Técnicas de Inferencia Estadística II. Tema 5. Estadísticos de orden

Transcripción

1 Técnicas de Inferencia Estadística II Tema 5. Estadísticos de orden M. Concepción Ausín Universidad Carlos III de Madrid Grado en Estadística y Empresa Curso 2010/11

2 Tema 5. Estadísticos de orden Contenidos Definición de estadísticos de orden Distribución del mínimo y del máximo Distribución del estadístico de orden k Estadísticos de orden para la distribución uniforme

3 Estadísticos de orden Suponemos una muestra aleatoria simple (X 1, X 2,..., X n ) de una población con función de distribución, F. Imaginamos que hemos observado una realización concreta de dicha muestra (x 1, x 2,..., x n ) y la ordenamos de menor a mayor, x (1) x (2)... x (n) en donde x (1) = mín {x 1,..., x n }, x (2) es el segundo valor más pequeño de la realización y así hasta x (n) = máx {x 1,..., x n }. Si dos cualesquiera de ellos x i y x j son iguales, suponemos que sus órdenes no importan. Definición La variable aleatoria X (k) que toma el valor x k en cada posible sucesión (x 1,..., x n ) de posibles valores de (X 1, X 2,..., X n ) se llama estadístico de orden k, k = 1, 2,..., n. De este modo se verifica que: X (1) X (2)... X (n)

4 Aplicaciones de los estadísticos de orden El máximo, X (n), interesante en inundaciones y otros fenómenos metereológicos extremos. El mínimo, X (1), interesante en problemas de ingeniería como sucesiones de dispositivos en serie. La mediana muestral: X ( n+1 2 ), si n es impar, X ( n 2 ) +X ( n 2 +1 ) 2, si n es par. El rango X (n) X (1) que es una medida de dispersión. Experimentos de ingeniería con n dispositivos cuyos tiempos de vida se observan hasta que falla el r-ésimo dispositivo. Así se tienen r tiempos de vida ordenados, X (1) < X (2) <... < X (r).

5 Distribución del mínimo y del máximo Observación A diferencia de las variables (X 1,..., X n ), los estadísticos de orden, (X (1),..., X (n) ), no son ni independientes ni idénticamente distribuidos. Distribución del mínimo Consideramos el mínimo o estadístico de orden 1, X (1) = mín {X 1,..., X n } y calculamos su función de distribución: F X(1) (y) = Pr ( X (1) y ) = 1 Pr ( X (1) > y ) = 1 Pr (todos los valores muestrales > y) = 1 n Pr (X i > y) = 1 n [1 Pr (X i y)] i=1 = 1 [1 F (y)] n i=1

6 Distribución del mínimo y del máximo En el caso de que F tenga función de densidad, f, la función de densidad del mínimo es, f X(1) (y) = n [1 F (y)] n 1 f (y) Ejercicio 5.1. Calcular la función de distribución y la función de densidad del máximo o estadístico de orden n, X (n) = máx {X 1,..., X n } de una muestra aleatoria simple de variables (X 1,..., X n ).

7 Distribución del estadístico de orden k Consideramos el estadístico de orden k, X (k) y queremos calcular su función de distribución. Para ello definimos: { 1, si Xi y Z i = 0, si X i > y para i = 1,..., n. Entonces, Z Ber (p = F (y)) de modo que la variable Número de observaciones y es: y por tanto, n Z i Bin (n, F (y)) i=1 F X(k) (y) = Pr ( X (k) y ) = Pr (al menos k valores de la muestra y) ( ) = P (Bin (n, F (y)) k) = n n F (y) j [1 F (y)] n j j j=k

8 Distribución del estadístico de orden k En el caso de que F tenga función de densidad, f, la función de densidad de X (k) es, ( ) n 1 f X(k) (y) = n F (y) k 1 [1 F (y)] n k f (y) k 1 Ejercicio 5.2. Calcular la función de distribución y función de densidad de la mediana muestral para una muestra de tamaño impar. Supongamos que se genera una muestra de 7 valores aleatorios de una distribución chi-cuadrado, χ 2 6. Calcular la probabilidad de que la mediana muestral sea menor que 8.

9 Estadísticos de orden para la distribución uniforme Supongamos una muestra aleatoria simple (U 1,..., U n ) de una población con distribución uniforme U(0, 1) cuya función de distribución es F U (u) = u. Entonces, el estadístico de orden k tiene función de distribución: F U(k) (u) = Pr ( U (k) u ) = Pr (al menos k valores de la muestra u) ( ) = Pr(Bin(n, u) k) = n n u j (1 u) n j j j=k y función de densidad: ( ) n 1 f U(k) (u) = n u k 1 (1 u) n k k 1 = n!uk 1 (1 u) n k (k 1)!(n k)! = uk 1 (1 u) n k B(k, n + 1 k) Por tanto: U (k) Beta(k, n + 1 k)

10 Estadísticos de orden para la distribución uniforme Ejercicio 5.3. Se simulan 7 valores de una distribución uniforme U(0, 1). Calcular la probabilidad que la mediana muestral sea menor que 0.5.

11 Estadísticos de orden para la distribución uniforme Recordamos que... Dada una variable, X, con función de distribución F continua, la variable aleatoria Y obtenida por la transformación Y = F (X ) se distribuye como una distribución uniforme U(0, 1). Observamos que... A partir de una muestra aleatoria (X 1,..., X n ) de una variable, X, con función de distribución F continua, se obtiene una muestra aleatoria (F (X 1 ),..., F (X n )) de una población uniforme U(0, 1). Además, el estadístico de orden k de dicha muestra es: F (X (k) ) Beta(k, n + 1 k)

12 Estadísticos de orden para la distribución uniforme Ejercicio 5.4. Suponer una muestra de tamaño 6 de una variable continua de una población con distribución desconocida. Calcular la probabilidad de que la mediana poblacional se encuentre entre los estadísticos de orden 3 y 4.