Estadística I Tema 5: Introducción a la inferencia estadística

Transcripción

1 Estadística I Tema 5: Introducción a la inferencia estadística

2 Tema 5. Introducción a la inferencia estadística Contenidos Objetivos. Estimación puntual. Bondad de ajuste a una distribución. Distribución de la media muestral. Intervalo de confianza para la media.

3 Inferencia estadística Objetivo: Estudiar las características de interés de una población a través de la información contenida en una muestra. Identificamos el concepto de población estadística con el concepto de población sobre la que se define la variable aleatoria X, que es objeto de estudio. La ley o distribución de la población es la distribución de los valores de la variable aleatoria de interés, X. Por ejemplo, X puede tener una distribución normal de parámetros µ y σ, X N (µ, σ). El objetivo fundamental de la inferencia estadística es inferir los valores de los parámetros poblacionales o de determinadas características de una variable aleatoria, como la media poblacional, que sean desconocidos, basandonos en la información proporcionada por una muestra.

4 Muestreo Una muestra es un subconjunto finito de una población. El número de individuos que forman la muestra se denomina tamaño muestral. En la práctica no suele ser habitual estudiar todos los elementos de una población ya que: los elementos pueden existir conceptualmente, pero no en la realidad (población de piezas defectuosas que producirá una máquina en su vida útil). puede ser inviable económicamente estudiar a toda la población. el estudio llevaría tanto tiempo que sería impracticable e incluso las propiedades de la población podrían variar con el tiempo (encuestas electorales). el estudio puede implicar la destrucción del elemento (estudio de la vida media de una partida de bombillas, estudio de la tensión de rotura de unos cables,... ).

5 Muestreo aleatorio simple Un muestreo aleatorio simple consiste en seleccionar aleatoriamente miembros de una población de tal manera que: cada elemento de la población tenga la misma probabilidad de ser escogido, asegurando, de esta manera, la representatividad de la muestra de cara a la población; y las selecciones se realizan con reposición, de tal manera que la población es identica en todas las extracciones. Notar que si el tamaño de la población (N) es grande con respecto al tamaño muestral (n) es indiferente hacer el muestreo con o sin reposición.

6 Muestra aleatoria simple Sea X la variable aleatoria estudiada con distribución F. Una muestra aleatoria simple de tamaño n es un conjunto de n v.a. X 1,..., X n tal que: X1,..., X n tienen todas la distribución F (X i F, i). X1,..., X n son independientes entre si. Cada valor concreto x 1,..., x n de dicha m.a.s. se denomina muestra particular. Un estadístico es una función real de la m.a.s. X 1,..., X n. Por tanto, un estadístico es una variable aleatoria (a diferencia de un parámetro que es un número fijo, inherente a la población).

7 Uso de la muestra aleatoria simple Supongamos una v.a. para la que desconocemos el valor de E [X ]. Para estimar el valor de E [X ], es habitual utilizar una m.a.s. para obtener el estadístico media muestral: n X = 1 n i=1 X i Notar que X es una variable aleatoria. Ahora, para una muestra particular x 1,..., x n, obtenemos el valor numérico particular x = 1 n n i=1 x i. OBS: X x. Veremos más adelante porqué X es un buen estimador de E [X ], pero antes veamos un ejemplo.

8 Ejemplo de muestreo e inferencia Tenemos una población compuesta de N = 24 individuos (población finita) donde la variable de interés es X = Tiempo para completar una consulta médica. Los valores poblacionales (en minutos) son: 5,1 1 0,9 3,8 10,2 2,1 9,5 4,5 1 2,2 1,5 4,8 1,6 8,8 4, ,1 0,2 2,3 0,8 7,8 7,7 1,5 Por lo tanto, la media poblacional es E [X ] = 4. 15,00 DATOS POBLACIÓN 11,25 7,50 3,75 Muestreo 0! Parámetros población,! 10,0 9,5 DATOS MUESTRA 7,5 5,0 2,5 0 3,8 4,5 1,6 0,2 0,8 1,5! Inferencia Parámetros muestra, l

9 Ejemplo de muestreo e inferencia Seleccionamos una m.a.s. de tamaño 7 dada por: 3,8 9,5 4,8 1,6 0,2 0,8 1,5 La media muestral de estos valores es x = 3,171. Por lo tanto, el error (sesgo) relativo es (4 3,171) /4 = 0,207. Si a la m.a.s. anterior le añadimos nuevos elementos, la media muestral cambia. De hecho, vemos que el aumento reiterado de elementos hace que la media muestral converja a la media poblacional. 6,0 CAMBIO EN EL PROMEDIO CON EL TAMAÑO MUESTRAL 4,5 3,0 3,1 3,3 3,9 3,6 4,0 4,1 4,6 4,6 4,4 4,2 4,1 4,4 4,4 4,3 4,3 4,0 4,2 4,0 1, Tamaño muestral

10 Ejemplo de muestreo e inferencia Por otro lado, si seleccionamos otra m.a.s. de tamaño 7 obtenemos: 5,1 1 0,9 3,8 10,2 2,1 9,5 que tiene media muestal x = 4,65. Un histograma con todos los posibles valores de la media muestral para muestras de tamaño 7 es el siguiente: DISTRIBUCION DE MEDIAS MUESTRALES TAMAÑO

11 Ejemplo de muestreo e inferencia A continuación, comparamos los histogramas con todos los posibles valores de la media muestral para muestras de tamaño 7 y 17: DISTRIBUCION DE MEDIAS MUESTRALES TAMAÑO DISTRIBUCION DE MEDIAS MUESTRALES TAMAÑO

12 Muestreo aleatorio simple Conclusiones Una muestra aleatoria simple de tamaño n de una v.a. X es un conjunto de v.a. independientes, todas con la misma distribución que X : {X i } n i=1 i.i.d. La media muestral, X, es una variable aleatoria. En general, los estadísticos son variables aleatorias que dependen de la selección aleatoria de los individuos de la muestra.

13 Media muestral Calculemos la esperanza y la varianza de la v.a. X para mostrar las razones que hacen a X ser un buen estimador de E [X ]. Para ello, utilizamos dos propiedades de la esperanza y la varianza de sumas de variables alteatorias. Sea X 1,..., X n una m.a.s. de una v.a. X con esperanza E [X ] y varianza V [X ]. Entonces: y E [a 1 X a n X n ] = a 1 E [X 1 ] + + a n E [X n ] V [a 1 X a n X n ] = a 2 1V [X 1 ] + + a 2 nv [X n ], para cualesquiera números reales a 1,..., a n.

14 Media muestral Aplicando las propiedades anteriores, obtenemos: E [ X ] [ ] 1 n = E X i = 1 n E [X i ] = 1 n E [X ] = E [X ] n n n y V [ X ] = V [ 1 n i=1 i=1 ] n X i = 1 n n 2 V [X i ] = 1 n 2 i=1 i=1 i=1 n i=1 V [X ] = V [X ] n Por lo tanto, el valor esperado de X es E [X ]. Decimos que X es insesgado para estimar E [X ]. Además, como V [ X ] = V [X ] /n, cuanto mayor sea n, más cerca se espera que esté X de E [X ]. Estas propiedades justifican el uso de X como estimador de E [X ].

15 Distribución de Bernoulli Los resultados anteriores permiten obtener estadísticos que podemos utilizar para estimar los parámetros de las distribuciones consideradas en el Tema 4 conocidos los valores de una m.a.s. En primer lugar, sea X una variable aleatoria con una distribución Bernoulli de parámetro p, X Ber (p). Por lo tanto, { 1 con probabilidad p X = 0 con probabilidad 1 p p es la probabilidad de éxito, también llamada proporción de éxitos. Notar que E [X ] = p y que V [X ] = p (1 p).

16 Distribución de Bernoulli Supongamos que tenemos una m.a.s. de tamaño n de la v.a. X. El objetivo es estimar el valor del parámetro p basado en la m.a.s. X 1,..., X n. Puesto que p, la probabilidad de éxito, es el valor esperado de X, podemos estimar p como sigue: p = X Además, por los resultados anteriores, tenemos que: E [ p] = p y V [ p] = p (1 p) n por lo que si el tamaño muestral es muy grande p debe estar muy cerca de p.

17 Ejemplo En un pueblo, Pablo se quiere presentar a alcalde. Como quiere conocer las posibilidades que tiene, Pablo decide hacer una pequeña encuesta para estimar la proporción de personas que le votarían. Suponemos la v.a. X = Votar a Pablo que toma dos valores, 1, si la persona seleccionada pretende votar a Pablo, y 0, si no. Tomamos una muestra de tamaño 10 obteniendo los valores: Por lo tanto, la proporción estimada de presuntos votantes de Pablo es p = 0,5.

18 Distribución Binomial A continuación, sea Y una variable aleatoria con una distribución Binomial de parámetros m y p, Y B (m, p). Por lo tanto, ( ) m P (Y = y) = p y (1 p) m y y para y = 0, 1,..., m. Recordamos que la binomial Y B (m, p) es la suma de m v.a. Bernoulli independientes de parámetro p, es decir, una m.a.s. X 1,..., X m, por lo que Y = X X m. Por lo tanto, E [Y ] = mp y que V [Y ] = mp (1 p). Veamos como estimar la proporción p en dos situaciones que nos podemos encontrar.

19 Distribución Binomial En primer lugar, si únicamente tenemos una muestra de Y, digamos Y 1, entonces podemos estimar p como sigue: p = Y 1 m = X X m m que coincide con la media muestral de la m.a.s. X 1,..., X m de la variable Bernoulli X. Por ello, la estimación verifica las mismas propiedades que en el caso de la Bernoulli, es decir: E [ p] = p y V [ p] = p (1 p) m por lo que si el número de repeticiones del experimento Bernoulli, m, es muy grande, p debe estar muy cerca de p.

20 Ejemplo En el ejemplo anterior, si definimos la variable Y = Número de votantes de Pablo en una muestra de tamaño 10, para la muestra obtenida obtendremos Y 1 = 5. En este caso, claro está, la proporción estimada es la misma que en el ejemplo anterior, p = 0,5.

21 Distribución Binomial En segundo lugar, si tenemos una m.a.s. de tamaño n de la v.a. Y, digamos Y 1,..., Y n (Notar que n es el tamaño de la muestra y m es el número de repeticiones del experimento Bernoulli), entonces podemos estimar p como sigue: p = Y m = Y Y n n m Además, por las propiedades de la media muestral, tenemos que: E [ p] = E [ ] Y = mp m m = p y V [ p] = V [ ] Y = 1 m m 2 V [ Y ] p (1 p) = n m por lo que si el número de repeticiones del experimento, m, y/o el número de muestral binomiales, n, es muy grande, p debe estar muy cerca de p.

22 Ejemplo Supongamos a continuación que Pablo realiza un segundo muestreo obteniendo los siguientes valores de la variable X = Votar a Pablo : En este caso, la proporción de votantes estimada es 0.2. El valor obtenido de la variable Y = Número de votantes en una muestra de tamaño 10 es, entonces, Y 2 = 2. Si buscamos un estimador de la proporción que tenga en cuenta los valores, Y 1 = 5 e Y 2 = 2, obtenemos: p = = 7 20 = 0,35

23 Distribución normal Por último, sea X una variable aleatoria con una distribución normal o Gaussiana de parámetros µ y σ, X N (µ, σ). Por lo tanto, f (x) = 1 { exp 1 } (x µ)2, para < x < 2πσ 2σ2 Recordamos que E [X ] = µ y que V [X ] = σ 2. Ahora, si tenemos una m.a.s. de tamaño n de la v.a. X, digamos X 1,..., X n, entonces podemos estimar p como sigue: µ = X y σ = 1 n ( Xi X ) 2 n i=1

24 Distribución normal Por las propiedades de la media muestral, se verifica que: E [ µ] = E [ X ] = µ y V [ µ] = V [ X ] = σ2 n por lo que si n, es muy grande, µ debe estar muy cerca de µ. El análisis de la desviación típica es más complejo, pero se puede demostrar que: E [ σ 2] = n 1 n σ2 es decir, E [ σ 2] no es σ 2, si bien E [ σ 2] tiende a σ 2 si n tiende a. Por esta razón, a veces se suele utilizar el estimador llamado quasi-desviación típica dado por: s = 1 n ( Xi X ) 2 n 1 i=1 Para este estimador, tenemos que E [ s 2] = σ 2.

25 Ejemplo Se supone que el rendimiento mensual de un cierto activo financiero sigue una distribución normal. Se desea conocer los parámetros de dicha distribución. Se disponen de n = 46 valores de los rendimientos mensuales de dicho activo (en porcentajes). La media muestral, x = 1,03, es un estimador de la media poblacional µ. Por otro lado, la desviación típica muestral, σ = 4,16, es un estimador de la desviación típica poblacional, σ. Un estimador alternativo es la quasi-desviación típica, s = 4,25.

26 Bondad de ajuste Como hemos visto en los ejemplos anteriores, a veces es necesario suponer que los datos proceden de una cierta distribución. Esta suposición debe ser debidamente justificada. Existen diferentes métodos útiles para realizar dicha justificación que reciben el nombre de métodos para la bondad del ajuste. Aquí únicamente vamos a considerar dos procedimientos gráficos muy habituales para la bondad de ajuste.

27 Histograma con función de densidad El primero consiste en comparar un histograma de los datos con la función de densidad obtenida con los parámetros estimados. Si la hipótesis de partida es cierta, entonces la función de densidad debe ser parecida al histograma. Por ejemplo, el siguiente gráfico muestra los datos correspondientes a 200 rendimientos de un activo financiero. El gráfico compara el histograma con la función de densidad normal obtenida con los parámetros estimados ( µ = 0,83 y σ = 4,12).

28 QQ-plot El segundo de los métodos es un gráfico llamado QQ-plot. El QQ-plot muestra los cuantiles estimados de los datos frente a los cuantiles equivalentes de la distribución con los parámetros estimados de la muestra. Si los datos han sido realmente generados por la distribución considerada, entonces los puntos del gráfico deben disponerse alrededor de una ĺınea recta. Si la función de distribución correspondiente es continua y creciente, el cuantil p-ésimo (0 < p < 1), denotado por q p se obtiene invirtiendo la función de distribución. Es decir, si buscamos el valor de q p tal que F (q p ) = p, entonces, q p = F 1 (p). Si la distribución es discreta o constante a trozos, q p = min {x : F (x) p}. El cuantil muestral p-ésimo, Q p, se obtienen mediante el siguiente proceso: (1) ordenamos los datos de menor a mayor, obteniendo la secuencia x (1),..., x (n) ; (2) entonces, Q p viene dado por Q p = x ([np]).

29 QQ-plot Por ejemplo, el siguiente gráfico muestra el QQ-plot de los 200 rendimientos de un cierto activo financiero, donde se muestran los cuantiles estimados de los datos frente a los cuantiles equivalentes de la distribución normal de parámetros µ = 0,83 y σ = 4,12. Como se puede comprobar el ajuste parece bastante bueno.

30 La distribución de la media muestral En previas transparencias hemos visto como realizar estimación de los parámetros de algunas distribuciones basándonos en las propiedades de la media muestral. A continuación, buscamos conocer cual es la distribución de la media muestral. Esta distribución nos será de gran utilidad para definir intervalos de confianza.

31 La distribución de la media muestral Si X tiene una distribución normal N (µ, σ) y X 1,..., X n es una m.a.s. de X, se verifica que: X N ( ) σ µ, = X µ N (0, 1) n σ n Si X tiene esperanza E [X ] y varianza V [X ] y no tiene una distribución normal, entonces el Teorema Central del Límite (TCL) afirma que, si X 1,..., X n es una m.a.s. de X, donde n es suficientemente grande (n 30, aproximadamente), se verifica que: X N ( E [X ], ) V [X ] n = X E [X ] V [X ] n N (0, 1)

32 Ejemplo Si X 1,..., X n es una m.a.s. de X que tiene una distribución Ber (p), para n grande tenemos que: ( ) p (1 p) X N p, = X p N (0, 1) n p(1 p) n

33 Ejemplo Sea X la v.a. discreta con función de probabilidad: { 1/4 si x = 1, 2, 3, 4 P (X = x) = 0 si no Se toma una m.a.s. de tamaño n = 125 de X. Cuál es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 2,4 y 2,6? Tenemos que: E [X ] = = 2,5 V [X ] = E [ X 2] E [X ] 2 = = ,5 2 = 1,25

34 Ejemplo Por lo tanto, X N ( 2,5, ) 1,25 = N (2,5, 0,1) 125 De esta distribución obtenemos que, aproximadamente: P ( 2,4 < X < 2,6 ) ( 2,4 2,5 = P < X 2,5 < 0,1 0,1 = P ( 1 < Z < 1) = P (Z < 1) P (Z < 1) = = P (Z < 1) (1 P (Z < 1)) = = 2 P (Z < 1) 1 = 2 0, = 0,6826. ) 2,6 2,5 = 0,1

35 Intervalos de confianza En lugar de un estimador puntual, parece ser más informativo producir un intervalo de valores posibles para el verdadero valor del parámetro desconocido. Por ejemplo, dada una muestra nos gustaría conocer un intervalo de valores que con toda seguridad incluya al verdadero valor de la media poblacional, µ. Por desgracia, esto no es posible. En su lugar, consideramos un procedimiento de construcción de intervalos de tal manera que el (1 α) % de los intervalos que se pueden construir con diferentes m.a.s. contega el verdadero valor de la media poblacional, µ. Aquí, α es el nivel de confianza y el intervalo obtenido se llamará intervalo de confianza.

36 Intervalos de confianza Supongamos X 1,..., X n una m.a.s. de una v.a. X con distribución N (µ, σ), siendo σ conocida. ) σ Sabemos que X N (µ, n, o lo que es lo mismo, que X µ σ n de donde: N (0, 1). Entonces: P ( ) z α/2 < X µ < z α/2 σ n = 1 α ) σ σ P (X z α/2 n < µ < X + z α/2 n = 1 α Por lo tanto, para una muestra particular x 1,..., x n, un intervalo de confianza para µ al nivel 1 α está dado por: (x z α/2 σ n, x + z α/2 σ n )

37 Intervalos de confianza Se han generado 100 muestras de tamaño 50 de una distribución N ( 2, 1). Se han construido los intervalos de confianza al 90 % para µ. Aproximadamente, el 90 % de los intervalos así construidos incluye Interpretación el valor real frecuentista µ = 2. del intervalo de confianza

38 Ejemplo Supongamos que los rendimientos de las acciones de la empresa SEGURA S.L. siguen una distribución normal de media µ euros y varianza σ 2 = 1. Se toma una m.a.s. de n = 20 rendimientos, obteniendo los valores: 5,29 3,66 5,71 6,62 4,30 5,85 6,25 3,40 3,55 5,57 4,60 5,69 5,81 5,71 6,29 5,66 6,19 3,79 4,98 4,84 La media muestral para estos 20 datos es x = 5,188. Por lo tanto, el intervalo de confianza al 90 % para el rendimiento medio de esta empresa es: ( 5,188 1,645 1, 5, ,645 1 ) = (4,6678, 5,7082) 20 20

39 Intervalo de confianza Que ocurre si la desviación típica no es conocida o la población no es normal? Cuando el tamaño muestral, n, es grande, el TCL nos dice que la distribución de X es aproximadamente normal independientemente de la distribución de los datos. Por lo tanto, si los datos no son normales, para muestras grandes, podemos utilizar el intervalo de confianza siguiente para la media poblacional: (x z α/2 σ n, x + z α/2 σ n ) siendo σ la desviación típica estimada de los datos.

40 Intervalo de confianza Sea X 1,..., X n una m.a.s. de una v.a. X que sigue una distribución Ber(p). Entonces, X es una v.a. que estima la proporción de éxitos en n experimentos Bernoulli, p. Por el TCL sabemos que: X N ( p, ) p (1 p) El intervalo de confianza para la proporción p queda entonces como sigue: ( ) p (1 p) p (1 p) p z α/2, p + z α/2 n n donde p = x. n

41 Ejemplo En el ejemplo de la estimación del parámetro p de la Bernoulli, Pablo finalmente realiza n = 100 entrevistas y obtiene la estimación p = 0,4. El intervalo de confianza al 95 % de la proporción p es: ( ) 0,4 (1 0,4) 0,4 (1 0,4) 0,4 1,96, 0,4 + 1,96 = = (0,3039, 0,4960)