Conceptos básicos de inferencia estadística (I): Inferencia estadística (repaso)

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1 Conceptos básicos de inferencia estadística (I): Inferencia estadística (repaso) Tema 1 (I) Estadística 2 Curso 08/09 Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 1 / 24

2 Inferencia estadística Objetivo Inferencia estadística (repaso) Objetivo Obtención de información acerca de un conjunto numeroso de objetos (población) a partir de un número reducido de éstos (muestra). Realizar inferencias sobre alguna característica (variable) de interés de un fenómeno aleatorio a partir de la información disponible sobre lo que ocurrió en el pasado (muestra). Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 2 / 24

3 Método Inferencia estadística (repaso) Método Población X v.a. de interés Selección de la muestra Muestra Distribución de la variable en la población Inferencia estadística Distribución de la variable en la muestra Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 3 / 24

4 Método Inferencia estadística (repaso) Inferencia estadística paramétrica Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 4 / 24

5 Selección de la muestra: Muestra aleatoria simple Muestra aleatoria simple Consideraremos muestreo aleatorio simple con reemplazamiento: Seleccionamos al azar n elementos con reemplazamiento de la población; el conjunto de valores que toma la variable en la muestra fx 1, x 2,, x n g se denomina muestra observada (de tamaño n) Consideramos que estos valores son observaciones/realizaciones de n variables aleatorias, el conjunto de estas v.a. s fx 1,..., X n g se denomina muestra aleatoria simple. X i valor que toma la variable de interés en el elemento i-ésimo de la muestra X i i.i.d. (X ) Ejemplo: si X N µ, σ 2 ) X i i.i.d. N µ, σ 2 Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 5 / 24

6 Estimación puntual Métodos de inferencia estadística Estimación puntual Estamos interesados en una variable aleatoria X La función de distribución F θ (x) depende de un parámetro desconocido θ Objetivo: aproximar el verdadero valor de θ. Solución: estimación puntual (herramienta de la inferencia estadística paramétrica) Procedimiento: emplear una muestra para aproximarlo (y obtener información adicional) Estadístico: Cualquier función T (X 1, X 2,..., X n ) de la muestra Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 6 / 24

7 Estimador y estimación puntual Estimador puntual Estimador puntual: Estadístico ˆΘ n ˆΘ n (X 1, X 2,..., X n ) que se emplea para aproximar el parámetro de interés θ Estimación puntual: valor observado ˆθ n del estimador ˆΘ n (resultado de sustituir las v.a. s por sus valores observados ˆθ n = ˆΘ n (x 1, x 2,..., x n )) Ejemplos: Media muestral: ˆΘ n (X 1, X 2,..., X n ) = 1 n Varianza muestral: ˆΘ n (X 1, X 2,..., X n ) = 1 n n X i = X i =1 n i =1 Cuasi-varianza muestral: ˆΘ n (X 1, X 2,..., X n ) = 1 n 1 n i =1 X i X 2 = S 2 X i X 2 = Ŝ 2 Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 7 / 24

8 Distribución de un estimador en el muestreo Distribución del estimador en el muestreo El estimador ˆΘ n (X 1, X 2,..., X n ) támbién es una variable aleatoria con una distribución de probabilidad, llamada distribución en el muestreo de ˆΘ n, ya que depende de: la distribución de la variable de interés, del muestreo empleado, de la función ˆΘ n. Esta distribución permite evaluar los resultados que proporciona. Podemos "hablar" de: E ˆΘ n (exactitud) Var ˆΘ n (precisión) Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 8 / 24

9 Ejemplos Inferencia estadística (repaso) Ejemplos distribuciones de estimadores Si X 1,..., X n es una m.a.s. de una v.a. X N µ, σ 2, entonces: La media muestral X veri ca: X N Equivalentemente: X µ σ p n N (0, 1) µ, σ2 n La varianza muestral S 2 y la cuasivarianza muestral bs 2,veri can: ns 2 σ 2 = (n 1) bs 2 σ 2 = n i=1 X i X 2 σ 2 χ 2 n 1 Equivalentemente: S 2 σ2 n χ2 n 1 ; bs 2 σ2 n 1 χ2 n 1 Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 9 / 24

10 Propiedades de los estimadores Estimadores insesgados Propiedades de los estimadores Se dice que ˆΘ n = ˆΘ n (X 1, X 2,..., X n ) es un estimador insesgado (centrado) de θ si: E ˆΘ n = θ Si E ˆΘ n = θ + b(θ) se dice que ˆΘ n es sesgado (descentrado) y: Sesgo ˆΘ n = b(θ) = E ˆΘ n Se dice que ˆΘ n es un estimador asintóticamente insesgado de θ si: lim n! E ˆΘ n = θ 8θ θ Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 10 / 24

11 Estimadores e cientes Propiedades de los estimadores Se denomina precisión o e ciencia de un estimador insesgado ˆΘ n ˆΘ n (X 1, X 2,..., X n ) de θ a: 1 E c ˆΘ n = Var ˆΘ n Se dice que un estimador insesgado ˆΘ n de θ es e ciente si es de varianza mínima: Var ˆΘ n Var ˆΘ n 8 ˆΘ n estimador insesgado de θ Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 11 / 24

12 Propiedades de los estimadores Error cuadrático medio Cuando se trabaja con estimadores sesgados, se suele utilizar el error cuadrático medio en lugar de la varianza. Se de ne el error cuadrático medio de un estimador ˆΘ n de θ como: ECM ˆΘ n = E ˆΘ n θ 2 = Sesgo ˆΘ n 2 + Var ˆΘ n Se dice que ˆΘ n es consistente en media cuadrática si: lim ECM n! ˆΘ n = 0 8θ 2 Θ o equivalentemente lim n! Sesgo ˆΘ n = lim n! Var ˆΘ n = 0 En el caso general, se denomina precisión o e ciencia a: E c ˆΘ n = 1 ECM ˆΘ n Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 12 / 24

13 Ejemplos Inferencia estadística (repaso) Propiedades de los estimadores Si X 1,..., X n m.a.s. de X con E (X ) = µ y Var(X ) = σ 2, entonces: X es un estimador insesgado de µ E X = 1 n n E (X i ) = µ i=1 Si X N µ, σ 2, X es un estimador e ciente de µ. S 2 es un estimador sesgado (asintóticamente insesgado) de σ 2 :! E S 2 n 1 = E n Xi 2 X 2 = σ 2 σ 2 i=1 n bs 2 = 1 n 1 n i=1 X i X 2 es un estimador insesgado de σ 2 : E S b 2 = n n 1 E S 2 = σ 2 Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 13 / 24

14 Estimación por intervalo de con anza Estimación por intervalo de con anza Estamos interesados en una variable aleatoria X La función de distribución F θ (x) depende de un parámetro desconocido θ Objetivo: Además de aproximar el verdadero valor de θ nos interesará tener algún tipo de medida del error que podemos cometer Solución: estimación por intervalo de con anza (herramienta de la inferencia estadística paramétrica) Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 14 / 24

15 Intervalo de con anza Intervalo de con anza Se denomina Intervalo de Con anza para el parámetro θ con nivel de con anza 1 α, a un intervalo aleatorio: IC (1 α) (θ) = Θ b I (X 1,..., X n ), bθ S (X 1,..., X n ) cuyos límites son estadísticos que no dependen del parámetro y tales que: P Θ b I (X 1,..., X n ) θ bθ S (X 1,..., X n ) = 1 α El intervalo numérico correspondiente a unos valores observados x 1,..., x n : I = b θ I, bθ S Θ b I (x 1,..., x n ), bθ S (x 1,..., x n ) se denomina estimación por intervalo de con anza de θ con nivel de con anza 1 α. NOTA: Habitualmente 1 α = 0.9, 0.95 o Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 15 / 24

16 Intervalo de con anza Interpretación Intervalo de con anza Si se muestrea repetidamente la población, el 100 (1 α) % de los intervalos resultantes contendrán el verdadero valor del parámetro 20,00 lim_inf lim_sup 15,00 IC 10,00 5,00 0, Muestra Con amos en que el obtenido con una muestra contenga al parámetro Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 16 / 24

17 Obtención de I.C. usando estadísticos pivotales Obtención de I.C. usando estadísticos pivotales Esquema general Fijado un valor 1 α (0 < α < 1), el procedimiento general para la construcción de un intervalo de con anza al nivel 1 α para un parámetro de interés θ consta de los siguientes pasos: 1 Elección del estadístico pivotal. Se elige un estadístico con distribución conocida, p.e.: T (X 1,..., X n, θ) = ˆΘ n θ σ ˆΘ n 2 Planteamiento del enunciado probabilístico. Se determinan constantes (cuantiles) a y b tales que P (a < T (X 1,..., X n, θ) < b) = 1 α NOTA: si la distribución es simétrica a = b Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 17 / 24

18 Obtención de I.C. usando estadísticos pivotales 3. Transformación del enunciado probabilístico. Despejar θ de la expresión anterior, p.e suponiendo distribución simétrica: P ˆΘ n bσ ˆΘ n < θ < ˆΘ n + bσ ˆΘ n = 1 α Entonces, el intervalo de con anza para el parámetro es: IC (1 α) (θ) = ˆΘ n bσ ˆΘ n, ˆΘ n + bσ ˆΘ n Dada una realización de la muestra fx 1, x 2,, x n g, sustituyendo estos valores en el intervalo probabilístico se obtiene la correspondiente estimación por intervalo de con anza: I = ˆθ n bσ ˆθ n Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 18 / 24

19 Intervalo de con anza para la media Intervalo de con anza para la media (de una población normal con varianza desconocida) 1 Elección del estadístico pivote: p n X µ Ŝ t n 1 2 Planteamiento del enunciado probabilístico: P t n 1,1 α/2 < p n X µ Ŝ < t n 1,1 α/2 = 1 α 3 Transformación del enunciado probabilístico: Ŝ Ŝ P X t n 1,1 α/2 pn < µ < X + t n 1,1 α/2 pn = 1 α Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 19 / 24

20 Intervalo de con anza para la media Por tanto: Ŝ Ŝ IC (1 α) (µ) = X t n 1,1 α/2 pn, X + t n 1,1 α/2 pn Evaluando para una realización particular de la muestra x 1,..., x n, obtendríamos una estimación por intervalo de con anza al 100(1 del parámetro µ : bs bs I = x t n 1,1 α/2 p, x + t n 1,1 α/2 p n n α)% Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 20 / 24

21 Ejemplo intervalo de con anza para la media Ejemplo Problema 1.1 X ="tiempo de respuesta de un sistema informático (a las doce horas de un día laborable)". Muestra observada de tamaño n = 41 con: x = y bs 2 = A partir del estadístico: p X µ n t 40 Ŝ como t 40,0.975 ' 2, entonces: IC 0.95 (µ) = X 2p Ŝ, X + 2 Ŝ p y la estimación por IC: p 5.14, p = ( ) = (18.81, 22.03) Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 21 / 24

22 Intervalo de con anza para la varianza (de una población normal) Intervalo de con anza para la varianza 1 Elección del estadístico pivote: (n 1) Ŝ 2 σ 2 χ 2 n 1 2 Planteamiento del enunciado probabilístico: P χ 2n (n 1) Ŝ 2 1,α/2 < σ 2 < χ 2 n 1,1 α/2 = 1 α NOTA: La distribución χ 2 n no es simétrica χ2 n 1,α/2 6= χ2 n 1,1 α/2 1 Transformación del enunciado probabilístico:! (n 1) Ŝ 2 P χ 2 < σ 2 (n 1) Ŝ 2 < n 1,1 α/2 χ 2 = 1 α n 1,α/2 Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 22 / 24

23 Intervalo de con anza para la varianza Por tanto: IC (1 α) σ 2 = (n 1) Ŝ 2 χ 2, n 1,1 α/2! (n 1) Ŝ 2 χ 2 n 1,α/2 Evaluando para una realización particular de la muestra x 1,..., x n, obtendríamos una estimación por intervalo de con anza al 100(1 del parámetro σ 2 :! (n 1) bs2 (n 1) bs2 I = χ 2, n 1,1 α/2 χ 2 n 1,α/2 α)% Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 23 / 24

24 Ejemplo intervalo de con anza para la varianza Ejemplo Problema 1.1 X ="tiempo de respuesta de un sistema informático (a las doce horas de un día laborable)". Muestra observada de tamaño n = 41 con bs 2 = A partir del estadístico: (n 1) Ŝ 2 σ 2 χ 2 40 como χ 2 40,0.025 = y χ2 40,0.975 = 59.34, entonces: (n 1) Ŝ 2 40Ŝ 0.95 = P < σ 2 < = 2 P < σ2 < 40Ŝ y la estimación por IC: , = (17.84, 43.34) Tema 1 (I) (Estadística 2) Inferencia estadística Curso 08/09 24 / 24