Variables Aleatorias Discretas

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Rubén Giménez Padilla
hace 6 años
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1 Unicatólica 15 de agosto de 2016

2 Variables aleatorias Se dice que hemos definido una variable aleatoria para un experimento aleatorio cuando hemos asociado un valor numérico a cada resultado del experimento. Para designar a las variables aleatorias, se utilizan letras mayúsculas X, Y,..., y las respectivas minúsculas x, y,... para designar valores concretos de las mismas. Variable Aleatoria Discreta (V.A.D) Una variable aleatoria se llama discreta si se puede contar su conjunto de resultados posibles. Las variables aleatorias discretas son variables aleatorias cuyo intervalo de valores es finito o contablemente infinito.

3 Variable Aleatoria Discreta (V.A.D) Función de distribución de probabilidad Sea una X una V.A.D, que toma los valores x 1, x 2,..., x n y se conocen las probabilidades de que la variable X tome dichos valores. Una función de probabilidad no es más que la asignación a cada valor de la variable de la probabilidad que le corresponde. Es decir: f(x i ) = P (X = x i ) Una función se considera como la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X si y sólo si sus valores, f(x i ), cumple las condiciones siguientes: f(x i ) 0 para cada valor de la V.A.D f(xi ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) + f(x 3 ) f(x n ) = 1

4 Variable Aleatoria Discreta (V.A.D) En muchas ocasiones no nos interesa conocer la probabilidad de que la variables aleatoria X tome exactamente un determinado valor x i, sino que puede interesarnos determinar la probabilidad de que tome valores menores o iguales que un cierto valor x i. En tales casos es necesario acumular los distintos valores de la función de probabilidad hasta el valor deseado. Función de distribución de probabilidad acumulada La distribución acumulada F (x) de una variable aleatoria discreta X, cuya distribución de probabilidad es f(x), es: F (x i ) = P (X x i )

5 Variable Aleatoria Discreta (V.A.D) Esperanza Matemática Sea X una V.A.D con distribución de probabilidad f(x). La media o Valor esperado de X es: µ = E(X) = x i P (x i ) Significado de la esperanza Es el valor medio teórico de todos los valores que puede tomar la variable. Representa una medida de centralización.

6 Variable Aleatoria Discreta (V.A.D) Varianza Sea X una V.A.D con distribución de probabilidad f(x) y esperanza (media) µ. La varianza de X es: σ 2 = E[(X µ) 2 ] = (x i µ) 2 f(x i ) Significado de la varianza la varianza va a medir la dispersión o distanciamiento de cada x i, respecto de la media µ. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza σ = σ 2 y mide la dispersión de los datos.

7 Ejercicio Resuelto 1 En la empresa Aseamos S.A.S se le realiza una prueba escrita a 125 empleados sobre el conocimiento de normas se seguridad en el trabajo, y se obtuvieron los siguientes resultados: preguntas acertadas Frecuencia Construya una distribución de probabilidad con base en la distribución de frecuencias anterior. R// Realicemos la tabla de la función de distribución de probabilidad

8 Ejercicio Resuelto 1 X = x i P (X = x i ) / / / / / /125

9 Ejercicio Resuelto 1 Construya una distribución de probabilidad acumulada con base en la distribución de probabilidad anterior. R// X = x i P (X = x i ) F (x i ) = P (X x i ) /125 10/ /125 30/ /125 75/ /125 90/ / / / /125

10 Ejercicio resuelto 1

11 Ejercicio resuelto 1 Calcule la esperanza, la varianza y la desviación estándar. R// Para resolver este punto debemos construir la siguiente tabla: X = x i f(x i ) = P (X = x i ) x i f(x i ) / /125 = 8, / /125 = 16, / /125 = 38, / /125 = 13, / /125 = 18, / /125 = 14,04 Total = 109,44 La media o el valor esperado de respuestas acertadas es de E(X) = µ = x i f(x i ) = 109,44

12 Ejercicio Resuelto 1 Ya sabiendo que la Media es µ = 109,44, construimos la siguiente tabla para hallar la varianza x i x i µ (x i µ) 2 f(x i ) (x i µ) 2 f(x i ) ,44 = 7,44 55, /125 4, ,44 = 4,44 19, /125 3, ,44 = 1,44 2, /125 0, ,44 = 1,56 2, /125 0, ,44 = 4,56 20, /125 3, ,44 = 7,56 57, /125 6,8584 Total=18,8064 La Varianza de respuestas acertadas es de: σ 2 = 18,8064. La desviación estándar de respuestas acertadas es de: σ = 18,8064 = 4,3366.

13 Distribución de probabilidad uniforme Distribución de probabilidad uniforme Si la variable aleatoria X asume los valores x 1, x 2,..., x k, con iguales probabilidades, entonces la distribución discreta uniforme es: f(x i ; k) = 1 k La media se calcula con la formula: Y su varianza con: µ = k i=1 f(x i) k σ 2 = k i=1 (f(x i) µ) 2 k

14 Distribucion de probabilidad Bernoulli El Ensayo de Bernoulli consiste en realizar un sólo experimento (ensayo) en el cual existen únicamente dos posibles resultados: S = éxito, fracaso Definimos a la variable aleatoria de Bernoulli de la siguiente forma: { 0 Si el resultado del ensayo es fracaso; X = 1 Si el resultado del ensayo es exito.

15 Distribucion de probabilidad Bernoulli Supongamos que en un ensayo de Bernoulli la probabilidad de obtener éxito es p. Como el ensayo tiene únicamente dos resultados posibles, entonces la probabilidad de obtener un fracaso es 1 p. llamaremos q a la probabilidad de fracaso. p = Probabilidad de éxito q = (1 p) = Probabilidad de fracaso Con esto la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Bernoulli es: { q Si xi = 0; f(x i ) = P (X = x i ) = p Si x i = 1.

16 Distribucion de probabilidad Bernoulli El proceso de Bernoulli debe cumplir con las siguientes propiedades: El experimento consiste en n intentos repetidos. Los resultados de cada uno de los intentos pueden clasificarse como un éxito o como un fracaso. La probabilidad de éxito, representada por p,permanece constante para todos los intentos. Los intentos repetidos son independientes. La media o valor esperado de la variable aleatoria de Bernoulli es: µ = E(X) = 0 q + 1 p = p Y la varianza es: σ 2 = pq

17 Ejemplo Resuelto 2 En la fabricación de neumáticos se seleccionan, de manera aleatoria, tres de ellos. Se hace una inspección de los neumáticos y se clasifican en defectuosos y no defectuosos. El proceso de fabricación produce en total el 20 % de neumáticos defectuosos. Se considera un éxito la obtención de un artículo defectuoso. R// Observemos el espacio muestral: (D:Defectuoso; ND:No Defectuoso) Resultado x i (ND)(ND)(ND) 0 (D)(ND)(ND) 1 (ND)(D)(ND) 1 (ND)(ND)(D) 1 (ND)(D)(D) 2 (D)(ND)(D) 2 (D)(D)(ND) 2 (D)(D)(D) 3

18 Ejemplo Resuelto 2 el número de éxitos es una variable aleatoria que asume valores enteros de cero a tres. Se obtienen las probabilidades para los posibles resultados con: p = 20 % = 0,20 y q = 1 p = 0,80 Se calculan las probabilidades respectivas: P ((ND)(ND)(ND)) = P (ND)P (ND)P (ND) = (0,80)(0,80)(0,80) = 0,512 P ((D)(ND)(ND)) = P (D)P (ND)P (ND) = (0,20)(0,80)(0,80) = 0,128 P ((ND)(D)(ND)) = P (ND)P (D)P (ND) = (0,80)(0,20)(0,80) = 0,128 P ((ND)(ND)(D)) = P (ND)P (ND)P (D) = (0,80)(0,80)(0,20) = 0,128 P ((ND)(D)(D)) = P (ND)P (D)P (D) = (0,80)(0,20)(0,20) = 0,032 P ((D)(ND)(D)) = P (D)P (D)P (D) = (0,20)(0,80)(0,20) = 0,032 P ((D)(D)(ND)) = P (D)P (D)P (ND) = (0,20)(0,20)(0,80) = 0,032 P ((D)(D)(D)) = P (D)P (D)P (D) = (0,20)(0,20)(0,20) = 0,008

19 Ejemplo Resuelto 2 Construimos la siguiente tabla: X = x i f(x i ) = P (X = x i ) 0,512 0,384 0,096 0,008 F (x i ) = P (X x i ) 0,512 0,896 0,992 1

20 Ejemplo Resuelto 2

21 Ejemplo Resuelto 2 El valor esperado es p = 0,20 y la varianza es pq = 0,20 0,80 = 0,16

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