TALLER N 4 DE ESTADÍSTICA

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1 UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL MAULE FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS PEDAGOGÍA EN MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN TALLER N 4 DE ESTADÍSTICA Integrante 1 : Victor Córdova Cornejo ([email protected]) Integrante 2 : Rodrigo Gutiérrez Aguilar ([email protected]) Carrera : Pedagogía en Matemática y Computación Profesor de Cátedra : Marcelo Rodríguez Fecha : 21/12/211

2 Universidad Católica Del Maule Facultad de Ciencias Básicas Pedagogía en Matemática Y Computación Estadística I Taller 4 - Variables Aleatorias 21 de Diciembre 211. Integrantes: Nombre Victor Rodrigo Apellido Córdova Gutiérrez 1. El tiempo necesario (medido en horas) para reparar una pieza de equipo, en un proceso de manufactura, es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad es: f(x) =, 2 e,2x, x > a) Encuentre la función de distribución acumulada. luego evaluando en t = y t = x obtenemos Sea: F (x) = P (X x) = = e,2t x F (x) = 1 e,2x, 2e,2t dt b) Calcule la probabilidad de que el tiempo necesario para reparar una pieza de equipo sea superior a las 3 horas. P (x > 3) = 1 F (3) = 1 (1 e,2 3 ) = e,6 P (x > 3) =, Contextualizando podemos decir que la probabilidad de que el tiempo necesario para reparar una pieza de equipo sea superior a tres horas es aprox. 55 %

3 c) Calcule la probabilidad de que el tiempo necesario para reparar una pieza de equipo sea igual a 3 horas. pues P (X = 3) = P (3 x 3) = 3 3, 2e,2x dx = Contextualizando podemos decir que la probabilidad de que el tiempo necesario para reparar una pieza de equipo sea de tres horas es % d) Cuál es el tiempo medio esperado para la reparación? E(x) = luego por integración por parte se tiene que: evaluando, obtenemos x, 2e,2x dx xe,2x 5e,2x E(x) = 5 Contextualizando podemos decir que el tiempo medio esperado para la repación es de 5 horas e) Calcule la varianza. como entonces V (x) = luego integrando dos veces por parte se obtiene que: evaluando en la expresión se tiene que : µ = 5 (x 5) 2, 2e,2x dx (x 5) 2, 2e,2x dx = (x 5) 2 e,2x 1(x 5)e,2x 5e,2x V (x) = 25 Contextualizando podemos decir que los tiempos esperados de reparación se desvían 25 del promedio.

4 2. Sea p(x) = c(1 π) x, x = 1, 2, 3, 4,...; < π < 1. a) Calcule c para que p(x) sea una función de probabilidad. sea c(1 π) x = 1 ca x = c(1 π) x ca x es una serie geométrica, de razón a, en nuestro caso, como a = (1 π) y < π < 1, entonces < a < 1 entonces ca x a = c 1 a luego Así b) Calcula P (X < 5) cuando π =, 2. Si por desarrollo de sumatoria se obtiene luego c(1 π) x = c 1 π π c = π 1 π π =, 2 P (x < 5) = 1 (, 8) 4 4 P (x < 5) =, 594, 2 (, 8)x, 8 3. Suponga que los artículos que salen de una línea de producción se clasifican como defectuosos (D) o no defectuosos (N). Se eligen al azar tres artículos de la producción de un día para una inspeccíon. De la produccíon pasada que la proporción de artículos defectuosos es de 2 %. a) Encuentre el espacio muestral asociado al experimento Ω={DDD, DDN,DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}

5 b) Se define la variable aleatoria X = número de artículos defectuosos de un total de 3 artículos. Identifique el recorrido de la variable aleatoria, el número de ocurrencias de cada valor de la variable aleatoria y la probabilidad de que ocurra cada valor que indica la variable aleatoria. Resultados Posibles (Ω) Recorrio de la Variable (R x ) Número de Ocurrencia Probabilidad (P(X=x) (DDD) 3 1,8 (DDN) (DND) (NDD) 2 3,96 (DNN) (NDN) (NND) 1 3,384 (NNN) 1,512 c) Determine la función de probabilidad para el número de artículos defectuosos resultantes en la inspección. d) Encuentre la esperanza y varianza. p x (x) = ( ) 3, 2 x, 8 3 x x Como n=3, p=,2 y q=,8 se tiene que: E(x) = 3, 2 y V (x) = 3, 2, 8 y E(x) =, 6 V (x) =, Suponga una máquina que produce un 7 % de artículos defectuosos y que toda la producción de esta máquina se revisa para determinar si los artículos resultaron buenos (B) o defectuosos (D). El experimento concluye una vez que se ha encontrado el primer artículo defectuoso. Entonces, el proceso se detiene y la máquina es ajustada. Encuentre la función de probabilidad para la variable aleatoria X definida como el número de artículos producidos hasta que la máquina es ajustada nuevamente. Sea P(D), la probabilidad de encontrar articulos defectuosos ( nuestro éxito ). Sea P(B), la probabilidad de encontrar articulos no defectuosos ( nuestro fracaso ). Luego P (D) =, 7 P (B) =, 93, así la función de probabilidad para la variable aleatoria X es p x (x) =, 7, 93 x