Estadística I Tema 5: Modelos probabiĺısticos

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1 Estadística I Tema 5: Modelos probabiĺısticos

2 Tema 5. Modelos probabiĺısticos Contenidos Variables aleatorias: concepto. Variables aleatorias discretas: Función de probabilidad y Función de distribución. Media y Varianza de una v.a. discreta Relación entre la media y la varianza: desigualdad de Chebyschev Variables aleatorias continuas: Función de densidad y Función de distribución. Media y Varianza de una v.a. continua. Modelos probabiĺısticos: Modelos de probabilidad discretos: Ensayos de Bernoulli y distribución Binomial. Modelos de probabilidad continuos: Distribución uniforme y distribución normal. Teorema Central del Límite: Vectores aleatorios: introducción a la distribución normal bivariante.

3 Variables aleatorias: concepto Sea Ω el espacio muestral asociado a cierto experimento aleatorio. Se denomina variable aleatoria (v.a.) a una función X : Ω R, tal que a cada elemento e i Ω le asigna un valor numérico X (e i ) = x i R. Intuitivamente, una variable aleatoria es una medida o cantidad que varía en función del resultado concreto e i que se observa al realizar el experimento aleatorio. La v.a. se denota con letras mayúsculas, mientras que las letras minúsculas indican el valor concreto que toma la v.a. cuando se evalúa en un punto muestral. OBS: Las variables estadísticas que hemos visto en los temas 1, 2 y 3 son el resultado de evaluar las v.a. correspondientes en muestras de individuos.

4 Variables aleatorias V.a. discreta Si X toma valores sobre un conjunto S R finito o infinito numerable, se dice que X es una variable aleatoria discreta. V.a. continua Si X toma valores sobre un conjunto S R infinito no numerable (por ejemplo, en un intervalo o en una unión de intervalos de R), se dice que X es una variable aleatoria continua. Ejemplos X = Resultado al tirar un dado es una variable discreta donde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Y = Número de coches que pasan por un cierto peaje en una semana es una variable discreta donde S = {0, 1, 2,...} = N 0 es infinito numerable. Z = altura de un alumno elegido al azar es una variable continua donde S = [0, + ).

5 Variables aleatorias discretas Función de probabilidad Sea X una variable aleatoria discreta con posibles valores {x 1, x 2,...}. Se llama función de probabilidad o función de masa, al conjunto de probabilidades con las que X toma cada uno de sus valores, es decir, p i = P[X = x i ], para i = 1, 2,.... Ejemplo X = resultado de lanzar un dado. La función de probabilidad es x P[X = x] 1 6 En este caso, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y p 1 =... = p 6 =

6 Variables aleatorias discretas Función de probabilidad. Propiedades Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores en el conjunto S = {x 1, x 2...} con probabilidades p 1 = P(X = x 1 ), p 2 = P(X = x 2 ),... 0 P[X = x i ] 1. P[X = x i ] = 1. i P[X x] = i,x i x P[X = x i ]. P[X > x] = 1 P[X x].

7 Ejemplo Un juego consiste en ensartar 3 aros, uno a uno, en una pica. Participar cuesta 3 euros. Los premios son 4 euros por un acierto, 6 euros por dos aciertos y 30 euros por tres aciertos. Suponemos que la probabilidad de ensartar un aro es de 0.1 en cada tiro, y que los tiros son independientes. Definimos la v.a. X como la ganancia en el juego. El espacio muestral está dado por: Ω = {(f, f, f ), (a, f, f ), (f, a, f ), (f, f, a), (a, a, f ), (a, f, a), (f, a, a), (a, a, a)} donde a denota acierto y f denota fallo. Por lo tanto, X sólo admite cuatro posibles resultados con las siguientes probabilidades: P (X = 3) = 0,9 3 = 0,729 P (X = 1) = 3 0,1 0,9 2 = 0,243 P (X = 3) = 3 0,1 2 0,9 = 0,027 P (X = 27) = 0,1 3 = 0,001

8 Ejemplo Cuál es la probabilidad de ganar 3 o más euros, descontando los 3 euros por participar? P (X 3) = P (X = 3) + P (X = 27) = 0, ,001 = 0,028 Cuál es la probabilidad de no perder dinero? P (X 0) = P (X = 1) + P (X = 3) + P (X = 27) = o lo que es lo mismo: = 0, , ,001 = 0,271 P (X 0) = 1 P (X < 0) = 1 P (X = 3) = 1 0,729 = 0,271

9 Variables aleatorias discretas Función de distribución La función de distribución o función de probabilidad acumulada de una variable aleatoria X es una aplicación F : R [0, 1], que a cada valor x R le asigna la probabilidad: F (x) = P[X x] = P (X = x i ) x i S,x i x OBS: Está definida para todo x R y no sólo para los valores de X. 0 F (x) 1 para todo x R. F (y) = 0 para todo y < mín S. Por tanto, F ( ) = 0. F (y) = 1 para todo y > máx S. Por tanto, F ( ) = 1. Si x 1 x 2, entonces F (x 1 ) F (x 2 ), es decir, F (x) es no decreciente. Para todo a, b R, P (a < X b) = P (X b) P (X a) = F (b) F (a).

10 Ejemplo La función de probabilidad de la variable X en el ejemplo del juego es la siguiente: 0,729 x = 3 0,243 x = 1 P (X = x) = 0,027 x = 3 0,001 x = 27 La función de distribución de la variable X en el ejemplo del juego es la siguiente: 0 x < 3 0,729 3 x < 1 F (x) = P (X x) = 0, ,243 = 0,972 1 x < 3 0, , ,027 = 0,999 3 x < 27 0, , , ,001 = 1 27 x Notar que esta función presenta discontinuidades de salto en los puntos del conjunto S. El salto es de magnitud P (X = x), para todo x S.

11 Esperanza de una variable aleatoria discreta Sea X una v.a. discreta que toma valores en S = {x 1, x 2,... } con probabilidades p 1 = P (X = x 1 ), p 2 = P (X = x 2 ),... Entonces, la esperanza de X está dada por: E [X ] = x S xp (X = x) = i x i P (X = x i ) = i x i p i

12 Esperanza de una variable aleatoria discreta. Propiedades Si a, b R, entonces: E [a + bx ] = a + be [X ] Sea g una función real. Entonces: E [g (X )] = g (x) P (X = x) x S Sean X 1,..., X n, n v.a., y a 1,..., a n, n números reales. Entonces: E [a 1 X a n X n ] = a 1 E [X 1 ] + + a n E [X n ]

13 Ejemplo La esperanza de la variable aleatoria X del ejemplo del juego es la siguiente: E [X ] = x S xp (X = x) = = 3 P (X = 3) + 1 P (X = 1) + 3 P (X = 3) + 27 P (X = 27) = = 3 0, , , ,001 = 1,836 Por lo tanto, la ganancia esperada es de 1,836 euros.

14 Varianza de una variable aleatoria discreta La varianza de la v.a. discreta X está dada por: [ V [X ] = E (X E [X ]) 2] = (x E [X ]) 2 P (X = x) = x S = i (x i E [X ]) 2 P (X = x i ) = i (x i E [X ]) 2 p i La raíz cuadrada de la varianza se denomina desviación típica y se denota por S[X ] = V [X ].

15 Varianza de una variable aleatoria discreta. Propiedades La varianza se puede escribir también como: V [X ] = E [ X 2] E [X ] 2 V [X ] 0 y Var [X ] = 0 si, y sólo si, X es una constante. Si a, b R, entonces: V [a + bx ] = b 2 V [X ] Sean X 1,..., X n, n v.a. independientes, y a 1,..., a n, n números reales. Entonces: V [a 1 X a n X n ] = a 2 1V [X 1 ] + + a 2 nv [X n ]

16 Ejemplo La varianza de la variable aleatoria X del ejemplo del juego es la siguiente: donde: V [X ] = E [ X 2] E [X ] 2 = 7,776 ( 1,836) 2 = 4,405 E [ X 2] = ( 3) 2 0, , , ,001 = 7,776 La desviación típica es por tanto S[X ] = 4,405 = 2,0988.

17 Ejemplo Consideramos la v.a. discreta X = número de caras al tirar una moneda dos veces. La función de probabilidad de X es: x P[X = x] 1 4 Por un lado, su esperanza viene dada por: mientras que su varianza es: E[X ] = = 1 donde: Var[X ] = E[X 2 ] E[X ] 2 = = 1 2 E[X 2 ] = = 3 2

18 Desigualdad de Chebyschev Este resultado es útil para estimar una probabilidad cuando se desconoce la distribución de probabilidad de una v.a. discreta X. Si X es una v.a. con esperanza y varianza finitas, entonces para todo k 1: P ( X E [X ] k) V (X ) k 2 o, equivalentemente, P ( X E [X ] < k) 1 V (X ) k 2 OBS: La cota que proporciona la desigualdad de Chebyschev es demasiado gruesa y sólo debe utilizarse cuando no se disponga de la distribución de X.

19 Desigualdad de Chebyschev Veamos como aplicar la desigualdad de Chebyschev con la variable aleatoria del ejemplo del juego. Tenemos que E [X ] = 1,836 y que V [X ] = 4,405. Entonces: Por otro lado, tenemos que: P ( X + 1,836 3) 4,405 9 = 0,4894 P ( X + 1,836 3) = P (X + 1,836 3) + P (X + 1,836 3) = = P (X 1,164) + P (X 4,836) = = P (X = 3) + P (X = 27) = 0, ,001 = 0,028 que demuestra que la cota de Chebyschev puede ser muy gruesa.

20 Ejemplo de repaso Sea X, la variable aleatoria que representa el número de caras menos el número de cruces en 3 tiradas de una moneda trucada de manera que es dos veces más probable que salga cara que cruz. Indicamos por c ={cara} y + ={cruz}. El espacio muestral es: Ω = { e1 = {c, c, c}, e 2 = {+, c, c}, e 3 = {c, +, c}, e 4 = {c, c, +}, e 5 = {+, +, c}, e 6 = {+, c, +}, e 7 = {c, +, +}, e 8 = {+, +, +} }

21 Ejemplo de repaso El conjunto S donde toma valores es S = { 3, 1, 1, 3} ya que: X (e 1 ) = 3 0 = 3 X (e 2 ) = X (e 3 ) = X (e 4 ) = 2 1 = 1 X (e 5 ) = X (e 6 ) = X (e 7 ) = 1 2 = 1 X (e 8 ) = 0 3 = 3 La función de probabilidad viene dada por: P (X = x) = P (X = 3) = ( ) = 1 27 P (X = 1) = 3 ( ) P (X = 1) = ( ) = 4 9 P (X = 3) = ( ) = = 2 9

22 Ejemplo de repaso Supongamos que participamos en el siguiente juego para el que hay que pagar de inicio 6 euros. Si al lanzar 3 veces la moneda anterior aparece 1 cruz, ganamos 4 euros, si aparecen 2 cruces ganamos 6 euros y si aparecen 3 cruces ganamos 30 euros. Cuál es la ganancia esperada? Sea Y la variable ganancia en el juego. Entonces: Si no obtenemos ninguna cruz, tenemos que X = 3, por lo que Y = 6 con probabilidad P (Y = 6) = P (X = 3) = Si obtenemos una cruz, tenemos que X = 1, por lo que Y = 2 con probabilidad P (Y = 2) = P (X = 1) = 4. 9 Si obtenemos dos cruces, tenemos que X = 1, por lo que Y = 0 con probabilidad P (Y = 0) = P (X = 1) = 2. 9 Si obtenemos tres cruces, tenemos que X = 3, por lo que Y = 24 con probabilidad P (Y = 24) = P (X = 3) = Por lo tanto, Y toma valores en el conjunto S = { 6, 2, 0, 24}. La ganancia esperada es: E [Y ] = = 1,78 euros 27

23 Variables aleatorias continuas Función de distribución Para X v.a. continua, la función de distribución es la función F (x) = P[X x], x R Igual que en el caso discreto, la función F (x) da las probabilidades acumuladas hasta el punto x R, pero ahora se trata de una función continua y no de tipo escalón.

24 Variables aleatorias continuas Propiedades 0 F (x) 1, para todo x R F ( ) = 0. F ( ) = 1. Si x 1 x 2, entonces F (x 1 ) F (x 2 ), es decir, F (x) es no decreciente. Para todo x 1, x 2 R, P(x 1 X x 2 ) = F (x 2 ) F (x 1 ). F (x) es continua. La función de probabilidad no tiene sentido en variables aleatorias continuas, porque P(X = x) = 0. Para sustituir la función de probabilidad, en variables aleatorias continuas usaremos la función de densidad.

25 Variables aleatorias continuas Función de densidad Para una variable aleatoria continua X con función de distribución F (x), la función de densidad de X es: Propiedades f (x) = df (x) dx = F (x) f (x) 0 x R P(a X b) = b a f (x)dx F (x) = P(X x) = x f (u)du f (x)dx = 1 a, b R

26 Variables aleatorias continuas Ejemplo Una variable aleatoria X tiene función de densidad { 12x f (x) = 2 (1 x) si 0 < x < 1 0 si no Entonces: P(X 0,5) = 0,5 P(0,2 X 0,5) = F (x) = P(X x) = f (u)du = 0,5 x 0,2 0,5 0 f (u)du = f (u)du = 12u 2 (1 u)du = 0,3125 0,5 0,2 12u 2 (1 u)du = 0, ) si x 0 si 0 < x 1 ( x x si x > 1

27 Esperanza de una variable aleatoria continua Sea X una v.a. continua que toma valores en S R, con función de densidad f (x). Entonces, la esperanza de X está dada por: E [X ] = xf (x) dx S Se verifican las mismas propiedades descritas antes para la esperanza de una v.a. discreta. Sólo cambia la forma de calcularla.

28 Ejemplo La esperanza de la variable aleatoria X del ejemplo anterior es la siguiente: = 1 0 E[X ] = R x f (x)dx = 1 ( 12(x 3 x 4 ) ) ( 1 dx = 12 4 x 4 1 ) 5 x x 12x 2 (1 x)dx = 0 = 12 ( ) = 3 5 5

29 Varianza de una variable aleatoria continua La varianza de la v.a. continua X está dada por: [ V [X ] = E (X E [X ]) 2] = (x E [X ]) 2 f (x)dx = = x 2 f (x)dx E [X ] 2 = E [ X 2] E [X ] 2 S La raíz cuadrada de la varianza se denomina desviación típica y se denota por S[X ] = V [X ]. S Se verifican las mismas propiedades descritas antes para la varianza de una v.a. discreta. Sólo cambia la forma de calcularla.

30 Ejemplo La varianza de la variable aleatoria X del ejemplo anterior es la siguiente: donde: E [ X 2] = Var[X ] = E [ X 2] E [X ] 2 = 2 5 ( 3 5 R x 2 f (x)dx = 1 0 ) 2 = = x 4 (1 x)dx = 12 5 x 5 x=1 x= x 6 x=1 x=0 = = = La desviación típica es por tanto S[X ] = 25 = 1 5.

31 Modelos probabiĺısticos Modelos de probabilidad discretos: Ensayos de Bernoulli y distribución Binomial. Modelos de probabilidad continuos: Distribución uniforme y distribución normal. Teorema Central del Límite:

32 Modelo Bernoulli Descripción Partimos de un experimento aleatorio con sólo dos posibles resultados, que calificamos de éxito/fracaso. Definimos la variable aleatoria: { 1 si éxito X = 0 si fracaso Sea p la probabilidad de éxito. Entonces, 1 p es la probabilidad de fracaso. El experimento se llama ensayo de Bernoulli y la variable aleatoria se dice que sigue una distribución Bernoulli de parámetro p. Se escribe X Ber(p).

33 Modelo Bernoulli Ejemplo Tirar una moneda al aire X = { 1 sale cara 0 si sale cruz Es un ensayo Bernoulli, y X sigue una distribución Bernoulli de parámetro 1/2. Ejemplo Una ĺınea aérea estima que los pasajeros que compran un billete para un vuelo tienen una probabilidad igual a 0,05 de no presentarse al embarque de dicho vuelo. Definamos { 1 si el pasajero se presenta Y = 0 si no lo hace Y sigue una distribución Bernoulli con parámetro 0,95.

34 Modelo Bernoulli Función de Probabilidad: P[X = 0] = 1 p P[X = 1] = p Función de distribución: 0 si x < 0 F (x) = 1 p si 0 x < 1 1 si x 1 Propiedades E[X ] = p 1 + (1 p) 0 = p E[X 2 ] = p (1 p) 0 2 = p V [X ] = E[X 2 ] E[X ] 2 = p p 2 = p(1 p) S[X ] = p(1 p)

35 Modelo Binomial Descripción Un ensayo Bernoulli de parámetro p se repite n veces de manera independiente. La variable número de éxitos obtenidos, sigue una distribución Binomial (de parámetros n y p). Definición Una variable X sigue una distribución binomial con parámetros n y p si ( ) n P[X = x] = p x (1 p) n x x para x = 0, 1,..., n donde ( n x Se escribe X B(n, p). ) = n! x!(n x)!

36 Modelo Binomial Ejemplo La ĺınea aérea del ejemplo anterior ha vendido 80 billetes para un vuelo. La probabilidad de que un pasajero no se presente al embarque es de 0, 05. Definimos X = número de pasajeros que se presentan. Entonces (suponiendo independencia) X B(80, 0,95) La probablidad de que los 80 pasajeros se presenten ( ) 80 P[X = 80] = 0,95 80 (1 0,95) = 0, La probabilidad de que al menos un pasajero no se presente: P[X < 80] = 1 P[X = 80] = 1 0,0165 = 0,9835

37 Modelo Binomial Propiedades E[X ] = np Var[X ] = np(1 p) S[X ] = np(1 p)

38 Distribución uniforme Descripción La distribución uniforme es aquella en la que todos los intervalos de igual longitud en su rango son igualmente probables. Es decir, que la función de densidad es constante para todos los valores posibles de la variable. Definición Se dice que una variable X sigue una distribución uniforme en el intervalo (a, b) (sus parámetros son a y b) si Se escribe X U(a, b). f (x) = { 1 b a si a < x b 0 si no

39 Distribución uniforme Propiedades Esperanza: E[X ] = a+b 2 Varianza: V [X ] = (b a)2 12 Desviación típica: S[X ] = b a 12 Función de densidad

40 Ejemplo: distribución uniforme en (3,5) Una variable aleatoria X que sigue una distribución uniforme en el intervalo (3, 5) tiene función de densidad { 1 f (x) = 2 si 3 < x < 5 0 si no Calculamos algunas probabilidades: P(X 0,5) = 0,5 f (u)du = 0 P(X 4) = 4 f (u)du = 4 3 P(3,5 X 4,5) = 4,5 3,5 f (u)du = 4,5 3,5 1 2 du = 1 2 u 4 3 = du = 1 2

41 Ejemplo: distribución uniforme en (3,5) Función de distribución F (x) = P(X x) = x Si x 3 entonces F (x) = P(X x) = 0. f (u)du =... Si 3 < x 5 entonces F (x) = P(X x) = x 3 Si 5 < x entonces F (x) = P(X x) = 5 3 Es decir, que: F (x) = 0 si x 3 x 3 2 si 3 < x 5 1 si x > du = u 2 x 3 = x du = u = = 1.

42 Ejemplo: distribución uniforme en (3,5) Esperanza Varianza E[X ] = R x f (x)dx = 5 3 x 1 2 dx = x 2 4 Var[X ] = R x 2 f (x)dx E[X ] 2 = = = 4 x 2 2 dx 42 = x = 0,33 3

43 Distribución normal Descripción La distribución normal es un modelo teórico que aproxima bien muchas situaciones reales. La inferencia estadística se fundamenta básicamente en la distribución normal y en distribuciones que se derivan de ella. Definición Se dice que una variable X sigue una distribución normal o Gausiana con parámetros µ y σ, y se denota por X N (µ, σ), si f (x) = 1 σ 2π exp { 1 } (x µ)2 2σ2 Propiedades E[X ] = µ V [X ] = σ 2 Si X N (µ, σ), f (x) es simétrica respecto de µ.

44 Distribución normal Función de densidad para 3 valores distintos de µ y σ

45 Distribución normal Propiedad Si X N (µ, σ), P(µ σ < X < µ + σ) 0,683 P(µ 2σ < X < µ + 2σ) 0,955 P(µ 3σ < X < µ + 3σ) 0,997 Desigualdad de Chebyshev La desigualdad de Chebyschev también se puede aplicar en el caso de variables continuas. En particular, si X es Gaussiana de media µ y desviación típica σ, tenemos que: P (µ k < X < µ + k) = P ( X µ < k) 1 σ2 k 2 de donde, si k = cσ, tenemos que P (µ cσ < X < µ + cσ) 1 1 c 2.

46 Distribución normal Transformación lineal Si X N (µ, σ), entonces: Y = ax + b N (aµ + b, a σ) Estandarización Si X N (µ, σ), considero Z = X µ σ N (0, 1) Se llama distribución normal estándar. Es una distribución simétrica y centrada en 0. Además, está tabulada por lo que no tenemos que hacer uso de integrales para obtener probabilidades.

47 Tablas de la N (0, 1)

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49 Distribución normal: Ejemplo Sea Z N(0, 1). Calculemos algunas probabilidades: Pr(Z < 1,5) = 0,9332. tabla Pr(Z > 1,5) = Pr(Z < 1,5) = 0,9332. por qué? Pr(Z < 1,5) = Pr(Z > 1,5) = 1 Pr(Z < 1,5) = 1 0,9332 = 0,0668. por qué no? Pr( 1,5 < Z < 1,5) = Pr(Z < 1,5) Pr(Z < 1,5) = 0,9332 0,0668 = 0,8664.

50 Distribución normal: Ejemplo Sea X N(µ = 2, σ = 3). Queremos calcular Pr(X < 4) y Pr( 1 < X < 3,5): En primer lugar, tipificamos la variable original como sigue: ( X 2 Pr(X < 4) = P < 4 2 ) = Pr ( Z < 0,66 6 ) 0,7454, 3 3 donde Z N(0, 1). A continuación, buscamos : Pr( 1 < X < 3,5) = Pr( 1 2 < X 2 < 3,5 2) ( 1 2 = P < X 2 < 3,5 2 ) = Pr( 1 < Z < 0,5) = = Pr(Z < 0,5) Pr(Z < 1) = 0,6915 0,1587 = 0,5328. donde Z N(0, 1).

51 Distribución normal: otro ejemplo Es difícil etiquetar la carne empaquetada con su peso correcto debido a los efectos de pérdida de ĺıquido (definido como porcentaje del peso original de la carne). Supongamos que la pérdida de ĺıquido en un paquete de pechuga de pollo se distribuye como normal con media 4 % y desviación típica 1 %. Sea X la pérdida de ĺıquido de un paquete de pechuga de pollo elegido al azar. Cuál es la probabilidad de que 3 % < X < 5 %? Cuál es el valor de x para que un 90 % de paquetes tengan pérdidas de ĺıquido menores que x? En una muestra de 4 paquetes, hallar la probabilidad de que todos tengan pérdidas de peso de entre 3 y 5 %. Sexauer, B. (1980) Drained-Weight Labelling for Meat and Poultry: An Economic Analysis of a Regulatory Proposal, Journal of Consumer Affairs, 14,

52 Distribución normal: otro ejemplo Pr(3 < X < 5) = ( 3 4 Pr < X 4 < 5 4 ) = Pr( 1 < Z < 1) = Pr(Z < 1) Pr(Z < 1) = 0,8413 0,1587 = 0,6827 Queremos Pr(X < x) = 0,9. Entonces ( X 4 Pr < x 4 ) = Pr(Z < x 4) = 0,9 1 1 Mirando las tablas, tenemos x 4 1,28 que implica que un 90 % de las paquetes tienen pérdidas de menores que x = 5,28 %. Para un paquete p = Pr(3 < X < 5) = 0,6827. Sea Y el número de paquetes en la muestra de 4 paquetes que tienen pérdidas de entre 3 % y 5 %. Luego Y B(4, 0,6827). ( ) 4 Pr(Y = 4) = 0, (1 0,6827) 0 = 0,

53 Distribución normal: otro ejemplo Si la muestra fuera de 5 paquetes, cuál seria la probabilidad que por lo menos una tuviera perdidas de entre el 3 % y 5 %? Tenemos que n = 5 y p = 0,6827. Por lo tanto, Y B(5, 0,6827). Entonces, Pr(Y 1) = 1 Pr(Y < 1) = 1 Pr(Y = 0) = ( ) 5 = 1 0, (1 0,6827) 5 0 = 1 (1 0,6827) 5 = 0,

54 Teorema central del ĺımite El siguiente teorema nos habla de la distribución de la media de un conjunto de muchas v.a. independientes e igualmente distribuidas: X = 1 n n i=1 X i y nos dice que si n es grande, la distribución de la media de v.a. independientes e identicamente distribuidas es normal, sea cual sea la distribución de las v.a. De aquí el papel central que juega la distribución normal. Teorema Sean X 1, X 2,..., X n v.a. independientes, e idénticamente distribuidas con media µ y desviación típica σ (ambas finitas). Si n es suficientemente grande, se tiene que X µ σ/ N (0, 1) n

55 Aproximaciones Binomial Si X B(n, p) con n suficientemente grande (o bien n 30 y 0,1 p 0,9 o bien np 5 y n (1 p) 5), entonces: X np np(1 p) N (0, 1)

56 TCL y aproximaciones: Ejemplo Sea X B(100, 1/3). Bucamos el valor de Pr(X < 40), si bien el cálculo exacto es muy largo ya que necesitamos un gran número de operaciones. Utilizando el TCL tenemos que X B(100, 1/3) N (33,3, 4,714), ya que: Por lo tanto, E[X ] = = V [X ] = = S[X ] = = 4,714 ( X Pr(X < 40) = P < 4,714 ) ,714 P (Z < 1,414) donde Z N(0, 1) 0,921.

57 Función de distribución conjunta de dos variables La función de distribución conjunta de dos variables aleatorias continuas X e Y es una aplicación F : R 2 [0, 1], tal que a cada valor (x, y) R 2 le asigna la probabilidad: F (x, y) = P(X x, Y y) = x y f (x, y) dydx, donde f (x, y) es la función de densidad conjunta de la variable aleatoria (X, Y ). La función de densidad conjunta, f (x, y), verifica tres propiedades: 1. f (x, y) 0, para cualquier par (x, y) R P(a X b, c Y d) = b a 3. f (x, y) dydx = 1. d c f (x, y) dydx.

58 Distribuciones marginales y condicionadas Las funciones de densidad marginales de las variables aleatorias continuas X e Y están dadas por: f X (x) = respectivamente. f (x, y) dy y f Y (y) = Las variables aleatorias continuas X e Y se dice que son independientes si y sólo si: f (x, y) = f X (x) f Y (y) f (x, y) dx siendo f X y f Y las funciones de densidad marginales de X y de Y, respectivamente. La función de densidad condicional de la variable continua Y, dado el valor X = x 0 de la variable aleatoria X, está dada por: f Y X (y X = x 0 ) = f (x 0, y) f X (x 0 )

59 Esperanza y covarianza La esperanza de la variable aleatoria (X, Y ) es el vector formado por las esperanzas de las distribuciones marginales de X e Y : [( )] ( ) X E [X ] E = Y E [Y ] La covarianza entre dos variables aleatorias X e Y se define como: cov [X, Y ] = E [(X E [X ]) (Y E [Y ])] y permite medir como cambian X e Y de forma conjunta. Si valores grandes de X se corresponden con valores grandes de Y, y lo mismo ocurre con los valores pequeños, cov [X, Y ] será positiva. Si valores grandes de X se corresponden con valores pequeños de Y, y viceversa, cov [X, Y ] será negativa. Notar que la covarianza depende crucialmente de las unidades de medida de las variables X e Y lo que hace difícil su interpretación.

60 Coeficiente de correlación El coeficiente de correlación entre dos variables aleatorias X e Y se define como: cov [X, Y ] corr [X, Y ] = V [X ] V [Y ] donde cov [X, Y ] es la covarianza entre X e Y y V [X ] y V [Y ] son las varianzas de X e Y, respectivamente. Notar que 1 corr [X, Y ] 1 independientemente de las unidades de medida de X e Y. corr [X, Y ] sólamente mide relaciones lineales. Un valor de corr [X, Y ] próximo a 1 indica una alta relación lineal positiva entre X e Y. Un valor de corr [X, Y ] próximo a 1 indica una alta relación lineal negativa entre X e Y. Por último, un valor de corr [X, Y ] próximo a 0 indica una relación lineal debil entre X e Y.

61 Matriz de covarianzas La matriz de covarianza de una variable aleatoria (X, Y ) es una matriz de tamaño 2 2 dada por: ( ) V [X ] cov [X, Y ] C [X, Y ] = cov [X, Y ] V [Y ] es decir, C [X, Y ] contiene las varianzas de X e Y en la diagonal principal y la covarianza entre X e Y fuera de la diagonal principal.

62 La distribución Gaussiana bivariante Se dice que una variable (X, Y ) sigue una distribución normal o Gaussiana bivariante con parámetros µ = (µ X, µ Y ) y matriz de covarianzas: ( ) σ 2 Σ = X σ XY σ XY y se denota por (X, Y ) N 2 (µ, Σ) si tiene función de densidad: ( 1 f (x, y) = exp 1 ( ) σ 1/2 2π Σ 2 (X µ 2 1 ( ) ) X, Y µ Y ) X σ XY X µx σ XY σy 2 Y µ Y Notar que µ X = E [X ], µ Y = E [Y ], σ 2 X = V [X ], σ2 Y = V [Y ] y σ XY = cov [X, Y ]. σ 2 Y

63 La distribución Gaussiana bivariante La varianza generalizada es el valor de: Σ = σx 2 σy 2 σxy 2 = σx 2 σy (1 2 corr [X, Y ] 2) y mide la dispersión global de la variable bivariante (X, Y ). Notar como la varianza generalizada disminuye si corr [X, Y ] tiende a ±1 y aumenta si corr [X, Y ] tiende a 0. Por último, la matriz Σ 1 se puede escribir como: ( Σ 1 1 σ 2 = Y σ XY σx 2 σ2 Y σ2 σ XY XY σx 2 )

64 Densidad Gaussiana bivariante µ = (0, 0), σ 2 X = σ2 Y = 1 y σ XY = 0, 0,9 y 0,9, respectivamente x x x2 2 x x2 x

65 Esperanza y varianza condicional Si (X, Y ) sigue una distribución Gaussiana bivariante con parámetros µ = (µ X, µ Y ) y matriz de covarianzas ( ) σ 2 Σ = X σ XY entonces: σ XY ( ) ( ) X N µx, σx 2 e Y N µy, σy 2, respectivamente. X e Y son independientes si y sólo si σxy = 0. Y X = x0 sigue una distribución Gaussiana univariante de parámetros: µ Y X = µ Y + σ XY σ 2 X σ 2 Y (x 0 µ X ) σ 2 Y X = σy 2 σ2 XY σx 2 X Y = y0 sigue una distribución Gaussiana univariante de parámetros: µ X Y = µ X + σ XY σ 2 Y σ 2 X Y = σ 2 X σ2 XY σ 2 Y (y 0 µ Y )

66 Ejemplo Sea (X, Y ) una variable aleatoria que sigue una distribución Gaussiana bivariante con parámetros µ = (2, 1) y matriz de covarianzas: ( ) 5 3 Σ = 3 10 Entonces, podemos afirmar que: Las distribuciones marginales de X e Y son X N (2, 5) e Y N (1, 10), respectivamente. X e Y no son independientes ya que σxy 0. Y X = 6 sigue una distribución Gaussiana univariante de parámetros: µ Y X = (6 2) = 3,4 5 σ 2 Y X = = 8,2 X Y = 3 sigue una distribución Gaussiana univariante de parámetros: µ X Y = (3 1) = 2,6 10 σ 2 X Y = = 4,1