Contrastes de Hipótesis paramétricos y no-paramétricos.
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- Victoria Navarrete Lagos
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1 Capítulo 1 Contrastes de Hiptesis paramétricos y no-paramétricos. Estadística Inductiva o Inferencia Estadística: Conjunto de métodos que se fundamentan en la Teoría de la Probabilidad y que tienen por finalidad generalizar los resultados, obtenidos mediante una muestra, a toda una poblacin. CONTRASTES DE HIPÓTESIS Procedimientos para aceptar o rechazar una hiptesis que se emite acerca de un parámetro u otra característica de la poblacin. ETAPAS DEL PROCESO 1) El investigador formula una hiptesis sobre un parámetro poblacional, por ejemplo que toma un determinado valor 2) Selecciona una muestra de la poblacin 3) Comprueba si los datos están o no de acuerdo con la hiptesis planteada, es decir compara la observacin con la teoría a) Si lo observado es incompatible con lo terico entonces el experimentador puede rechazar la hiptesis planteada y proponer una nueva teoría. b) Si lo observado es compatible con lo terico entonces el experimentador puede continuar como si la hiptesis fuera cierta. 5
2 6 Contrastes de Hiptesis paramétricos y no-paramétricos. TIPOS DE HIPÓTESIS H 0 : Hiptesis Nula es la hiptesis sobre la que se desea decidir H 1 : Hiptesis Alternativa es la hiptesis que se acepta, si se rechaza la hiptesis nula. Generalmente la hiptesis alternativa es la negacin de la hiptesis nula. F Un Contraste o Test de Hiptesis es un procedimiento mediante el cual nos decidimos por H 0 oporh 1. TIPOS DE ERRORES Error de Tipo I o error α : Rechazar la hiptesis H 0 cuando es cierta. P [rechazar H 0 /H 0 es cierta] =α; 0 α 1 Error de Tipo II o error β: Aceptar la hiptesis H 0 cuando es falsa P [decidir H 0 /H 0 es falsa] =β; 0 β 1 TIPOS DE REGIONES Regin Crítica o Regin de Rechazo: Los valores del estadístico de contraste que nos conducen a rechazar la hiptesis H 0 forman la Regin Crítica o Regin de Rechazo del contraste Regin de Aceptacin: Los valores del estadístico de contraste que nos conducen a decidir H 0 forman la Regin de Aceptacin. F Nivel de significacin: Es el error α, es decir la probabilidad de que el estadístico de contraste caiga en la regin de rechazo. POTENCIA DE UN CONTRASTE P (θ) =1 β(θ) =P [rechazar H 0 /H 0 es falsa] =P [decidir H 1 /H 1 es cierta]
3 Contrastes de Hiptesis paramétricos y no-paramétricos. 7 Decisin Rechazar H 0 Aceptar H 0 Hiptesis cierta H 0 α Decisin correcta Decisin correcta Hiptesis falsa H 0 Potencia β RESULTADO DE UN CONTRASTE DE HIPÓTESIS F Estadísticamente Significativo: cuando se rechaza H 0 F Estadísticamente No-Significativo: cuando se acepta H 0. CONTRASTES PARAMÉTRICOS Se conoce la forma de la distribucin y los parámetros son desconocidos TIPOS DE REGIONES CRÍTICAS H 0 θ 0 θ 0 H 1 θ>θ 0 H 0 θ 1 θ 0 H 1 θ<θ 0 H 0 θ = θ 0 H 1 θ 6= θ 0 H 1 θ>θ 0 H 1 θ<θ 0 : Hiptesis Alternativa es Unilateral. (Regin Crítica Unilateral) H 1 θ 6= θ 0 : Hiptesis Alternativa es Bilateral (R. C. Bilateral.) F H 0 θ = θ 0 : Hiptesis nula Sencilla o Simple F H 0 θ 0 θ 0 H 0 θ 1 θ 0 : Hiptesis nula Compuesta
4 8 Contrastes de Hiptesis paramétricos y no-paramétricos. CRITERIOS GENERALES PARA LOS CONTRASTES Calcular una cantidad experimental (C exp ) a partir de los datos Calcular una cantidad terica (C α ) a partir de las tablas Si C exp <C α Aceptar H 0 ; Si C exp C α Rechazar H 0 NIVEL MÍNIMO DE SIGNIFICACIÓN Nivel crítico (valor P o P value o nivel mínimo de significacin): Es el error de la primera regin crítica de rechazo. Es el área que deja a la derecha la C exp Si α<p Aceptar H 0 ; Si α P Rechazar H 0
5 Contrastes de Hiptesis paramétricos y no-paramétricos. 9 CONTRASTES DE HIPÓTESIS DE UNA POBLACIÓN NORMAL CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL H 0 µ = µ 0 H 1 µ 6= µ 0 H 0 µ 6 µ 0 H 1 µ>µ 0 H 0 µ > µ 0 H 1 µ<µ 0. a) Varianza poblacional σ 2 conocida. a1) H 0 µ = µ 0 H 1 µ 6= µ 0 Si Z exp <z α/2 Se acepta H 0 Si Z exp z α/2 Se rechaza H 0.
6 10 Contrastes de Hiptesis paramétricos y no-paramétricos.. a2) H 0 µ 6 µ 0 H 1 µ>µ 0 Si Z exp <z α Se acepta H 0 Si Z exp z α Se rechaza H 0. a3) H 0 µ > µ 0 H 1 µ<µ 0 Si Z exp > z α Se acepta H 0 Si Z exp 6 z α Se rechaza H 0 b) Varianza poblacional σ 2 desconocida Hiptesis alternativa Regla de decisin H 1 µ 6= µ 0 Rechazar H 0 cuando t exp t α/2 H 1 µ>µ 0 Rechazar H 0 cuando t exp t α H 1 µ<µ 0 Rechazar H 0 cuando t exp t α
7 Contrastes de Hiptesis paramétricos y no-paramétricos. 11 CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA DE UNA POBLACIÓN NORMAL H 0 σ 2 = σ 2 0 H 1 σ 2 6= σ 2 0 H 0 σ 2 6 σ 2 0 H 1 σ 2 >σ 2 0 H 0 σ 2 > σ 2 0 H 1 σ 2 <σ 2 0 Hiptesis alternativa H 1 σ 2 6= σ 2 0 H 1 σ 2 >σ 2 0 H 1 σ 2 <σ 2 0 Regla de decisin Rechazar H 0 cuando χ 2 exp χ 2 α/2 χ2 exp χ 2 1 α/2 Rechazar H 0 cuando χ 2 exp χ 2 α Rechazar H 0 cuando χ 2 exp χ 2 1 α a) Media poblacional conocida b) Media poblacional desconocida. CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARA EL PARÁMETRO P DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL H 0 p = p 0 H 1 p 6= p 0 H 0 p 6 p 0 H 1 p>p 0 H 0 p > p 0 H 1 p<p 0 Hiptesis alternativa Regla de decisin H 1 p 6= p 0 Rechazar H 0 cuando Z exp z α/2 H 1 p>p 0 Rechazar H 0 cuando Z exp z α H 1 p<p 0 Rechazar H 0 cuando Z exp z α
8 12 Contrastes de Hiptesis paramétricos y no-paramétricos. CONTRASTES DE HIPÓTESIS EN DOS POBLACIONES NORMALES INDEPENDIENTES CONTRASTES DE COMPARACIÓN DE DOS MEDIAS H 0 µ 1 = µ 2 H 1 µ 1 6= µ 2 H 0 µ 1 6 µ 2 H 1 µ 1 >µ 2 H 0 µ 1 > µ 2 H 1 µ 1 <µ 2 a) Varianzas poblaciones conocidas b) Varianzas poblaciones desconocidas CONTRASTES DE COMPARACIÓN DE DOS VARIANZAS H 0 σ 2 1 = σ 2 2 H 1 σ 2 1 6= σ 2 2 H 0 σ σ 2 2 H 1 σ 2 1 >σ 2 2 H 0 σ 2 1 > σ 2 2 H 1 σ 2 1 <σ 2 2 Hip. alternativa H 1 σ 2 1 6= σ 2 2 H 1 σ 2 1 >σ 2 2 H 1 σ 2 1 <σ 2 2 Regla de decisin Rechazar H 0 si F exp F α/2 o F exp F 1 α/2 Rechazar H 0 si F exp F α Rechazar H 0 si F exp F 1 α a) Media poblacional conocida b) Media poblacional desconocida CONTRASTES DE COMPARACIÓN DE DOS PROPORCIONES H 0 p 1 = p 2 H 1 p 1 6= p 2 H 0 p 1 6 p 2 H 1 p 1 >p 2 H 0 p 1 > p 2 H 1 p 1 <p 2
9 Contrastes de Hiptesis paramétricos y no-paramétricos. 13 CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARA COMPARAR DOS MEDIAS DE VARIABLES NORMALES: MUESTRAS APAREADAS NOTA: Dos muestras se dicen independientes cuando las obsevaciones de una de ellas no condicionan para nada a las observaciones de la otra, siendo dependientes en caso contrario. El tipo de dependencia que se considera a estos efectos es muy especial: cada dato de una muestra tiene un homnimo en la otra con el que está relacionado, de ahí el nombre alternativo de muestras apareadas. Ejemplo: Consideremos que se desea estudiar el efecto de un fármaco presuntamente antihipertensivo. El experimento podría planificarse: a) Se toman 20 hipertensos al azar, se le aplica el fármaco a 10 de ellos dejando sin tratamiento a los otros 10. Transcurrido un tiempo se miden las presiones sanguíneas de ambos grupos y se contrasta la hiptesis H 0 µ 1 = µ 2 para evaluar si las medias son iguales o no. Las dos muestras están formadas por individuos distintos, sin relacin entre sí = muestras independientes b) Se administra el fármaco a los 20 hipertensos disponibles y se anota su presin sanguínea antes y después de la administracin del mismo. En este caso los datos vienen dados por parejas (presin antes y después) y parece lgico que tales datos se encuentren relacionados entre sí = muestras apareadas H 0 µ 1 = µ 2 H 1 µ 1 6= µ 2 H 0 µ 1 6 µ 2 H 1 µ 1 >µ 2 H 0 µ 1 > µ 2 H 1 µ 1 <µ 2 Hiptesis alternativa H 1 µ 6= µ 0 H 1 µ>µ 0 H 1 µ<µ 0 Regla de decisin Rechazar H 0 cuando t exp t n 1;α/2 Rechazar H 0 cuando t exp t n 1;α Rechazar H 0 cuando t exp t n 1;α
10 14 Contrastes de Hiptesis paramétricos y no-paramétricos. CONTRASTES NO-PARAMÉTRICOS CONTRASTES DE HIPÓTESIS BASADOS EN LA CHI-CUADRADO DE PEARSON NO SE CONOCE LA FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN DE LA POBLACIÓN El contraste que planteamos, a diferencia de los estudiados, no se refiere a un valor concreto de un parámatro desconocido H 0 X Ã L(X) (sigue una ley) H 1 X L(X) (no sigue dicha ley) Si χ 2 exp <χ 2 α Se acepta H 0 Si χ 2 exp χ 2 α Se rechaza H 0
11 Contrastes de Hiptesis paramétricos y no-paramétricos. 15 CONTRASTES PARA LA BONDAD DE AJUSTE El objetivo de los Contrastes de Bondad de Ajuste a Distribuciones es determinar a través de una muestra aleatoria, si una variable aleatoria sigue una cierta distribucin terica dada de antemano (Binomial, Poisson, Normal, Uniforme etc). H 0 La distribucin terica está conforme con la distribucin empírica H 1 La distribucin terica no está conforme con la distribucin empírica CONTRASTES PARA LA INDEPENDENCIA DE DOS CARACTERES El objetivo de estos contrastes es comprobar si dos características cualitativas están relacionadas entre sí. Por ejemplo, Existe relacin entre el color de la piel y el color del pelo? o existe relacin entre fumar cigarillos y la predisposicin a desarrollar el cáncer de pulmn? H 0 Los caracteres A y B son independientes H 1 Los caracteres A y B no son independientes CONTRASTES DE HOMOGENEIDAD El problema general es determinar si varias muestras cualitativas se pueden considerar procedentes de una misma poblacin en cuyo caso decimos que las muestras son homogéneas. Ejemplos de problemas de homogeneidad se pueden plantear en términos de comprobar si varios tratamientos, que curan una misma enfermedad, aplicados a un cierto tipo de enfermos son homogéneos respecto a los resultados obtenidos. Bibliografía utilizada: F Lara Porras A.M. (2002). Estadística para Ciencias Biolgicas y Ciencias Ambientales. Problemas y Exámenes Resueltos. Ed. Proyecto Sur. F Martín Andrés, A. y Luna del Castillo, J. de D. (1990). Bioestadística para las Ciencias de la Salud. Ed. Norma Temporalizacin: Dos horas
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