Ejercicio 1(12 puntos)

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1 ESTADISTICA Y SUS APLICACIONES EN CIENCIAS SOCIALES. Primer Parcial Montevideo, 30 de mayo de Nombre: Horario del grupo: C.I.: Profesor: Ejercicio 1(12 puntos) En las elecciones departamentales se vota en forma conjunta un candidato para Intendente a nivel Departamental y un Alcalde a nivel municipal. La ciudad de Montevideo tiene un total de 8 municipios. En base al comportamiento electoral de las votaciones anteriores y a información recogida por un determinado partido político, se prevé una alta proporción de votantes en blanco a la próxima elección de Alcalde. Se busca estimar la proporción de votantes en blanco a la elección de Alcalde (nivel Municipal). Una consultora releva una muestra de tamaño 100 y obtiene que 40 de los encuestados manifiesta que va a votar en blanco. 1. Construya un estimador para la proporción de votantes en blanco en la población. Explicite su distribución muestral y el valor estimado en este caso. 2. Suponga que la verdadera proporción de ciudadanos que votarán en blanco es del 50%. Cuál es la probabilidad de haber obtenido una estimación muestral del 40% o menor? Explicite los cálculos que realiza y fundamente paso a paso. 3. Cuál es el tamaño de muestra mínimo óptimo, si se está dispuesto a tolerar en la estimación puntual un error de 3% y se requiere un nivel de confianza del 99%? Ejercicio 2 (10 puntos) Pasada las elecciones, se sabe que el partido del nuevo intendente electo en la ciudad de Montevideo ha obtenido 6 de los 8 Municipios, en tanto que los dos restantes fueron obtenidos por la oposición. El flamante intendente desea desarrollar un nuevo plan piloto de clasificación de residuos, pero tiene presupuesto para desarrollarlo inicialmente solamente en dos municipios. Suponga que se seleccionan los Municipios al azar. 1) Defina la variable aleatoria de interés, su recorrido, su distribución y el valor de los parámetros que la definen si se desean calcular las siguientes probabilidades: 2) Cuál es la probabilidad que los dos Municipios seleccionados sean administrados por la Oposición? 3) Cuál es la probabilidad que los dos sean del partido del Intendente?

2 Ejercicio 3 (10 puntos) Considere el experimento aleatorio consistente en tirar una moneda tres veces. Se pide: a) Defina el espacio de resultados y calcule la probabilidad de cada uno de los eventos elementales. b) Considere las variables aleatorias X=número de caras obtenidas e Y= número de números. Obtenga las cuantías correspondientes PX(x) y PY(y). Calcule los valores esperados E(X) y E(Y). c) Escriba la cuantía conjunta PXY(x,y). Son independientes X e Y? Ejercicio 4 (8 puntos) En cierta ciudad la distribución de los alquileres pagados por los hogares que alquilan sigue una distribución normal con una media de pesos, y desviación estándar igual a Se toma una muestra aleatoria simple con reposición. Calcular las probabilidades de que la media muestral: a) Se encuentre comprendida entre y b) Se encuentre comprendida entre y c) Sea mayor que 19000

3 SOLUCION Ejercicio 1(10 puntos) a. Variable de interés: X = decisión de voto del individuo. X Bernoulli(p) Estimador del parámetro p : votantes., donde las Xi valen 1 para los votantes y 0 para los no La muestra es grande (n=100). La distribución aproximada de la proporción muestral es Estimación puntual: b. Se supone que el p poblacional es igual a 0.5, y nos solicita calcular la probabilidad de que sea menor a 0.4. Utilizamos la distribución aproximada de para obtener las probabilidades solicitadas. ( ) Según la letra p = 0.5 y σ = = = Por tanto la distribución aproximada de es: Entonces: ( ) ( ). Si la verdadera proporción poblacional es 0.5, entonces la probabilidad de obtener una estimación muestral (para n=100) menor o igual a 0.4 es pequeña.

4 c. El tamaño de muestra óptimo viene dado por: ( ) En este caso tenemos: El tamaño de muestra mínimo óptimo para el error tolerado (3 puntos porcentuales) y el nivel de confianza requerido (99%) es de 1849 (por tanto el tamaño que se tomó no resulta suficiente). Ejercicio 2 (12 puntos) Se define la variable aleatoria de interés X = Cantidad de municipios de la oposición de entre los dos seleccionados Rec (X) = {0, 1, 2} X ~ Hipergeométrica (8; 2; 0,25) => A = N.p = 8*(0,25) = 2 Es muy poco probable que salgan seleccionados los dos municipios administrados por la oposición. Existe una probabilidad mayor a un medio de que los dos seleccionados sean del partido del Intendente.

5 Ejercicio 3 (10 puntos) Considere el experimento aleatorio consistente en tirar una moneda tres veces. Se pide: a) Espacio de resultados: Ω = {CCC, CCN, CNC, CNN, NCC, NCN, NNC, NNN} La probabilidad de cada uno de los eventos elementales es igual a 1/8. Es la probabilidad de la intersección de los resultados de tres tiradas individuales con probabilidad ½. Los resultados de las tiradas son independientes, por lo que la probabilidad de cualquier resultado es igual a (1/2) 3 =1/8. b) X=número de caras obtenidas; Y= número de números. Funciones de cuantía: 1/8 si X=0 1/8 si Y=0 3/8 si X=2 3/8 si Y=1 PX(x) = 3/8 si X=3 PY(y) = 3/8 si Y=2 1/8 si X=3 3/8 si Y=3 0 en otro caso 0 en otro caso La cuantía se obtiene sumando las probabilidades de los eventos elementales para los que X=x y Y=y respectivamente. P(X=0) = P(NNN) = 1/8; P(X=1) = P(NNC NCN CNN) = P(NNC) + P(NCN) + P(CNN) = 3/8; P(X=2) = P(CCN CNC NCC) = P(CCN) + P(CNC) + P(NCC) = 3/8; P(X=3) = P(CCC) = 1/8. Las probabilidades para Y se obtienen en forma análoga Valores esperados: E(X) = 0 1/ / / /8 = 14/8 E(Y) = 0 1/ / / /8 = 14/8

6 c) Cuantía conjunta PXY(x,y). X \ Y / / / / X e Y no son independientes pues no se cumple que PXY(x,y) = PX (x) PY(y) para todos los valores de x e y. Ejercicio 4 (8 puntos) En cierta ciudad la distribución de los alquileres pagados por los hogares que alquilan sigue una distribución normal con una media de pesos, y desviación estándar igual a Se toma una muestra aleatoria simple con reposición. Calcular las probabilidades de que la media muestral: La variable de interés Por lo tanto obtenemos que a) [ ] b)

7 [ ] [ ] c)