MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD

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1 MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD M. en C. Juan Carlos Gutiérrez Matus Instituto Politécnico Nacional 2004 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus

2 Modelo Uniforme Discreto Modelo Uniforme Discreto Sea X una VAD finita, la cual posee n valores específicos x 1,x 2,...,x n, cada valor con una probabilidad de 1/n. Esto es, que su función de probabilidad esta definida por: f(x) = 1 n, x = x 1,x 2,...,x n La media y la varianza de la distribución uniforme discreta: E[X] = 1 n n x i, Var(X) = 1 n n (x i E[X]) 2 i=1 i=1 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 1

3 Modelo Uniforme Discreto Modelo Uniforme Discreto Ejemplo: Si seleccionamos aleatoriamente un foco de una caja que contiene cinco focos, de 40, 60, 75, 100 y 150 watts. Sea X los watts del foco seleccionado, entonces es una variable aleatoria discreta con: f(x) = 1 5, x = 40,60,75,100,150 Representación gráfica con un histograma: f(x) 1/5 1/ X IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 2

4 Bernoulli Bernoulli Definición: En muchas ocasiones, un experimento aleatorio se desarrolla al repetir n veces un ensayo. Dicho ensayo tiene dos resultados que se pueden calificar ya sea como un éxito ó como un fracaso. Ya que las repeticiones son independientes una de la otra, las probabilidades de éxito (p) ó fracaso (q = 1 p) se mantienen constantes. A todo el experimento antes descrito se le denomina Proceso de Bernoulli y a cada repetición se le llama Ensayo de Bernoulli, notación: Bern(p) IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 3

5 Distribución Binomial (n, p) Distribución Binomial (n,p) Definición: Si X denota el número de éxitos en n ensayos de Bernoulli con P(éxito) = p, entonces X es una Variable Aleatoria de Binomial, X Bin(n, p). La distribución de esta variable aleatoria discreta es una Distribución Binomial con parámetros n y p. f(x) = b(x;n,p) = ( ) n p x q n x, x = 0,1,2,...,n x E[X] = np, Var(X) = npq IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 4

6 Distribución Binomial (n = 14, p = 0.35) Distribución Binomial (n = 14, p = 0.35) f(x) f(x) = ( ) 14 p x q 14 x x X IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 5

7 Distribución Binomial Distribución Binomial Ejemplo: Al seleccionar cinco productos terminados al azar de un proceso de ensamble, se inspeccionan y se clasifican como defectuosos y no defectuosos. El hallar un defectuoso se designa como un éxito. La probabilidad de encontrar un defectuoso es del 25%. Encuentre la probabilidad de encontrar exactamente 3 defectuosos. No. de Ensayos = 5; No. de Éxitos = 3 Probabilidad de Éxito = 1/4 b(3;5,1/4) = ( 5 3 )( 1 4 ) 3 ( ) 2 3 = = IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 6

8 Áreas de Aplicación 2 Áreas de Aplicación 1 El ingeniero industrial está muy interesado en la proporción de defectuosos en un proceso industrial. A menudo, las mediciones de control de calidad y los esquemas de muestreo para procesos se basan en la distribución binomial. Ésta se aplica en cualquier situación industrial donde el resultado de un proceso es dicotómico y los resultados del proceso son independientes, y la probabilidad de éxito ó fracaso es importante. 1 Walpone & Myers, Probabilidad y Estadística, p.119 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 7

9 Distribución Geométrica (p) Distribución Geométrica (p) Suponga que consideramos secuencia infinita de ensayos de Bernoulli Bern(p).Sea la variable aleatoria X el número de ensayos hasta que el primer éxito es obtenido. Entonces, X es una Variable Aleatoria Geométrica, X Geom(p). Cuando X = x corresponde a x 1 fracasos y un éxito. La distribución de probabilidad de X es una Distribución Geométrica: f(x) = g(x;p) = pq x 1, x = 1,2,3,... E[X] = 1 p, 1 p Var(X) = p 2 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 8

10 Distribución Geométrica (p = 0.4) Distribución Geométrica (p = 0.4) f(x) f(x) = (0.4)(0.6) x X IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 9

11 La Distribución Geométrica no tiene memoria! La Distribución Geométrica no tiene memoria! Suponga que Z Geom(p). Entonces para los números enteros s y t, tenemos: P(Z > s + t Z > s) = P(Z > t) Por qué de esta propiedad de no tener memoria? Si un evento no ha ocurrido para el tiempo s, la probabilidad de que este ocurrirá después de un tiempo adicional t es la misma la probabilidad (a priori) que este ocurrirá después de tiempo t. Estos es que olvidó lo que hizo en el tiempo pasado s. IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 10

12 Distribución Geométrica Distribución Geométrica Ejemplo: En un proceso de fabricación, se sabe que, en promedio, uno de cada 50 artículos está defectuoso. Cuál es la probabilidad de que el cuarto artículo que se inspecciona sea el primer artículo defectuoso que se encuentra? Si usamos la distribución geométrica con x = 4 y p = 1/50. g(4;1/50) = ( )( ) = ( ) IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 11

13 Aplicaciones de la Distribución Geométrica 4 Aplicaciones de la Distribución Geométrica 3 Situaciones en que los ingenieros ó administradores intentan determinar cuán ineficiente es un sistema durante el periodo de tiempo utilizado. Claramente, las pruebas se realizarían antes de que estas representen un costo. Si hay una alta probabilidad de que el sistema falle, entonces se deben hacer planes para rediseñar el sistema. 3 Walpone & Myers, Probabilidad y Estadística, p.135 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 12

14 Distribución Binomial Negativa (p) o Distribución Pascal Distribución Binomial Negativa (p) o Distribución Pascal Suponga que consideramos secuencia infinita de ensayos de Bernoulli Bern(p). Sea la variable aleatoria X el número de ensayos hasta obtener el k ésimo éxito. Entonces, X es una Variable Aleatoria Binomial Negativa, X NegBin(k,p). La distribución de probabilidad de X es una Distribución Binomial Negativa: f(x) = b (x;k,p) = ( x 1 k 1) p k q x k, x = k,k + 1,k + 2,... E[X] = k p, k(1 p) Var(X) = p 2 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 13

15 Distribución Binomial Negativa (k = 3, p = 0.35) Distribución Binomial Negativa (k = 3, p = 0.35) f(x) f(x) = ( ) x 1 2 p 3 q x X IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 14

16 Distribución Binomial Negativa Distribución Binomial Negativa Ejemplo: Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza tres monedas obtenga solo águilas ó solo soles por segunda vez en el quinto lanzamiento. x = 5, k = 2, p = 1 4 b (5;2,1/4) = ( 4 1 ) ( 1 4 ) 2 ( ) 3 3 = 4! 4 1!3! = IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 15

17 Aplicaciones de la Distribución Binomial Negativa 6 Aplicaciones de la Distribución Binomial Negativa 5 Las aplicaciones son muy similares en naturaleza a las de la distribución geométrica. Los intentos son costos en algún sentido y ocurren en sucesión. Una alta probabilidad de que se requiera un número grande de intentos para experimentar un número fijo de éxitos no es benéfica para el ingeniero. 5 Walpone & Myers, Probabilidad y Estadística, p.135 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 16

18 Distribución Hipergeométrica Distribución Hipergeométrica La recuerdan? Esta vez, la variable aleatoria hipergeométrica X representa el número de éxitos de una muestra aleatoria de tamaño n que se selecciona de N artículos, de los que k se denominan éxitos y N k fracasos. f(x) = E[X] = nk N, ( )( ) k N k x n x ( ) N, x = 0,1,2,...,n n Var(X) = N n N 1 n k N ( 1 k ) N IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 17

19 Distribución Hipergeométrica (N = 50, n = 12, k = 20) Distribución Hipergeométrica (N = 50, n = 12, k = 20) f(x) 0.26 ( )( ) f(x) = x ( 12 ) x X IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 18

20 Distribución Hipergeométrica Distribución Hipergeométrica Ejemplo 7 : Lotes de 50 componentes cada uno se denomina aceptable si no contiene más de tres de defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la selección de 6 componentes al azar y rechazar todo el lote si se encuentra algún componente defectuoso. Cuál es la probabilidad de que se encuentre exactamente un defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el lote? 7 Walpone & Myers, Probabilidad y Estadística, p.127 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 19

21 Relación entre la Hipergeométrica y la Binomial Relación entre la Hipergeométrica y la Binomial Cuando n es pequeño comparado con N, la naturaleza de los N artículos cambia muy poco, esto es N n N. De esta forma, la cantidad k/n se aproxima a ser constante y juega el mismo papel que el parámetro binomial p. Así, la distribución binomial se puede ver como una versión de población grande de las distribuciones hipergeométricas. µ = np = nk N, σ2 = npq = n k N ( 1 k ) N IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 20

22 Proceso de Poisson Proceso de Poisson Sea N(t) un proceso de conteo. Esto es, N(t) es el número de ocurrencias (ó arribos, ó eventos) de algún proceso sobre el intervalo de tiempo [0,t]. Sea λ > 0 el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo (ó longitud ó volumen). IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 21

23 Proceso de Poisson Proceso de Poisson Un Proceso de Poisson es un proceso de conteo particular, que cumple con lo siguiente: (1) El número de resultados en dos intervalos mutuamente excluyentes, son independientes. Por lo que el proceso Poisson no tiene memoria. (2) Los resultados ocurren uno a la vez y a un ritmo de λ/unidad de tiempo y este no cambia con el tiempo. (3) La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy pequeño es proporcional a la longitud del intervalo y no depende de el número de resultados que suceden fuera de este. IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 22

24 Distribución de Poisson Distribución de Poisson Sea X el número de resultados en un proceso Poisson(λ) en una unidad del intervalo de tiempo. Entonces X tiene una Distribución de Poisson con parámetro λ. Notación: X Pois(λ). p(x;λ) = e λ λ x, x = 0,1,2,..., λ > 0 x! E[X] = Var(X) = λ IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 23

25 Distribución Poisson (λ = 4.0) Distribución Poisson (λ = 4.0) f(x) f(x) = e 4 4 x x! X IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 24

26 Distribución de Poisson Distribución de Poisson Nota: El valor de λ puede ser cambiado simplemente al cambiar las unidades de tiempo. Ejemplo: X = # de llegadas en 1 minuto. X Pois(3) Y = # de llegadas en 5 minutos. Y Pois(15) Z = # de llegadas en 10 segundos. Z Pois(0.5) IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 25

27 Distribución de Poisson Distribución de Poisson Ejemplo: El número de arribos a las instalaciones de servicio, siguen una distribución Poisson con media de 3 arribos/hr. Cuál es la probabilidad de que arriben menos 4 durante un periodo de 40 minutos? Sea X el número arribos en 40 minutos. Entonces X Pois(2). E[X] = Var(X) = 2 P(X 3) = 3 x=0 p(x;2) = 3 x=0 e 2 2 x x! IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 26