Inferencia Estadística

Transcripción

1 Inferencia Estadística 2do C Mg. Stella Figueroa Clase Nº10

2 Población y Muestra- Parámetro y Estimación puntual Población: Es el conjunto de todos los elementos o unidades elementales con características comunes. Cada característica a estudiar es una variable observada en la población. Muestra: Es un subconjunto de la población al que tenemos acceso y sobre el que efectuamos las mediciones. Parámetro : Es una característica numérica que describe una variable observada en la población Estimación puntual: Es una característica numérica que describe una variable observada en la muestra

3 Muestreo Aleatorio Simple (M.A.S.) Muestra aleatoria En el M.A.S, cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido para formar parte de la muestra. Cada muestra del mismo tamaño tiene la misma probabilidad de ser seleccionada. Dada una población donde observamos la variable aleatoria X, con características numéricas µ y σ 2, una Muestra aleatoria simple de tamaño n, es un conjunto de n variables aleatorias, X1, X2, X3,.Xn que verifican: Ser Independientes entre sí Cada Xi tiene idénticas características numéricas que X El muestreo aleatorio simple en poblaciones finitas se realiza con reemplazamiento. Este procedimiento garantiza la independencia de las observaciones. La selección aleatoria de los elementos se realiza con una tabla de números aleatorios, o con algún procedimiento informático.

4 Población en la que se observa una variable aleatoria X Pasos de un muestreo Se decide extraer una muestra aleatoria simple de tamaño n, compuesta por las variables aleatorias X1, X2, X3,.Xn Independientes e idénticamente distribuidas Se seleccionan n elementos de la población También son los valores observados de la variable estadística asociada a la variable aleatoria X Los elementos seleccionados generan n números x1 x3, x3.xn, Son los valores observados de las variables aleatorias X1, X2, X3,.Xn

5 Inferencia Estadística Muestra 1. Representativa de la población. 2. Aleatoria Podemos asegurarnos que son buenas estimaciones? Parámetros desconocidos El objetivo de tomar una muestra es obtener información sobre los parámetros no conocidos de la población x s 2 p Estos valores numéricos son estimaciones puntuales

6 Estimaciones puntuales y Estadísticos o Estimadores Las estimaciones son valores numéricos de la variable estadística media muestral x Distribución de frecuencias de las estimaciones de la media poblacional μ Distribución de frecuencias de las estimaciones de la proporción poblacional ρ Las estimaciones son valores numéricos de la variable estadística proporción muestral El Estadístico o Estimador de la media poblacional o de la proporción poblacional, es la variable aleatoria asociada a la variable estadística media muestral o proporción muestral respectivamente. Su distribución de probabilidad se conoce como distribución muestral del estadístico respectivo.

7 Estimaciones puntuales y Estadísticos o Estimadores. Definiciones y Ejemplos Si X es una variable aleatoria con distribución de probabilidades f(x), caracterizada por el parámetro desconocido y si x x x es una muestra aleatoria de tamaño n, entonces ˆ 1, 2,..., n es un estimador de y es una variable aleatoria porque resulta de cualquier operación efectuada con las variables de la muestra aleatoria. Una Estimación puntual es el valor numérico que toma un estimador. Se calcula con los datos de la muestra, del cual se espera que estime un parámetro poblacional. La media muestral es un estadístico o estimador de μ. El valor numérico de la media muestral es la estimación puntual de μ La varianza muestral S 2 es un estadístico o estimador de σ 2. El valor numérico de la varianza muestral es la estimación puntual de σ 2 La frecuencia relativa o proporción muestral es un estadístico o estimador de P. El valor numérico de la proporción muestral es una estimación puntual de P

8 Propiedades de los estimadores Propiedad de insesgadura: ˆ Un estimador es un estimador insesgado del parámetro si E( )= ˆ Es decir, la esperanza del estimador muestral es el parámetro poblacional. Ejemplos: la media y la varianza muestrales son estimadores insesgados de μ y σ 2 Respectivamente. Demostrarlo Propiedad de eficiencia: Un estimador ˆ es más eficiente que otro estimador ˆ 2 1 Si es insesgado de y la varianza de es menor que la varianza de ˆ 2 1 ˆ

9 Propiedades de los estimadores Propiedad de suficiencia: Un estimador es suficiente si utiliza toda la información de la muestra. La media muestral es un estimador suficiente de El modo no es un estimador suficiente de

10 Distribuciones asociadas al muestreo. Distribución Chi-Cuadrado Sean x1, x2,..., xn variables aleatorias independientes y distribuidas en forma normal estandarizada. Entonces la variable aleatoria x1 x2 x3... xn Tiene distribución Chi-Cuadrado con n grados de libertad. Es no negativa y asimétrica hacia la derecha. La media y la varianza de esta distribución es n 2 2n

11 Distribución muestral del estadístico 2 n 1 Si S n 2 i 1 x x 2 i n 1 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal que tiene una varianza 2 Entonces la variable aleatoria muestral 2 n1 2 n1 S Se utiliza en inferencia, tanto para estimar la varianza poblacional por intervalo, como para contrastar hipótesis de la varianza poblacional 2 Se distribuye como 2 n 1 gl=2 gl=3 gl=4 gl=5 0 2 Chi2 6 8

12 Tabla de Chi-Cuadrado

13 Distribución T de Student Se utiliza en inferencia, tanto para estimar la media poblacional como para contrastar hipótesis de la media poblacional para muestras pequeñas, cuando se desconoce la varianza poblacional

14 Tabla t -Student

15 Distribución F Esta distribución muestral se utiliza para comparar varianzas