VARIABLES ALEATORIAS Variable: Característica de los individuos u objetos

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1 1 Definiciones VARIABLES ALEATORIAS Variable: Característica de los individuos u objetos Aleatoria: Azar 1. Una variable aleatoria ( v.a.) es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. 2. Notación: - Las v.a. se denotan con una letra mayúscula tal como X ( Usualmente X,Y,Z ) y el valor posible de X se denota con una letra minúscula x ( o bien X=x ) 3. El conjunto de posibles valores de la v.a. X recibe el nombre de Rango de X.

2 2 Ejemplos 1. Llamadas telefónicas recibidas por una Cía. en un día determinado Sea X: Número de llamadas ( X {0,1,2,3,...,n}, n: conocido) 2. Lanzar una moneda hasta que salga cara por primera vez Sea X: Número de sellos ( X {0,1,2,3,...} ) 3. Largo del cable de un artefacto eléctrico ( por ej. Plancha ) Sea X: El largo del cable ( X Intervalo, si hay especificaciones técnicas )

3 3 Variables Aleatorias Discretas ( v.a.d.) Es una v.a. con un rango finito ( ejemplo 1 ) o infinito numerable ( ejemplo 2 ) Distribución de probabilidades Es la forma de resumir las probabilidades en una Tabla. Su esquema es el siguiente: La función de probabilidad x x 1 x 2 Es la regla ( o fórmula ) que asigna probabilidades a los valores de las v.a. x k P ( X = x) P x ) P x ) P x ) ( 1 ( 2 ( k Nota: P(x k ) 0 y P( ) = k i= 1 x i 1

4 4 Ejemplo 4 Experimento: Se lanzan dos monedas honestas. Ω = { ss, cs, sc, cc } Sea X: N de caras ( X {0,1,2} ) y P(X=0) = 1/4, P(X=1) = 1/2, P(X=2) = 1/4. G La distribución de Probabilidad es: ( La tabla ) x P(X=x) 1/4 1/2 1/4 G La función de Probabilidad es: ( La regla o fórmula ) P(X = k) 2 = k 1 2 2, k = 0,1,2.

5 5 La Función de Distribución Acumulada ( F.D.A.) Se define la F.D.A. de una v.a. X como F X (k) = P(X k) = xi k P(xi) Propiedades: Si p q = F X F X (k) 1 F X (p) (x) es contínua por la derecha F X (q) ( No decreciente )

6 6... cont. Ejemplo 4 La F. D. A. está dada por: X=k P(X=k) F X (k) = P( X k ) 0 1/4 1/4 1 1/2 1/4+1/2 = 3/4 2 1/4 1/4+1/2+1/4 = 1 Otra manera de escribir la F.D.A. es: 0 1/4 F X (x) = 3/4 1 ; ; ; ; x < 0 0 x < 1 1 x < 2 x 2

7 7 Gráficamente La F.D.A. en nuestro ejemplo es:

8 8 Valor esperado o Esperanza de una v.a. X La esperanza se puede interpretar como el centro de gravedad E( X ) = k P(X = k k) Propiedades 1 E( c X ) = c E( X ), donde c es constante 2 E( X + Y ) = E( X ) + E( Y ) 3 Si X 1,X 2,...,X n son v.a. Entonces 4 E( g(x) ) E( = g(k) P(X = k n i = 1 k) X n = i ) E( Xi ) i = 1

9 9 Varianza de una v.a. X La varianza trata de describir la dispersión de los datos VarX = E 2 ( X - EX ) ) Propiedades 1 Var X = E( X 2 ) - { E(X) } 2 2 Var( c ) = 0, c : constante 2 Var( a X + b ) = a 2 Var X, con a y b constantes Definición Se llama desviación estándar de una v.a. X a la siguiente expresión: σ X = + VarX También mide la dispersión de los datos y tiene la misma unidad de medida que la v.a. X.

10 10 Modelos para v.a.d. Modelo Bernoulli Se llama experimento de Bernoulli a un experimento con las siguientes Características: 1 Se realiza un experimento con dos resultados posibles: w 0 y w 1 tal que: P( w 0 ) = p y P( w 1 ) = q = 1 p 2 La repetición del experimento no altera las probabilidades de w 0 y w 1 Sea X una v.a. se dice que X es Bernoulli ( Notación : X~ Bern(p) ) Si 1 X = 0 ; ; si ocurre w e.o.c. 0 La función de probabilidad está dada por: P(X=x) = p x q 1 x x = 0, 1. EX = p, Var X = p q

11 11 Modelo Binomial Si se repite un experimento Bernoulli n veces, se llama v.a. Binomial ( o modelo Binomial ) a: X : N de veces que ocurre w 0 y la probabilidad asociada está dada por : E X = n p, Var X = n p q Notación: X ~ Bin( n,p ) n P(X= x) = p x Observación: Bern(p) Bin ( 1, p ). x q n - x, x= 0,1,2,...,n.

12 12 Ejemplo Sea X: Número de varones en una familia de tres hijos y sea el evento V: Ser varón, con P(V)=p ( y el evento M: Ser mujer, con P(M)= q =1-p ) Calcular P( X=2 ). Solución 1ª Forma ( Intuición ) X=2 V V M o V M V o M V V P(X=2) = p p q + p q p + q p p = 3 p 2 q 2ª Forma ( Modelo Binomial ) - Cumple las hipótesis del modelo Binomial ( Dos casos. Se asume que la probabilidad no se altera, n=3) P ( X = 2) = p (1- p ) = 3 p q 2

13 13 Modelo Geométrico Si se repite un experimento Bernoulli indefinidamente, se llama v.a. Geométrica ( o modelo Geométrico ) a: X : N de la repetición en la cual se obtiene w 0 por primera vez y la probabilidad asociada está dada por : P(X= x) = q x -1 p ; x = 1,2,3,... E X = 1/p, Var X = q / p 2 Notación: X ~ Geo( p )

14 14 Ejemplo Se lanza una moneda. Calcular la probabilidad que salga cara por primera vez en el 3ª lanzamiento. ( P( C ) = p, P( S ) = q = 1-p ) Solución 1ª Forma ( Intuición ) S S C P( pedida ) = q q p = q 2 p 2ª Forma ( Modelo Geométrico ) - Cumple las hipótesis del modelo Geométrico ( Dos casos. Se asume que la probabilidad no se altera hasta que ocurra éxito por primera vez en el tercer lanzamiento ) P ( X = 3) = (1- p ) p = (1- p) p = q p 2 2

15 15 Modelo Hipergeométrica Un conjunto de N objetos contiene K objetos clasificados como éxitos y N K objetos clasificados como fallas Se toma una muestra de tamaño n, al azar y (sin reemplazo) de entre N objetos, donde K N y n N. Sea X: Número de éxitos en la muestra, entonces X tiene distribución Hipergeométrica y la función de probabilidad es Notación : X ~ HG(N,K,n) K N - k x n - x P(X = x) =, x = N n 0,1,2,..., mín(k, n) E X = n p, Var X = n p q [ (N-n) / (N-1) ], donde p= K / N

16 16 Ejemplo 300 Fumadores Población = 1000 personas, m.a.( 3 ) 700 No Fumadores Sea X: Número de fumadores. Calcular la probabilidad de que una persona fume Solución 1ª Forma ( Intuición ) X=1 F NF NF o NF F NF o NF NF F P(X=1) = 300*700* *300* *699* *999* *999* *999*998 2ª Forma ( Modelo Hipergeométrico ) Cumple las hipótesis del modelo Hipergeométrico P(X = 1) =

17 17 Modelo Poisson Si el número promedio de ocurrencias en un intervalo de tiempo o en una región específica es λ >0. La v.a. X que es igual al número de ocurrencias en el Intervalo o región tiene una distribución de Poisson con tasa λ. La función de probabilidad de la v.a. X está dada por : P(X = x) = λ x e x! - λ, x = 0,1,2,3,... Notación : X ~ P( λ ) E X = λ, Var X = λ Obs: Si X ~ Bin(n,p) con n y p 0, entonces X ~ P( λ ) con λ = n p

18 18 Ejemplo El número promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contador durante un milisegundo en un experimento de laboratorio es 4. Calcule la probabilidad de que entren 6 partículas al contador en un milisegundo determinado Solución Sea X : Número de partículas que entran al contador en un milisegundo determinado X ~ P( 4 ) Se pide la probabilidad que X=6. Luego: P ( X = 6) = 4 6 e 6! - 4 =

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