Tema 4: Variables aleatorias. Tema 4: Variables Aleatorias. Tema 4: Variables aleatorias. Objetivos del tema:

Transcripción

1 Tema 4: Variables aleatorias Tema 4: Variables Aleatorias Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Exponencial Objetivos del tema: Al final del tema el alumno será capaz de: Comprender las hipótesis de las distintas distribuciones presentadas 4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang Distribución Weibull Seleccionar la distribución discreta o continua correcta en aplicaciones específicas Calcular probabilidades, determinar medias y varianzas para las distribuciones más comunes 4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher 1 Tema 4: Variables aleatorias Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Exponencial 4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang Distribución Weibull Cuando un experimento tiene las siguientes características: Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A) Defectuoso (D) La proporción de A y D es constante en la población y no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada Pr( D) = p Pr( A) = q= 1 p 4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher 3 Las observaciones son independientes 4

2 Cuando un experimento tiene las siguientes características: Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A) Defectuoso (D) La proporción de A y D es constante en la población y no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada Pr( D) = p Pr( A) = q= 1 p s Observar el resultado al lanzar una moneda Si un una pieza es defectuosa o no en un proceso de fabricación Observar el sexo de un recién nacido Si se transmite correctamente un bit a través de un canal digital Las observaciones son independientes 5 6 Distribución de Bernouilli Distribución Binomial X = 0 si el suceso ocurre A q= 1 p= Pr( X = 0) 1 si el suceso no ocurre A p= Pr( X = 1) Si se repite un número fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con parámetro p, el número de éxitos sigue una distribución Binomial de parámetros (n,p). La función de probabilidad es: [ ] px p p x x 1 x ( ) = (1 ) = 0,1 µ = E X = 0 (1 p) + 1 p= p X = Número de veces que ocurre un suceso en las n pruebas X toma valores 0,1,,,n X ~ B( n, p) [ ] σ = Var X = (0 p) (1 p) + (1 p) p = p(1 p) 7 8

3 n=5 La función de probabilidad es: n r n r P( X = r) = p (1 p), r = 0,1,, n r n=5 p=0.75 p=0.5 p=0. [ ] E X = np [ ] = (1 ) Var X np p 9 10 Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso. Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso. Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato Pr( X = 0) Experimento: Observar si un circuito es defectuoso o no. Se repite 40 veces Son independientes La probabilidad de ser defectuoso es constante,

4 Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso. Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato Cuando un experimento tiene las siguientes características: Sólo hay dos resultados posibles La probabilidad de éxito se mantiene constante Las observaciones son independientes X ~ B(40,0.01) Se repite el experimento hasta que ocurre el primer éxito 0 40 Pr( X = 0) = 0.01 (1 0.01) = X = Número de veces que hay que repetir el experimento hasta conseguir el primer éxito X ~ Ge( p) 14 Xi i = 1,... n son Berrnouilli Xi i = 1,... n son Berrnouilli X X X X X X = 1 Pr( X = 1) = p X = Pr( X = ) = qp X = 3 Pr( X = 3) = qqp X = 4 Pr( X = 4) = qqqp X1 X X3 X4 X X = 1 Pr( X = 1) = p X = Pr( X = ) = qp X = 3 Pr( X = 3) = qqp X = 4 Pr( X = 4) = qqqp La función de probabilidad es: r 1 PX ( = r) = (1 p) p, r= 1,, 15 [ ] = 1/ p [ ] = (1 ) / E X Var X p p 16

5 La probabilidad de que un bit transmitido a través de un canal de transmisión digital sea recibido como un error es 0.1. Si las transmisiones son independientes, Cuál es el número medio de transmisiones que hemos de observar hasta que ocurre el primer error? X = Número de transmisiones que hay que observar hasta encontrar el primer error [ ] = 1/ p= 1/0.1= 10 E X Tema 4: Variables aleatorias Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Exponencial Cuando un experimento tiene las siguientes características: Se observa la ocurrencia de sucesos en un intervalo La probabilidad de que ocurra un suceso en un intervalo 4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang Distribución Weibull Es la misma para los intervalos del mismo tamaño Es proporcional a la longitud del intervalo Los sucesos ocurren de forma independiente. El número de sucesos que ocurren en un intervalo es independiente del número de sucesos que ocurren en otro intervalo 4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher 19 0

6 Distribución de Poisson Distribución de Poisson X = Número de sucesos en un intervalo de longitud fija La función de probabilidad es: La distribución de Poisson se puede obtener como límite de una Binomial cuando n y p 0 r e λ λ PX ( = r) =, r= 0,1, r! λ = np Número medio de sucesos en ese intervalo n λ n λ lim 1 = e n n λ r r 1 e λ λ λ E[ X] = λ E[ X] = r = λe = λ r! ( r 1)! [ ] Var X = λ 0 1 X ~ P( λ ) Y ~ P( λ ) independientes X + Y ~ P( λ + λ ) Distribución de Poisson s Número de defectos en un milímetro de cable. Número de llamadas de teléfono que se reciben en una centralita en una hora. Número de erratas por página en un documento 3 4

7 El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto. Cuál es la probabilidad de que no lleguen clientes en 3 minutos? X = Número de clientes por minuto X ~ P( λ = 1) El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto. Mantener el citado puesto de servicio abierto 8 horas al día cuesta 6000 euros diarios. Cuál debe ser el precio mínimo que se cobre a cada cliente para que sea rentable? Y = Número de clientes en 3 minutos Y ~ P( λ = 3) Y = Número de clientes en 8 horas Y ~ P( λ = 60 8 = 480) 3 0 e 3 Pr( Y = 0) = = e 0! 3 5 Beneficio = Tarifa x Y [ ] Beneficio Esperado = Tarifa EY 6000 > 0 = Tarifa > 0 Tarifa > Distribución de exponencial Distribución de exponencial La distribución exponencial se puede utilizar para modelizar X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo X ~ P( λ) Tiempo entre llamadas telefónicas Tiempo entre llegadas a un puesto de servicio Tiempo de vida de un componente eléctrico Cuando el número de sucesos sigue una distribución de Poisson, el tiempo entre sucesos sigue una distribución exponencial 7 T = Tiempo hasta que ocurre el primer suceso Podemos calcular su función de distribución: PT ( > t) = P(cero sucesos en (0,t )) X= Número de sucesos en una unidad de tiempo X ~ P( λ) Y = Número de sucesos en (0,t 0 ) Y ~ P( λt0) P( T > t0) = Pr( Y = 0) = e λt 0 F( t ) = P( T t ) = 1 e λt 0 8

8 Distribución de exponencial X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo T = Tiempo entre dos sucesos consecutivos X ~ P( λ) f ( x) = x e df() t t f() t = = λe λ, t 0 dt f( x) = x e f( x) = x e [ ] E X = 1/ λ Si hay λ sucesos por término medio en un intervalo de tiempo Var X [ ] = 1/ λ El tiempo medio entre dos sucesos es 1/λ 9 30 Propiedad El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto. Cuál es la probabilidad de que pasen más de 3 minutos entre la llegada de dos clientes? X = Número de clientes por minuto X ~ P( λ = 1) T = Tiempo entre dos clientes T ~ Exp( λ = 1) ( ) Pr( T > 3) = 1 Pr( T 3) = 1 F(3) = 1 1 e = e = Pr(No haya clientes en 3 minutos) Pr(T > t 1+t / T > t 1) = Pr( T > t ) λ (t 1+t ) Pr(T > t 1+t T > t 1) Pr( T > t 1+t ) e = = = e λt1 Pr( T > t ) Pr( T > t ) e 1 1 Si no ha habido clientes en 4 minutos, cuál es la probabilidad de que no haya clientes en los próximos 3 minutos? Pr( Y > 7 Y > 4) = Pr( Y > 3) = 1 F(3) = e 3 λt 3

9 Tema 4: Variables aleatorias Distribución de Bernouilli Distribución Binomial La distribución Normal describe gran cantidad de procesos aleatorios Distribución de Poisson Distribución Exponencial 4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang Distribución Weibull Errores de medida Ruido en una señal digital Corriente eléctrica en un trozo de cable En muchas situaciones otras distribuciones se pueden aproximar a una Normal 4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher 33 Es la base para la inferencia estadística 34 Está caracterizada por dos parámetros: La media, µ, y la desviación típica, σ. N ( µ, σ ) Toma valores en toda la recta real Su función de densidad es: Tiene forma de campana y es simétrica respecto de la media f ( x) La media, mediana y moda coinciden ( x µ ) σ 1 f( x) = e < x< πσ EX [ ] = µ VarX [ ] = σ µ

10 El efecto de µ y σ Cómo afecta la deviación típica la forma de f(x)? σ= σ =3 σ =4 Cómo afecta el valor esperado a la posición de f(x)? µ = 10 µ = 11 µ = 1 Es un factor de escala f(x) Pr(c X d) La probabilidad es el área bajo la curva No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la integral de la función de densidad Es un factor de traslación c d X Todas las distribuciones normales se pueden transformar en N(0,1) X Z = X µ σ Densidad de (X-µ)/σ Densidad de X-µ X ~ N(3,) Densidad de X 3 6 Pr( X 6) Z ~ N(0,1) Mismoº área σ 1 µ Pr Z = Pr( Z 1.5) 40

11 El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas? Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 94.05% de los semiconductores? Pr( X < 6000) El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas? Pr( X < 6000) = Pr Z < = Pr( Z < 1.66) 600 Pr( X > a) = El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas? Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas? Pr( X < 6000) = Pr Z < = Pr( Z < 1.66) Pr( X < 6000) = Pr Z < = Pr( Z < 1.66) 600 = 1 Pr( Z < 1.66)

12 Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas? = 1 Pr( Z < 1.66) El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 94.05% de los semiconductores? a 7000 Pr( X > a) = Pr Z > = = = a 46 El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95% de los semiconductores? a 7000 Pr( X > a) = Pr Z > = b Valor negativo 0.95 Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95% de los semiconductores? ( a 7000) Pr( X > a) = Pr Z < = b b 47 b 48

13 Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95% de los semiconductores? ( a 7000) Pr( X > a) = Pr Z < = Más ejemplos de cálculo de probabilidades Pr( -0.6 < Z < 1.83 )= Pr( Z < 1.83 ) - Pr( Z -0.6 ) Pr ( Z <-0.6) = Pr ( Z >0.6 ) = 1 - Pr (Z < 0.6 ) = = ( a 7000) = a = 6010 = = Pr( Z < 1.83 ) = El 94.05% de los semiconductores duran más de 6010 horas Ilustración La Normal es importante, no sólo porque muchas variables comunes sigan esa distribución, sino porque aunque una v.a. no posea distribución normal, ciertos estadísticos/estimadores calculados sobre muestras elegidas al azar sí poseen una distribución Normal. Sea X una variable Uniforme en el intervalo [50,70]. Tenemos una muestra de tamaño 000. La muestra tiene media 59.9 y desviación típica 4.57 El histograma no se parece a una distribución normal con la misma media y desviación típica xx x 51 5

14 Muestra Elegimos aleatoriamente grupos de 10 observaciones. 1ª ª ª La distribución de las medias muestrales tiene distribución aproximadamente normal. 40 Para cada grupo de 10 obtenemos entonces una nueva medida: la media muestral La media de esta nueva variable es muy parecida a la de la variable original. a 30 0 Las medias de cada muestra están más o menos cerca de la media de la variable original Las observaciones de la nueva variable están menos dispersas. La desviación típica es menor, en este caso xxx aa$x Supongamos que tenemos n variables aleatorias X i independientes con medias (µ ι ) y desviaciones típicas (σ i ) y distribución cualquiera Teorema Central del Límite Supongamos que tenemos n variables aleatorias X i independientes con medias (µ ι ) y desviaciones típicas (σ i ) y distribución cualquiera Teorema Central del Límite Cuando n crece, Y = X + X + + X la distribución de Y µ i N(0,1) σ i 1 n ( i i ) Y ~ N µ, σ 55 Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre una muestra grande, nos va a aparecer de manera natural la distribución Normal 56

15 Tema 4: Variables aleatorias Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Exponencial 4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang Distribución Weibull Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher 57 La variable Binomial es suma de variables de Bernouilli, que toman el valor 0 ó 1. Y X1 X Xn Binomial-Normal = + + E[ Xi ] T.C.L. (, (1 )) = p Var[ X ] = p(1 p) Y N np np p n > 30 npq > 5 i 58 Binomial-Normal Factor de corrección La distribución Normal es continua pero la Binomial es discreta x n= 50 p= 0.3 npq = 10.5 N ( 15, 10.5) 59 Para mejorar la aproximación introducimos un factor de corrección que consiste en añadir o substraer 0.5 al valor al que le queremos calcular la probabilidad. x+ 0.5 np Pr( X x) = Pr( X x+ 0.5) Pr Z np(1 p) x 0.5 np Pr( x X) = Pr( x 0.5 X) Pr Z np(1 p) 60

16 Un fabricante de semiconductores admite que produce un % de chips defectuosos. Los chips se empaquetan en lotes de 000 chips para su venta. Un comprador rechazará un lote si contiene 5 o más chips defectuosos Poisson-Normal La distribución de Poisson surge como límite de la Binomial cuando el número de experimentos tiende a infinito. Aproximamos a una Normal cuando λ grande (λ > 5) Cuál es la probabilidad de rechazar un lote? Pr( X 5) X ~ B(000, 0.0) n > 30 X N(40,6.6) np = 40 Pr Z = 6.6 np(1 p) = 39. Pr( Z.47) = Pr( Z.47) = X X ~ P( λ) N ( λ, λ ) 6 Poisson-Normal El número de defectos en la superficie de un material por metro cuadrado sigue una distribución de Poisson con media 100. Si se analiza un metro cuadrado de dicho material, Cuál es la probabilidad de encontrar 95 defectos o más? Pr( X 95) Pr Z = Pr( Z 0.55) = 10 Pr( Z 0.55) =

17 Tema 4: Variables aleatorias Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Exponencial 4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang Distribución Weibull Distribuciones relacionadas con la la Normal 4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal χ g Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad. La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos. La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el número de grados de libertad. Xi ~ N ( µ, σ ) independientes Xi µ Xi µ ~ N(0,1) ~ χ1 σ σ g X i µ Y = ~ χ [ ] [ ] i 1 g E Y = g Var Y = g = σ Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher Distribuciones relacionadas con la Normal χ g Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad. La función de densidad es asimétrica positiva. Sólo toma valores positivos. La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el número de grados de libertad. f(x) grados de libertad 3 grados de libertad 4 grados de libertad 5 grados de libertad 4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal t de Student Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad. La función de densidad es simétrica respecto al 0. Toma valores en toda la recta real. La función de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el número de grados de libertad. Se obtiene como el cociente entre dos variables: Z tg = Z ~ N(0,1) Y ~ χ Y / g g x 67 68

18 4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal t de Student 4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal F de Fisher Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad. La función de densidad es simétrica positiva respecto al 0. Toma valores en toda la recta real. La función de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el número de grados de libertad. f(x) grados de libertad 0 grados de libertad 100 grados de libertad x 69 Tiene un dos parámetros denominados grados de libertad. La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos. Se obtiene como el cociente entre dos variables: F X / g = X ~ χ Y ~ χ 1 g1, g g1 g Y / g 70