DISTRIBUCIONES CONTINUAS INFERENCIA ESTADISTICA LIC. MIGUEL CANO.

Transcripción

1 DISTRIBUCIONES CONTINUAS INFERENCIA ESTADISTICA LIC. MIGUEL CANO.

2 En esta sección se estudian las distribuciones más importantes de las variables aleatorias continuas unidimensionales. Algunas distribuciones continuas notables son: Distribución uniforme. Distribución exponencial. Distribución normal, esta última es la que más se aplica, por eso sólo citaremos brevemente a la distribución uniforme y a la exponencial.

3 Distribución uniforme Una variable aleatoria continua X posee una distribución uniforme en el intervalo [a, b], si su función de probabilidad es la siguiente:

4 FUNCION DISTRIBUCION

5 VAOR ESPERADO Y VARIANZA La media o valor esperado es dado por: La varianza es dado por:

6 Distribución exponencial La distribución exponencial describe procesos en los que nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el tiempo que pue-da ocurrir desde cualquier instante dado t hasta que ello ocurra en un instante cualquiera ti, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.

7 FUNCION DE DENSIDAD Y DISTRIBUCION Su función de densidad es:

8 Graficas de la función probabilidad y la distribución Función densidad Función de distribución

9 Valor esperado y varianza El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencial son:

10 Ejemplo: El tiempo de vida de una bacteria (en horas) sigue una distribución exponencial con media de 16 horas. a. Cuál es la probabilidad de que dicha bacteria tenga un tiempo de vida menor de 20 horas? b. Si la bacteria vive más de 5 horas, cuál es la probabilidad de que viva hasta 25 horas?

11 DISTRIBUCION NORMAL La distribución normal es, sin duda, la distribución de probabilidad más importante del cálculo de probabilidades y de la Estadística. Fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre ( ). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss ( ) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca, más comúnmente, como la Campana de Gauss.

12 Función de probabilidad Se ha encontrado experimentalmente que la función de distribución normal describe satisfactoriamente aquellos sistemas en los que las mediciones en estudio vienen afectadas por un número grande de errores que actúan todos independientemente.

13 Gráfica de la función de probabilidad de la Distribución Normal

14 Características función de probabilidad de la Distribución Normal a. Forma acampanada. b. Asintótica respecto al eje X. c. Es unimodal ya que solo tiene un valor máximo en el que coincide la media, mediana y la moda. d. El punto central en la distribución es la media e indica la posición de la campana (parámetro de centralización); mientras que las distancias de la media se expresan en función de la desviación estándar ya que es el parámetro de dispersión.

15 Características función de probabilidad de la Distribución Normal e. El área bajo la curva representa la probabilidad de que ocurra una observación dentro de los límites del área. f. El área total bajo la curva se considera igual a la unidad. g. Este valor indica la proporción de la población que se encuentra en determinados intervalos centrados en la media.

16 Observación Estos dos parámetros μx y σ 2 coinciden además con la media (esperanza) y la varianza respectivamente, es decir: E(X) = μx y V(X) = σ 2 La forma de la función de densidad es la llamada campana de Gauss.

17 Observación Si una variable aleatoria X tiene una distribución normal y queremos calcular la probabilidad de que X caiga entre dos valores a y b entonces, se debe hallar el área debajo de la curva entre a y b; es decir, se debe integrar de la siguiente manera:

18 Distribución normal estándar Sea X una variable aleatoria continua que se distribuye normalmente X ~ N(μx; σ 2 ), esta variable se puede transformar en otra variable normal con media 0 y varianza 1, la cual se le conoce como Distribución Normal Estándar y se representa por Z. La estandarización de cualquier normal es de la siguiente manera:

19 Característica de la Distribución normal estándar El valor esperado o media es 0 y la varianza 1, es decir: E(Z) = 0 V(Z) = 1 Esta distribución es simétrica respecto a su media La gráfica es asintótica respecto al eje de abscisas

20 Usando la Distribución Normal Ejemplo: Si X ~ N(15;4). Calcular A) P(X 16) B) P(X > 14,5)

21 Solucion: A) p(x 16) = p F(0,5) = 0,69146 x u x σx B) p(x > 14,5) = p x u x > 14,5 15 σx 2 P(Z < 0,25) = F(0,25) = 0,59871 = P(Z 0,5) = =P(Z > 0,25) =

22 UTILIZANDO TABLAS ESTADISTICAS

23 Ejercicio En el laboratorio de química, se realizó estudios acerca de la duración de unas laminillas de acero sumergidas en el agua. Los resultados mostraron que la duración de dichos productos están distribuidos normalmente con una duración media de 491 horas y una desviación estándar en la duración de dichas laminillas, de 5 horas. Calcular la probabilidad de que las laminillas tengan una duración comprendida entre 480 y 500 horas.

24 Aproximación de la binomial a la normal Una variable aleatoria discreta con distribución binomial se puede aproximar mediante una distribución normal si n es suficientemente grande y p no está ni muy próximo a 0 ni a 1. Como el valor esperado y la varianza de X son respectivamente np y npq, la aproximación consiste en decir que:

25 Aproximación de la binomial a la normal Cuando ocurren las condiciones anteriores, la gráfica de la distribución Binomial, es muy parecida a la distribución Normal, por lo que es adecuado calcular probabilidades con la Normal en lugar de la Binomial y de una forma más rápida.

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27 Ejercicio Si 35% de los productos manufacturados en cierta línea de producción son defectuosos, cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 productos manufacturados en esa línea a. Menos de 354 productos sean defectuosos? b.entre 342 y 364 productos sean defectuosos?

28 Distribuciones relacionadas con la normal, distribuciones para muestras pequeñas La teoría de la distribución normal se desarrolla a partir de tamaños de muestra suficientemente grandes, generalmente mayores a 30 observaciones y no aplicable a muestras pequeñas.

29 En el laboratorio no podemos permitirnos la libertad de realizar un gran número de observaciones y, por ello, las pruebas de hipótesis estadísticas basadas en la distribución normal llevarían al químico a falsas conclusiones. El hecho fue reconocido por W. S. Gosset, un químico irlandés que en 1908 publicó, bajo el pseudónimo de Student, un trabajo titulado El error probable de una medida. En parte por consideraciones teóricas y en parte por el uso de muestras aleatorias, obtuvo la distribución teórica del promedio de tamaños de muestra pequeñas (n< 30), ajustada a una distribución normal.

30 Distribución X 2 (Chi-cuadrado) Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad. La función de densidad es asimétrica positiva. Sólo tienen densidad los valores positivos. La función de densidad se hace más simétrica incluso casi gaussiana cuando aumenta el número de grados de libertad. Normalmente consideraremos anómalos aquellos valores de la variable de la cola de la derecha.