uniforme continua 2 Estándar 3 Distribución χ 2 de Pearson 4

16 Estándar Estándar Definición X N(0, 1) Función de densidad f X (x) = 1 2π e 1 2 x2 < x < Características E(X) = 0 = Me = Mo Var(X) = 1

17 Estándar Estándar Función de densidad simétrica, lo que supone: F X (x) = F X ( x) P[X x] = P[X x] P[X x] = P[X x] = F X (x)

18 Estándar Estándar Example P(Z 0, 45) = 0, 6736 P(Z > 1, 24) = 1 p(z 1, 24) = 1 0, 8925 = 0, 1075 P(Z 0, 72) = P(Z > 0, 72) = 1 P(Z 0, 72) = 1 0, 7642 = 0, 2358 P( 1, 76 < Z 0, 5) = P(0, 5 Z 1, 76) = P(Z 1, 76) P(z 0, 5) = 0, , 6915 = 0, 2693 P( Z 1,21) = P(Z 1,21)+P(Z 1,21) = 2.P(Z 1,21) = 2.(1 P(Z 1,21) = 2.(1 0,8869) = 0,2262

19 Estándar Estándar Example P( Z 1,21) = P( 1,21 < Z 1,21) = P(Z 1,21) P(Z 1,21) = P(Z 1,21) P(Z 1,21) = P(Z 1,21) (1 P(Z 1,21) = 2.P(Z 1,21) 1 = 0,7738 Example P[Z z α ] = 0,90 z α = z 90 = 1, 28 P[Z z α ] = 0,15 z α = z 0,85 = 1, 04 P[ Z z α ] = 0,80 z α = z 0,90 = 1, 28 P[ Z z α ] = 0,16 z α = z 0,92 = 1, 41

20 Outline Distribución uniforme continua Distribuciónχ 2 de Pearson 1 Distribución uniforme continua 2 Estándar 3 Distribución χ 2 de Pearson 4

21 Distribución χ 2 de Pearson Distribuciónχ 2 de Pearson Definición Es la suma del cuadrado de n (siendo n el grado de libertad) variables aleatorias independientes normales con distribución N(0, 1). Definición X χ 2 n

22 Distribución χ 2 de Pearson Distribuciónχ 2 de Pearson Función de densidad f X (x) = ( 1 2 ) n 2 γ( n 2 ).x n 2 1.e x 2 Características E(X) = n Var(X) = 2.n

23 Distribución χ 2 de Pearson Propiedad reproductiva Distribuciónχ 2 de Pearson Sean X 1 χ 2 n 1 y X 2 χ 2 n 2 v.a. continuas independientes X 1 + X 2 χ 2 n 1 +n 2 Sea X i χ 2 n i, i = 1,...,k v.a. continuas independientes k X i χ 2 k i=1 n i i=1 Sea X i χ 2 n, i = 1,..., k v.a. continuas independientes k X i χ 2 k.n i=1

24 Distribución χ 2 de Pearson Distribuciónχ 2 de Pearson Propiedad Sean X 1 χ 2 n 1 e Y = X 1 + X 2 χ 2 n v.a. continuas, siendo X 1 y X 2 independientes X 2 χ 2 n n 1

25 Distribución χ 2 de Pearson Distribuciónχ 2 de Pearson Aproximaciones Cuando n > 100, χ 2 n se aproxima a una N(0, 1) X 2 χ 2 n n 1

26 Outline Distribución uniforme continua Distribuciónχ 2 de Pearson 1 Distribución uniforme continua 2 Estándar 3 Distribución χ 2 de Pearson 4

27 Distribuciónχ 2 de Pearson Definición Si X 1, X 2,..., X n son v.a.i.id. con distribución N(0, 1). Entonces: X T = X 2 1,+X X n 2 n Definición T t n

28 Distribuciónχ 2 de Pearson Función de densidad Características E(T) = 0 f X (x) = γ( n+1 2 ) nπγ( n 2 ). Var(T) = n n 2 para n > 2 (1+ x 2 n ) n+1 2

29 Distribuciónχ 2 de Pearson Propiedades Tiene un perfil similar a la N(0, 1) Cuando n > 30 se aproxima a una N(0, 1)

30 Outline Distribución uniforme continua Distribuciónχ 2 de Pearson 1 Distribución uniforme continua 2 Estándar 3 Distribución χ 2 de Pearson 4

31 Distribuciónχ 2 de Pearson Definición Si X 1, X 2,..., X n1 e Y 1, Y 2,...,Y n2 son v.a.i.id. con distribución N(0, 1). Entonces: Definición U = X 2 1 +X X 2 n 1 n 1 Y 2 1 +Y Y 2 n 2 n 2 U F n1,n 2

32 Distribuciónχ 2 de Pearson Función de densidad Características E(U) = n 2 n 2 2 para n 2 > 2 f X (x) = γ( n 1+n 2 n 2 ) γ( n 1 2 )γ( n 2 2 ).n 12 n2 1.n 2 2 Var(T) = 2.n2 2 (n 1+n 2 2) n 1 (n 2 4)(n 2 2) 2 para n 2 > 4

33 Distribuciónχ 2 de Pearson Propiedades t 2 n = F 1,n Si X F n1,n 2 entonces Y = 1 X F n 2,n 1

34 Definición Es una distribución utilizada por variables relacionadas con tiempos de duración (periodo de desempleo, vida de personas, vida de piezas, etc.) o tiempos de espera Notación X E(a)

35 Función de densidad f X (x) = a.e ax x > 0, a > 0 Características E(X) = 1 a Var(X) = 1 a 2