LECTURA 03: DISTRIBUCIÓN T STUDENT Y DISTRIBUCIÓN CHICUADRADO TEMA 6: DISTRIBUCION T STUDENT. MANEJO DE TABLAS ESTADISTICAS.

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José Francisco Peralta Espejo
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1 LECTURA 3: DISTRIBUCIÓN T STUDENT Y DISTRIBUCIÓN CHICUADRADO TEMA 6: DISTRIBUCION T STUDENT MANEJO DE TABLAS ESTADISTICAS 1 INTRODUCCION Se dice que una variable aleatoria T tiene una distribución t de student con υ grados de libertad, si su función de densidad de probabilidad está dada por: υ + 1 γ t f ( t) = 1 υ + υ υ π γ ( υ + 1)/ t R y υ = 1,, Se denota como: T con υ grados de libertad t v y se lee la variable T se distribuye como una t de student OBSERVACIONES La distribución de la variable aleatoria T depende únicamente del parámetro υ Entonces, hay una distribución t correspondiente a cada grado de libertad En la fig 1 se presenta un bosquejo de la función de densidad de la variable aleatoria T, para diferentes grados de libertad En la misma figura se da la gráfica de la normal estándar Note, la simetría de la distribución t alrededor de t= y varía de menos infinito a más infinito La media y la varianza de la distribución t student con υ grados de libertad están dados por: M = E(T) =, v > 1 σ = V(T) = v v, v > 1 Elaborado por : Mg Carmen Barreto R Fecha : Marzo 11 Versión :

fig 7 Como podemos ver la distribución t de student es muy similar a la distribución normal n(,1), ya que ambas tiene como dominio todas las reales, son simétricas con respecto a su media cero Las

2 fig 7 Como podemos ver la distribución t de student es muy similar a la distribución normal n(,1), ya que ambas tiene como dominio todas las reales, son simétricas con respecto a su media cero Las dos tienen gráficos de forma de campana, pero la distribución t de student tiene mayor dispersión que la distribución normal n(,1) La distribución t de student se aproxima a la normal n(,1), cuando el grado de libertad υ es suficientemente grande En la práctica, cuando el grado de libertad υ es mayor o igual que 3 ( υ 3), la distribución t se trata como distribución normal n(,1) MANEJO DE TABLAS ESTADISTICAS Debido a la importancia de la distribución t en la inferencia estadística y la dificultad para evaluar la función de distribución de la variable aleatoria T, estas se dan en una tabla En las tablas III y IV se presentan áreas de esta distribución para diferentes grados de libertad Para el cálculo de áreas de la distribución t de student se utilizan las mismas propiedades para el calculo de áreas en de la distribución normal n(,1) a) Uso de la Tabla III: Calcula la probabilidad que la variable aleatoria T tome valores menores o iguales a una constante [ ] t = t1 P T t = 1 1 Así: 1- t 1- fig 8 Elaborado por : Mg Carmen Barreto R Fecha : Marzo 11 Versión :

3 Ejemplo 1: Si T t 18, hallar: a) P[ T < 11] = Se desea hallar el área para valores menores que 11 (P[T<11]) en una distribución t student con 18 grados de libertad Para este tipo de área requerida utilizaremos la Tabla III En primer lugar debemos ubicar los grados de libertad (18) en el lado izquierdo de la tabla y luego avanzar hacia la derecha en la misma dirección y ubicar el valor 11 y hallar el área (probabilidad) en la parte superior de dicho número, tal como se muestra a continuación: TABLA III υ t 9 t 95 t 975 t Elaborado por : Mg Carmen Barreto R Fecha : Marzo 11 Versión :

4 b) P[ T > 133] = 1 P[ T 133] = 1 9 P[ T > 1 33] = En este ejemplo aplicamos la propiedad respectiva que se usa para el cálculo de otras áreas de la distribución normal estándar (sesión de aprendizaje 1) y hallamos el área que corresponde a P [T 133] = 9, tal como se muestra a continuación: TABLA III υ t 9 t 95 t 975 t Elaborado por : Mg Carmen Barreto R Fecha : Marzo 11 Versión :

5 c) P[ T 133] = P[ T 133] [ 133] = 1 P[ T < 133] P T [ 133] = 1 9 = 1 P T d) P[ T > 1 33] = P[ T < 133] = b) Uso de la Tabla IV: Calcula la probabilidad que la variable aleatoria T tome valores entre dos puntos simétricos t = t 1 / y t = t 1 / Así: / 1- / -t o t o fig 9 5 Elaborado por : Mg Carmen Barreto R Fecha : Marzo 11 Versión :

6 Ejemplo : Si T t 18, hallar: a) P[ 11 < T < 11] = Se desea obtener el área para valores comprendidos entre -11 y 11 [P [- 11<T<11] para una distribución t Student con 18 grados de libertad Cabe indicar que los puntos son simétricos y que en este caso debemos utilizar la Tabla IV En primer lugar debemos ubicar los grados de libertad (18) en el lado izquierdo de la tabla y luego avanzar hacia la derecha en la misma dirección y ubicar el valor 11 y hallar el área (probabilidad) en la parte superior de dicho número, tal como se muestra a continuación: TABLA IV υ t 955 t 975 t 99 t Elaborado por : Mg Carmen Barreto R Fecha : Marzo 11 Versión :

7 b) P [ 878 T 878] = TEMA 7: DISTRIBUCION CHI CUADRADO MANEJO DE LA TABLAS 1 INTRODUCCIÓN ESTADISTICAS Se dice que la variable aleatoria X tiene una distribución chi cuadrado con υ grados de libertad, si su función de densidad está dada por: f (x) = v v X v ρ e ; si x ; si x < Notación abreviada: X X υ Donde υ es un número entero positivo MANEJO DE TABLAS ESTADISTICAS Debido a que la distribución chi-cuadrado es importante en las aplicaciones, principalmente en inferencia estadística alguna de las cuales citaremos posteriormente; la función de distribución F(x) están preparadas en tablas (ver Tabla V), para valores seleccionados de v y X Por lo tanto, se puede encontrar en la tabla, la probabilidad que la variable aleatoria X que tiene una distribución X v 7 Elaborado por : Mg Carmen Barreto R Fecha : Marzo 11 Versión :

8 (1 v 3) sea menor o igual a un valor constante P[X < X1, v ] = 1 X = representado por: X1 1 - fig 1 X1,v Como no existe simetría la Tabla V presenta las probabilidades acumuladas (áreas) desde X = hasta X Puesto que existe una distribución chi-cuadrado diferente para cada valor de υ, resulta impráctico proporcionar tablas de áreas completas En lugar de esto la Tabla V presenta un resumen de la información más esencial acerca de la distribución Para calcular áreas en la distribución chi cuadrado también se deben usar las propiedades dadas para el cálculo de áreas en la distribución normal Ejemplo 3: Si X X, hallar: a) P[ X 8 4] = Se desea hallar el área (probabilidad) para valores menores o iguales que 84 8 Elaborado por : Mg Carmen Barreto R Fecha : Marzo 11 Versión :

9 [P[X < 84]] con grados de libertad Para hallar este tipo de área utilizaremos la Tabla V En primer lugar debemos ubicar los grados de libertad () en el lado izquierdo de la tabla y luego avanzar hacia la derecha en la misma dirección y ubicar el valor 84 y hallar el área (probabilidad) en la parte superior, tal como se muestra a continuación: TABLA V υ X 995 X 99 X 975 X 95 X 9 X b) P[ X 1 4] = 1 P[ X < 14] P[ X 14] = 1 1 P[ X 14] = Elaborado por : Mg Carmen Barreto R Fecha : Marzo 11 Versión :

10 c) P[ 1 4 X 84] = P[ X 84] P[ X < 14] P[ 14 X 84] = 9 1 P[ 14 X 84] = Elaborado por : Mg Carmen Barreto R Fecha : Marzo 11 Versión :

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