Conceptos del contraste de hipótesis

Transcripción

1 Análisis de datos y gestión veterinaria Contraste de hipótesis Departamento de Producción Animal Facultad de Veterinaria Universidad de Córdoba Córdoba, 14 de Diciembre de 211 Conceptos del contraste de hipótesis N =???? = millones de votantes estimadores o intervalos de confianza n = 1. votantes Inferencias. Generalizaciones a partir de la muestra a la población. estadísticos 1

2 Conceptos del contraste de hipótesis Contraste de hipótesis. Verificación de la validez de una hipótesis planteada sobre una población a partir de la información muestral. N =???? = millones de votantes n = 1. votantes Verificación de la validez de la hipótesis ipótesis o conjetura Conceptos del contraste de hipótesis Un veterinario quiere saber si la esperanza de vida de los gatos es la misma que la de las gatas. 2

3 Conceptos del contraste de hipótesis Un veterinario quiere saber si la esperanza de vida de los gatos es la misma que la de las gatas. Una clínica veterinaria recibe un envío de material clínico. Sólo aceptará el envío si no hay más de un 1% de materiales defectuosos. Conceptos del contraste de hipótesis Un veterinario quiere saber si la esperanza de vida de los gatos es la misma que la de las gatas. Una clínica veterinaria recibe un envío de material clínico. Sólo aceptará el envío si no hay más de un 1% de materiales defectuosos. Una fábrica de piensos afirma que produce sacos de 5 kg. 3

4 Conceptos del contraste de hipótesis Una fábrica de piensos afirma que produce sacos de 5 kg. o: los sacos de pienso pesan 5 kg ipótesis nula: se formula la conjetura sobre el parámetro y se acepta siempre que no se produzca suficiente evidencia en contra. : θ = θ Conceptos del contraste de hipótesis Una fábrica de piensos afirma que produce sacos de 5 kg. 1: los sacos de pienso no pesan 5 kg ipótesis alternativa: se contrasta la validez de la hipótesis nula frente a su alternativa con información muestral. Se considera cierta si la nula resulta falsa. : θ θ 1 4

5 Conceptos del contraste de hipótesis ipótesis nula simple : θ = θ compuesta : θ θ ipótesis alternativa unilateral 1 : θ θ bilateral 1 : θ θ Conceptos del contraste de hipótesis Una fábrica de piensos afirma que produce sacos de 5 kg. n = 1 sacos Se rechaza : θ θ 1 Regla de decisión Se acepta : θ = θ 5

6 Conceptos del contraste de hipótesis 1 : θ θ Se rechaza Regla de decisión θ θ : = Se acepta Si o es cierta y la regla la rechaza, se comete el error Tipo I α es la probabilidad de rechazar o siendo cierta 1-α es la probabilidad de aceptar o siendo cierta Si o es falsa y la regla no la rechaza, se comete el error Tipo II β es la probabilidad de aceptar o siendo falsa 1-β es la probabilidad de rechazar o siendo falsa Conceptos del contraste de hipótesis Regla de decisión Realidad aceptar o cierta Decisión correcta p = 1 α o falsa Error Tipo II p = β rechazar Error Tipo I p = α Decisión correcta p = 1 β α = nivel de significación de la prueba 1 β = potencia de la prueba 6

7 Conceptos del contraste de hipótesis Robustez. abilidad del Potencia. abilidad para Realidad contraste Regla de decisión para no detectar señalar diferencias, cuando erróneamente diferencias, efectivamente las hay. cuando no realmente no las o cierta o falsa hay. Decisión correcta Error Tipo II aceptar p = 1 α p = β rechazar Error Tipo I p = α Decisión correcta p = 1 β α = nivel de significación de la prueba 1 β = potencia de la prueba Conceptos del contraste de hipótesis Una fábrica de piensos afirma que produce sacos de 5 kg. n = 1 sacos α =,5 Se rechaza : θ θ 1 Regla de decisión Se acepta : θ = θ 7

8 Contrastes para la media no requiere no requiere n>3 contraste d. normal conocer σ 2 basado en Z n? n<3 requiere d. normal σ 2 conocida? contraste basado en t Contrastes para la media contraste basado en Z n<3 requiere d. normal σ 2 conocida? 8

9 Contrastes para la media de una distribución normal con varianza conocida n = X1, X2,, Xn µ desconocida σ 2 conocida : µ = µ : µ > µ 1 X µ Z = σ / n Si o es cierta X µ Z = σ / n Si 1 es cierta X µ Z = σ / n Contrastes para la media de una distribución normal con varianza conocida X n = 16 = 5,38 g µ = 5 g? σ 2 =,256 5,38 5 Z = = 1,52,1/ 16 1 : µ = µ = 5 : µ > 5 puedo considerar que 1,52 es muy grande para aceptar o? 9

10 Contrastes para la media de una distribución normal con varianza conocida n = 16 = 5,38 g µ = 5 g? σ 2 =,256 X 1 : µ = µ = 5 : µ > 5,4,3 5,38 5 Z = = 1,52,1/ 16 fz(z),2, Z Contrastes para la media de una distribución normal con varianza conocida n = 16 = 5,38 g µ = 5 g? σ 2 =,256 X 1 : µ = µ = 5 : µ > 5 5,38 5 Z = = 1,52,1/ 16 puedo considerar que 1,52 es muy grande para aceptar o? Depende del riesgo a asumir. o será rechazada cuando, siendo cierta, la probabilidad de que la media muestral tome el valor observado sea menor al 5% (α=,5): P(Z>zα)=α; α =,5; Z=1,645 1

11 Contrastes para la media de una distribución normal con varianza conocida n = 16 = 5,38 g µ = 5 g? σ 2 =,256 X 1 : µ = µ = 5 : µ > 5 fz(z),4 5,38 5 Z = =,3 1,52,1/ 16,2, Z α Contrastes para la media de una distribución normal con varianza conocida n = 16 = 5,38 g µ = 5 g? σ 2 =,256 X 1 : µ = µ = 5 : µ > 5 5,38 5 Z = = 1,52,1/ 16 puedo considerar que 1,52 es muy grande para aceptar o? Depende Dado quedel 1,52 riesgo< a asumir. 1,645; Si nosehay quiere suficiente asumir un evidencia 5% depara probabilidad rechazar o de (con rechazo unade probabilidad o, si es cierta de rechazar (α=,5): o, si fuera cierta, del 5%). P(Z>zα)=α; α =,5; Z=1,645 11

12 Contrastes para la media de una distribución normal con varianza conocida n = 16 = 5,38 g µ = 5 g? σ 2 =,256 X 1 : µ = µ = 5 : µ > 5 5,38 5 Z = = 1,52,1/ 16 puedo considerar que 1,52 es muy grande para aceptar o? Si α=,1: P(Z>zα)=α; α =,1; Z=1,28 Contrastes para la media de una distribución normal con varianza conocida n = 16 = 5,38 g µ = 5 g? σ 2 =,256 X 1 : µ = µ = 5 : µ > 5 5,38 5 Z = = 1,52,1/ 16 puedo considerar que 1,52 es muy grande para aceptar o? Si Dado α=,1): que 1,52 > 1,28; hay suficiente evidencia para rechazar P(Z>zα)=α; o (con α =,1; una Z=1,28 probabilidad de rechazar o, si fuera cierta, del 1%). 12

13 Contrastes para la media de una distribución normal con varianza conocida Mientras menor sea el nivel de significación, mayor será la duda sobre su veracidad.,4 fz(z),3,2,1 α =,1 α =, Z Contrastes para la media de una distribución normal con varianza conocida n = X1, X2,, Xn µ desconocida σ 2 conocida : µ = µ : µ > µ 1 X µ Z = σ / n Rechazar o si: Z X µ = > σ / n z α P( Z > z ) = α α siendo Z una variable aleatoria normal estándar 13

14 Contrastes para la media de una distribución normal con varianza conocida n = X1, X2,, Xn µ desconocida σ 2 conocida : µ = µ : µ < µ 1 X µ Z = σ / n Rechazar o si: Z X µ = < zα σ / n P( Z > z ) = α siendo Z una variable aleatoria normal estándar α Contrastes para la media de una distribución normal con varianza conocida n = X1, X2,, Xn µ desconocida σ 2 conocida : µ = µ : µ µ 1 X µ Z = σ / n Rechazar o si: X µ X µ Z = < z o Z = > z σ / n σ / n α /2 α /2 P( Z < z ) = α / 2 P( Z > z ) = α / 2 α /2 α /2 siendo Z una variable aleatoria normal estándar 14

15 Contrastes para la media de una distribución normal con varianza conocida Valor crítico (p-value). El menor nivel de significación al cual puede rechazarse una hipótesis. Si o fuera cierta, la probabilidad de encontrar un 5,38 5 Z = = 1,52 valor igual o superior a 1,52,1/ 16 es del 6,43% z α = 1, 52; α =, 643 La hipótesis nula puede ser rechazada para todos los niveles de significación mayores que 6,43% Contrastes para la media de una distribución normal con varianza conocida Cuando una máquina de ordeño funciona bien, la presión es de 2 atm con d.t.,6 atm. Periódicamente se comprueba que funciona bien en una muestra aleatoria de 9 vacas. El último control reportó una media de 1,95 atm. Contraste que la media poblacional sigue siendo de 2 atm con un nivel de significación del 5% y halle el p-valor. 1 : µ = µ = 2 : µ 2 Rechazar si: X µ X µ Z = < z o Z = > z σ / n σ / n α /2 α /2 1,95 2 Z = = 2,5,6 / 9 z = z = 1,96 α /2,25 z = z = 1,96 α /2,25 15

16 Contrastes para la media contraste basado en Z n<3 requiere d. normal σ 2 conocida? Contrastes para la media no requiere no requiere n>3 contraste d. normal conocer σ 2 basado en Z n? n<3 requiere d. normal σ 2 conocida? 16

17 Contrastes para la media si n>3 Los mismos planteamientos desarrollados anteriormente son válidos. Teorema central del límite Si no se conoce σ 2, se usa s 2 Contrastes para la media no requiere no requiere n>3 contraste d. normal conocer σ 2 basado en Z n? n<3 requiere d. normal σ 2 conocida? contraste basado en t 17

18 Contrastes para la media de una distribución normal: varianza poblacional desconocida n = X1, X2,, Xn µ desconocida σ 2 desconocida : µ = µ : µ > µ 1 Rechazar o si: X µ S / n x > t n 1, α Pt ( > t ) = α n 1 n 1, α Donde tn-1 sigue una distribución t de Student con n-1 grados de libertad Contrastes para la media de una distribución normal: varianza poblacional desconocida n = X1, X2,, Xn µ desconocida σ 2 desconocida : µ = µ : µ < µ 1 Rechazar o si: X µ S / n x < t n 1, α Pt ( < t ) = α n 1 n 1, α Donde tn-1 sigue una distribución t de Student con n-1 grados de libertad 18

19 Contrastes para la media de una distribución normal: varianza poblacional desconocida n = X1, X2,, Xn µ desconocida σ 2 desconocida : µ = µ : µ µ 1 Rechazar o si: X µ X µ < t o > t S / n S / n x n 1, α /2 n 1, α /2 x Pt ( < t ) = α / 2 Pt ( > t ) = α / 2 n 1 n 1, α /2 n 1 n 1, α /2 Donde tn-1 sigue una distribución t de Student con n-1 grados de libertad Contrastes para la varianza de una distribución normal Se apoya de modo crucial en la distribución normal Se basa en que la variable aleatoria: χ ( n ) s x n 1 = 2 σ sigue una distribución chi-cuadrado con (n 1) grados de libertad. 19

20 Contrastes para la varianza de una distribución normal n = X1, X2,, Xn µ desconocida σ 2 desconocida : σ = σ 2 2 Si o es cierta, la variable aleatoria: ( ) 2 2 n 1 s χ x n 1 = 2 σ sigue una distribución normal con (n 1) grados de libertad P ( n 1 n 1, α) P( n 1 n 1, α) χ > χ = α χ < χ = α Contrastes para la varianza de una distribución normal Intervalo de confianza del 1(1 α)%,8 α 2 2 ( n 1) s 2,6x 2 ( n 1) sx < σ < 2 2 χn,4 1, α /2 χn 1,1 α /2 α,2 2 1 α 2 2 α 2 2 α P( χn 1> χn 2 1, α /2) = P2 ( χn 1< χn 1,1 α /2) = χ v,1 α /2 2 χ vα, /2 2 chi-cuadrado f(chi-cuadrado),1 2

21 Contrastes para la varianza de una distribución normal n = X1, X2,, Xn µ desconocida σ 2 desconocida : σ = σ 2 2 : σ σ Rechazar o si: ( n 1) s ( 1) σ n s 2 2 x 2 x 2 < χ 2 n 1,1 α /2 o > χ 2 n 1, α /2 σ P( χ < χ ) = α / 2 P( χ > χ ) = α / n 1 n 1,1 α /2 n 1 n 1,1 α /2 Donde la variable aleatoria chi-cuadrado sigue una distribución chi-cuadrado con (n-1) grados de libertad Rechazar o si: Contrastes para la proporción poblacional : p= p : p p 1 pˆ ˆ x p p p > z o < z p 1 p / n p 1 p / n x /2 α /2 α ( ) ( ) P( Z > z ) = α / 2 P( Z < z ) = α / 2 α /2 α /2 Donde la variable aleatoria Z sigue una distribución normal estándar 21

22 Contrastes para la proporción poblacional De una muestra de 82 clientes de clínicas veterinarias, 378 fueron capaces de recordar el precio del servicio un año después del mismo. Contrastar con un nivel de significación del 1% que al menos la mitad de los clientes de clínicas veterinarias son capaces de recordar el precio un año después del servicio. : p p =,5 : p<,5 1 Rechazar si: pˆ x p < zα p 1 p / n ( ), 471,5,5,5 / 82 = 1,64 z = z = 1,28 α,1 Contrastes para la diferencia entre dos medias Diferencia de medias en muestras independientes Se estudia la diferencia de medias de dos muestras independientes extraídas aleatoriamente de poblaciones normales. Diferencia de medias con datos pareados Se estudia la diferencia de medias antes y después del tratamiento en los mismos sujetos que constituyen una muestra, extraída aleatoriamente de la población normal. 22

23 Contrastes para la diferencia entre dos medias Diferencia de medias con datos pareados Se estudia la diferencia de medias antes y después del tratamiento en los mismos sujetos que constituyen una muestra, extraída aleatoriamente de la población normal. Contrastes para la diferencia entre dos medias Diferencia de medias con datos pareados : µ µ = D x y : µ µ D 1 x y Rechazar o si: d D d D < t o > t s / n s / n d n 1, α /2 n 1, α /2 d Pt ( < t ) = α / 2 Pt ( > t ) = α / 2 n 1 n 1, α /2 n 1 n 1, α /2 donde la variable aleatoria tn-1 sigue una distribución t de Student con (n 1) grados de libertad. 23

24 Contrastes para la diferencia entre dos medias Diferencia de medias en muestras independientes Se estudia la diferencia de medias de dos muestras independientes extraídas aleatoriamente de poblaciones normales. Diferencia de medias con datos pareados Se estudia la diferencia de medias antes y después del tratamiento en los mismos sujetos que constituyen una muestra, extraída aleatoriamente de la población normal. Contrastes para la diferencia entre dos medias Diferencia de medias en muestras independientes Se estudia la diferencia de medias de dos muestras independientes extraídas aleatoriamente de poblaciones normales. varianza conocida o tamaño muestral grande varianzas poblacionales son iguales 24

25 Contrastes para la diferencia entre dos medias Diferencia de medias en muestras independientes Se estudia la diferencia de medias de dos muestras independientes extraídas aleatoriamente de poblaciones normales. varianza conocida o tamaño muestral grande 3 observaciones en cada muestra son, en general, suficientes si la varianza poblacional no se conoce, se utiliza la varianza muestral Contrastes para la diferencia entre dos medias Diferencia de medias en muestras independientes con varianza conocida o tamaño muestral grande : µ µ = D : µ µ D x y 1 x y Rechazar o si: x y D < z o x y D > z σ + + n n n n 2 α /2 2 α /2 2 2 σ x y σ σ x y x y x y P( Z < zα /2) = α / 2 P( Z > zα /2) = α / 2 donde la variable aleatoria Z sigue una distribución normal estándar. 25

26 Contrastes para la diferencia entre dos medias Diferencia de medias en muestras independientes Se estudia la diferencia de medias de dos muestras independientes extraídas aleatoriamente de poblaciones normales. varianza conocida o tamaño muestral grande varianzas poblacionales son iguales Contrastes para la diferencia entre dos medias Diferencia de medias en muestras independientes con varianzas poblacionales iguales En primer lugar, contrastar la igualdad de varianzas. A continuación, estimar la varianza común. ( ) + ( ) n 1 s n 1 s 2 s = n + n x x y y x y Finalmente, contrastar la diferencia de medias. 26

27 Contrastes para la diferencia entre dos medias Diferencia de medias en muestras independientes con varianzas poblacionales iguales : µ µ = D : µ µ D x y 1 x y Rechazar o si: x y D x y D < tn o x n t y α > nx+ ny nx+ ny s s nn nn x y + 2, /2 n + n 2, α /2 x y x y Pt ( < t ) = α / 2 Pt ( > t ) = α / 2 n + n 2 n + n 2, α /2 n + n 2 n + n 2, α /2 x y x y x y x y donde la variable aleatoria tnx+ny-2 sigue una distribución t de Student con (nx+ny-2) grados de libertad. Contrastes para la diferencia entre dos medias Una muestra aleatoria de 4 perros tratados con un fármaco tuvo una media de 78, + 24,4 latidos cardíacos por minuto, mientras que otra muestra independiente de 4 perros sin tratar, tuvo una media de 63,5 + 2,2 latidos. Asumiendo igualdad de varianzas, contrastar con el 1% de significación que ambas medias son iguales frente a la alternativa que la media es mayor en el grupo con tratamiento. 1 : µ µ = x : µ µ > x y y ( ) ( ) 2 2 n x sx + ny sy 3 24, , 2 s= = = 22, 4 n + n x y 27

28 Contrastes para la diferencia entre dos medias Una muestra aleatoria de 4 perros tratados con un fármaco tuvo una media de 78, + 24,4 latidos cardíacos por minuto, mientras que otra muestra independiente de 4 perros sin tratar, tuvo una media de 63,5 + 2,2 latidos. Asumiendo igualdad de varianzas, contrastar con el 1% de significación que ambas medias son iguales frente a la alternativa que la media es mayor en el grupo con tratamiento. 1 : µ µ = x : µ µ > x y y t + 2,,1 = t6,,1 = 1, 44 nx ny x y D t nx+ ny 2, α nx+ ny s nn x y 78 63,5 > =, , 4 16 Contrastes para la diferencia entre dos proporciones 4 observaciones en cada muestra son, en general, suficientes : p = p : p p x y 1 x y Rechazar o si: pˆ ˆ ˆ ˆ x py px py < zα o > z nx+ n y nx+ n y pˆ ( 1 pˆ ) pˆ ( 1 pˆ ) nn x y nn x y /2 α /2 P( Z < z ) = α / 2 P( Z > z ) = α / 2 α /2 α /2 Donde la variable aleatoria Z sigue una distribución normal estándar 28

29 Contrastes para la igualdad de varianzas Se toman dos muestras aleatorias e independientes: nx, ny De dos poblaciones normales con varianzas: σ 2 x, σ 2 y Con varianzas muestrales: s 2 x, s 2 y s / σ F = s 2 2 x x 2 2 y / σy,8 F con (nx-1) g.l. en el numerador y (ny-1) g.l. en el denominador f(f),6,4, F Contrastes para la igualdad de varianzas : σ = σ : σ σ x y 1 x y Rechazar o si: s s 2 x 2 y > F n 1, n 1, α x y ( n 1, 1 1, 1, ) x ny Fnx ny α P F > = α Donde la variable aleatoria F sigue una distribución F con (nx 1) g.l. en el numerador y (ny 1) g.l. en el denominador 29

30 contrastes basados en el supuesto de normalidad (también válidos si se aplican en muestras grandes aunque la población no sea normal) Cómo contrastamos dos - No requieren d. normal en las poblaciones. medias si la distribución de la - Es poco sensible a valores extremos. población difiere - Requieren muestras independientes. - Requieren considerablemente distribuciones poblacionales de la similares. - Si la población normal, eso normal, n es pequeño? son menos poderosos que los paramétricos. Contraste de signos Contraste de Wilcoxon Contraste de Mann-Whitney Cómo contrastamos dos - No requieren d. normal en las poblaciones. medias si la distribución de la - Es poco sensible a valores extremos. población difiere - Requieren muestras independientes. - Requieren considerablemente distribuciones poblacionales de la similares. - Si la población normal, eso normal, n es pequeño? son menos poderosos que los paramétricos. 3

31 Contraste de signos A 8 personas elegidas aleatoriamente van a catar ambos platos y a puntuarlos de 1 a 1 B Contraste de signos A B Si se descartan los ceros, los signos pueden considerarse como una muestra aleatoria de una población con distribución binomial. Individuo Valoración Diferencia Signo Jamón A Jamón B María Pedro Alejandro Sonia Ana Raquel Andrés 7 7 José Se usa como alternativa no paramétrica a la comparación de dos medias con datos pareados 31

32 Contraste de signos : p =,5 + La regla de decisión se basa en la probabilidad de que, si o Afuese cierta, B que probabilidad habría de tener un resultado Individuo muestral como Valoración el obtenido p ˆ + =,28 Individuo Diferencia Signo Jamón A Jamón B María Pedro Alejandro Sonia Ana Raquel Andrés 7 7 José Contraste de signos : p =,5 + A f(x),3,25,2,15,1,5 B 1 α α / 2 α / 2 x : p,5 1 + p ˆ + =,

33 Contraste de signos : p =,5 + : p,5 1 + P() + P(1) + P(2) + P(5) + P(6) + P(7) =,4532 p ˆ + =,28 A f(x),3,25,2,15,1,5 B 1 α α / 2 α / x Contraste de signos : p =,5 + : p,5 1 + A f(x) P() + BP (1) + P(6) + P(7) =,125,3,25,2,15,1,5 1 α α / 2 α / 2 x p ˆ + =,

34 Contraste de signos A B Si n>2, el contraste de signos se basa en la aproximación binomial de la normal,8,6 f(x),4, x Contraste de signos Rechazar o si: : p=,5 : p,5 1 pˆ,5 ˆ x p,5 < z o > z,5,5 / n,5,5 / n x α /2 α /2 Donde la variable aleatoria Z sigue una distribución normal estándar 34

35 Contraste de signos Se usa como alternativa no paramétrica al contraste de medias con datos pareados. Sólo indica diferencias, no informa de la magnitud de la diferencia. n>2 Contraste de Wilcoxon A 8 personas elegidas aleatoriamente van a catar ambos platos y a puntuarlos de 1 a 1 B 35

36 Contraste de Wilcoxon A B Individuo Valoración Diferencia Rango(+) Signo Rango(-) Jamón A Jamón B María Pedro Alejandro ,5 Sonia ,5 Ana Raquel Andrés 7 7 José Suma Contraste de Wilcoxon A B observación Rango(+) 1,5 1,5 Rango(-) Suma Si no hay diferencias, la distribución de los rangos estará centrada en. rango 36

37 Contraste de Wilcoxon Rango(+) Rango(-) Si no hay diferencias, la suma 1,5 1,5 de rango(+) debe ser 7 A B 4 aproximadamente observación la misma 5 que la suma de rango (-), que 3 25 Suma para n=7, sería entorno a 14. Si o (no hay diferencias) es cierta, qué probabilidad habría de obtener un resultado muestral como el obtenido? rango 3 6 Contraste de Wilcoxon A B Rango(+) 1,5 1,5 Rango(-) Suma La más pequeña de las sumas de rangos es el estadístico T. En este caso, T=3; que para n=7, α =,25 37

38 Contraste de Wilcoxon A B ( + 1) n n ET ( ) = µ T = 4 2 n( n+ 1 )(2n+ 1) VarT ( ) = σt = 24 T µ T Z = σ T Si n>2, la distribución normal es una buena aproximación al estadístico T Contraste de Wilcoxon A Rechazar o si: B Si n>2, la distribución normal es una buena aproximación al estadístico T T µ T σ T < z α /2 Donde la variable aleatoria Z sigue una distribución normal estándar 38

39 Contraste de Wilcoxon Se usa como alternativa no paramétrica al contraste de medias con datos pareados. Además de los signos utiliza la magnitud, por lo que o será rechazada con un nivel de significación menor que utilizando el contraste de signos. Se compara el rendimiento quesero de 31 cabras con dos alimentos diferentes, ensilado de maíz frente a heno de alfalfa. Se calcularon los rangos y el más pequeño correspondió al heno de alfalfa (189). Contrastar la hipótesis se que ambos alimentos producen el mismo rendimiento quesero. 1 : µ µ = x : µ µ x y y ( + ) n n µ T = = = n( n+ 1 )(2n+ 1) σt = = = T µ T Z = = = 1,16 σ 51,3 T α zα /2 = 1 zα /2 = 1 = 1, 4385=,

40 Contraste de Mann-Whitney Se usa como alternativa no paramétrica al contraste de medias con muestras aleatorias independientes. nx análisis de datos = 1 alumnos ny embriología = 12 alumnos son diferentes las horas semanales de estudio de Análisis de Datos y de Embriología? Contraste de Mann-Whitney Análisis de datos Embriología rango análisis datos rango embriología , , , , , , ,5 159,5 Suma de rangos Se desarrolla de modo similar al contraste de Wilcoxon 4

41 Contraste de Mann-Whitney ( + 1) n n U = nn + R x x Análisis de datos x y Embriología x rango 2 análisis datos rango embriología , nn x y EU ( ) = 14µ U = 4, , , nn 17,5 7 2 x y( nx+ ny+ 1) 11 VarU ( 15 ) = σu = U 8 µ U 13 4,5 Z = σu 3 93,5 159,5 Suma de rangos nx>1 y ny>1 Contraste de Mann-Whitney Rechazar o si: U µ U U µ < z o > z σ U U α /2 α /2 σu Donde la variable aleatoria Z sigue una distribución normal estándar 41

42 Contraste de Mann-Whitney ( + ) nx nx U = nn x y + Rx = ,5= 81, Análisis de datos Embriología rango análisis datos rango embriología 1 nn 13 x y ,5 6 EU ( ) = µ U = 17 = = , , nn 15,5 1 2 x y( nx+ ny+ 1) VarU ( ) = σ 9 17,5 7 U = = = U µ U 81, = 8 = 1, ,5 σu ,5 159,5 Suma de rangos z α α /2 = 1, 42 =, 778 α =,