Ejercicios de Variables Aleatorias

Transcripción

1 Ejercicios de Variables Aleatorias Elisa M. Molanes-López, Depto. Estadística, UC3M Transformaciones de variables aleatorias Ejercicio. Sea X una v.a. continua con función de densidad dada por: /, si < x < f(x), en caso contrario. Considere la transformación Y X y calcule su función de densidad. La variable aleatoria X sigue un modelo uniforme continuo en el intervalo (-,). Solución: La transformación está dada por h(x) x, si < x <. En este intervalo de la recta real, esta transformación es una función derivable pero no inyectiva. Por lo tanto, no se puede utilizar la fórmula general para calcular la densidad de Y, f Y (y) f X (x(y)). Habrá que primero calcular la función de distribución de Y y a continuación derivarla para determinar su densidad. Obsérvese en primer lugar que el rango de X es R X (, ) y el rango de Y es R Y (, ). Sea y (, ) (lo cual equivale a considerar x (, )), entonces F Y (y) Pr(Y y) Pr(X y) Pr( y X y) F X ( y) F X ( y). Utilizando la regla de la cadena para derivar F Y (y) con respecto a y, se obtiene que: Se concluye que la densidad de Y es: f Y (y) df Y (y) f X ( y) y + f X( y) y y (f X( y) + f X ( y)) ( y + ) y. f Y (y) y, si < y <, en caso contrario. Ejercicio. Sea X una v.a. continua con función de densidad dada por: f(x) exp ( ) } x µ, x R. πσ σ Considere la transformación Y X µ σ y calcule su función de densidad.

2 La variable aleatoria X sigue un modelo Normal con media µ y desviación típica σ. La transformación lineal que nos permite pasar de X a Y se denomina estandarización o tipificación de X. Solución: La transformación está dada por h(x) x µ σ, si x R. Esta transformación es derivable e inyectiva, de modo que se puede utilizar la fórmula general para calcular la densidad de Y, f Y (y) f X (x(y)). Obsérvese en primer lugar que el rango de X es R X R y el rango de Y es R Y x(y) h (y) µ + σy y σ >. Sea y R (lo cual equivale a considerar x R), entonces exp ( ) πσ y σ f Y (y) f X (x(y)) π exp ( y ). R. Además, Ejercicio 3. Sea X una v.a. continua con función de densidad dada por: f(x) exp ( ) } x µ, x R. πσ σ Considere la transformación Y exp X} y calcule su función de densidad. La variable aleatoria X sigue un modelo Lognormal con parámetros µ y σ. Solución: La transformación está dada por h(x) exp x}, si x R. Esta transformación es derivable e inyectiva, de modo que se puede utilizar la fórmula general para calcular la densidad de Y, f Y (y) f X (x(y)). Obsérvese en primer lugar que el rango de X es R X R y el rango de Y es R Y (, ). Además, x(y) h (y) ln(y) y y > y (, ). Sea y (, ) (lo cual equivale a considerar x R), entonces f Y (y) f X (x(y)) exp ( ) } ln(y) µ πσ σ y exp ( ) } ln(y) µ. πσy σ Ejercicio 4. Sea X una variable aleatoria (v.a) con función de densidad dada por f X (x), si < x <, y sea Y una v.a. definida según se indica a continuación: X, si < X / Y X /, si / < X <. a) Determine la función de distribución de Y y su función de densidad. b) Cuál es la probabilidad de que Y esté entre /4 y /?

3 Solución: a) En primer lugar, nótese que el rango de Y es R Y (, /] y por lo tanto Y es una v.a. continua. La transformación que nos permite pasar de X a Y es x, si < x / h(x) x /, si / < x <. y h(x) ½ ½ x Esta función h no es derivable (por ser discontinua en el punto x /) ni inyectiva, de modo que no es posible utilizar la fórmula general para calcular la densidad de Y, f Y (y) f X (x(y)). Habrá que primero calcular la función de distribución de Y y a continuación derivarla para determinar su densidad. Sea y (, /] (lo cual es equivalente a considerar x (, )), entonces se verifica que: F Y (y) Pr(Y y) Pr( < X y},5 < X <,5 + y}) y dx +,5+y,5 dx y. Nótese que a la hora de calcular la probabilidad de < X y},5 < X <,5 + y} hemos usado el hecho de que al ser y,5, se trata de una unión de sucesos disjuntos. Entonces, la función de distribución de Y viene dada por:, si y F Y (y) y, si < y /, si y > /. Derivando F Y (y) con respecto a y, se obtiene la densidad de Y, es decir: f Y (y) df Y (y), si y (, /]. 3

4 b) Utilizando la función de densidad: Pr(/4 < Y < /) Utilizando la función de distribución: / /4 y] / /4 4. Pr(/4 < Y < /) F Y (/) F Y (/4) 4. Ejercicio 5. Dos de los lados de un triángulo isósceles tienen una longitud L cada uno y el ángulo X entre ellos se distribuye según una variable aleatoria con función de densidad igual a f(x) kx(π x), si x (, π/), siendo k una constante desconocida. a) Determine el valor de k para que f(x) sea, en efecto, una función de densidad. b) Calcule la función de densidad del área del triángulo. c) Calcule la esperanza del área del triángulo. Solución: a) Las dos condiciones para que f sea función de densidad son: * f(x). * f(x)dx. Por la primera condición se deduce que k. Teniendo en cuenta la segunda condición se deduce que: De modo que k π 3. kx(π x)dx kπ xdx k kπ x k x3 3 ] π/ x dx kπ π 8 k π3 4 kπ3. b) Sea Y el área de dicho triángulo isósceles, es decir, Y b a, siendo b la base de dicho triángulo y a su altura. Se verifica que: sin(x/) b b L sin(x/) L cos(x/) a L a L cos(x/) y por lo tanto, y L sin(x/) cos(x/), si x (, π/). Teniendo en cuenta la siguiente fórmula trigonométrica: sin(α + β) sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β), es sencillo demostrar que y L sin(x), si x (, π/), (bastaría considerar en dicha fórmula trigonométrica que α β x/). 4

5 x/ a L b/ Dado que h(x) L que: Teniendo en cuenta que resulta que: sin(x) es una transformación derivable e inyectiva en (, π/), se verifica f Y (y) f X (x(y)), y R Y. R Y (, L /), x arcsin(y/l ), dx (y/l ) L L4 4y >, f Y (y) f X (arcsin(y/l )) L4 4y 4 arcsin(y/l ) (π arcsin(sy/l )) π 3 L 4 4y, si y (, L /). c) Una forma de calcular la esperanza de Y es utilizar el hecho de que es una transformación de X, es decir: E[Y ] E[L sin(x)/] 6L π 3 6L π π 3 L sin(x)x(π x) π 3 dx sin(x)x(π x)dx sin(x)xdx 6L π 3 6L L (π π + ) π3 π 3. L sin(x) f X (x)dx sin(x)x dx 5

6 Nótese que hemos usado el hecho de que: sin(x)xdx, () sin(x)x dx π, () cos(x)xdx π. (3) Estas integrales las hemos resuelto utilizando el método de integración por partes. Por ejemplo, la integral () la hemos resuelto teniendo en cuenta la expresión (3) y considerando u x, dv sin(x)dx du xdx, v cos(x). Entonces, resulta que: sin(x)x dx x cos(x) ] π/ + ( π ) π. cos(x)xdx Las expresiones () y (3) se obtendrían de manera análoga, haciendo uso del método de integración por partes. Ejercicio 6. En función de un estudio realizado en varios establecimientos, se conoce que la demanda X de un determinado producto es una variable aleatoria con función de densidad f(x) e x, si x >. La venta de una cantidad x produce una ganancia de ax y el sobrante y no vendido produce una pérdida (es decir una ganancia negativa) de by, siendo a y b constantes positivas. Si en stock hay disponible c unidades de dicho producto, se pide: a) Escriba la ganancia obtenida en función de la demanda X y el stock disponible. b) Cuál es la ganancia esperada? c) Cuántos productos sería necesario tener en stock para que la ganancia esperada fuese máxima? Solución: a) Sea Y la ganancia final obtenida (considerando la ganancia positiva y negativa). Se verifica que Y h(x) siendo h(x) la siguiente función ax b(c x), si x < c h(x) ac, si x c. b) Teniendo en cuenta que Y es una transformación de X no es necesario calcular su densidad para determinar su media o esperanza. Podemos utilizar la siguiente fórmula alternativa que hace uso de la densidad de la variable aleatoria de partida, X: E[Y ] De modo que, la ganancia esperada es E[Y ] c (ax b(c x))e x dx + h(x)f X (x)dx. c ace x dx a + b bc (a + b)e c. 6

7 c) Teniendo en cuenta la ganancia esperada calculada en el apartado b), habrá que considerarla como una función de c y buscar para qué valor de c alcanza su valor máximo. Es decir, E(Y ) g(c) a + b bc (a + b)e c. Esta función g alcanza el máximo en el punto c donde se cumpla que su derivada se anule y su segunda derivada sea negativa. Teniendo en cuenta que: dg(c) dc b+(a+b)e c e c b/(a+b) c ln(b/(a+b)) ln((a+b)/b) ln(+a/b) y que d g(c) dc (a + b)e c <, c d g(c ) dc <, podemos concluir que la cantidad de stock que proporciona la máxima ganancia es c ln( + a/b). 7