ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía

Transcripción

1 Distribuciones (discretas y continuas) EVALUACIÓN CONTINUA (Tipo I) 14-XII Una prueba del examen de Estadística consiste en un cuestionario de 10 preguntas con tres posibles respuestas, solamente una de ellas correcta. Si contestamos a todas las preguntas de manera aleatoria, calcular: a) La probabilidad de aprobar, es decir, contestar correctamente, al menos 5 de las 10 preguntas. b) La probabilidad de no contestar bien a ninguna de ellas. Consideramos la variable aleatoria X= número de respuestas correctas Tenemos una distribución B(10,1/3) 10 n p 1p P(X = ) = a) P(X 5) 1P(X 5) b) P(X = 0) = A una gasolinera llegan, de media, 3 coches por minuto. Calcular: a) Probabilidad de que en un minuto lleguen exactamente dos coches. b) Probabilidad de que en un minuto lleguen al menos dos coches. c) Varianza de la distribución. Distribución de Poisson de parámetro λ=3 en 1 minuto: 3 P(X ) e = e!! 3 a) b) 3 P(X ) e! P(X ) 1P(X ) 1 e =1-4 e ! 0 c) La varianza coincide con la media λ=3. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 1

2 3.- El contenido de una lata de refresco se distribuye normalmente con una media µ=33 cl y desviación típica σ=1cl. a) Cuál es la probabilidad de que el contenido de una lata sea superior a 34 cl? b) Si tenemos 3 latas, cuál es la probabilidad de que él contenido total sea inferior a 100 cl? c) Qué contenido de refresco máximo le corresponde una probabilidad 0,68? La variable aleatoria contenido de una lata X N(33,1) a) P(X 34) 1P(X 34) 1F(34) b) El contenido de las 3 latas: 3X X X X N 99, 3 P(3X 100) =F 3X(100) c) P(X x) 0,68 x = Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chi-cuadrado, con 3 grados de libertad. Obtener la mediana. X n3 n3 F(M) P M 0.5 M U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

3 Distribuciones (discretas y continuas) EVALUACIÓN CONTINUA (Tipo II) 1-XII La probabilidad de que un alumno resuelva cualquier problema es 0,8. El examen consiste en resolver 7 problemas. Si contesta bien a 4 o más problemas aprueba, pero si contesta solamente a 3 problemas tiene la posibilidad de hacer un examen de repesca, calcular: a) La probabilidad de aprobar. b) La probabilidad de realizar un segundo examen. Consideramos la variable aleatoria X= número de problemas resueltos bien Tenemos una distribución B(7,0.8) n 7 n P(X = ) = p 1p a) P(X 4) 1 P(X 4) b) P(X = 3) = Un servidor de una pequeña red de ordenadores recibe una media de 7 accesos al minuto. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que reciba más de 10 accesos en un minuto. b) Probabilidad de que en un minuto reciban exactamente 7 accesos. c) Varianza de la distribución. Distribución de Poisson de parámetro λ=7 en 1 minuto: 7 P(X ) e = e!! 7 a) P(X 10) 1P(X 10) 1 e ! 0 b) 7 P(X 7) e 7! c) La varianza coincide con la media λ=7. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 3

4 3.- Sabiendo que la demanda diaria de un artículo X en una fábrica sigue una distribución N(600, 5), calcular: a. Probabilidad de vender menos de 550 artículos X en un determinado día. b. Número de artículos X que se debe fabricar para satisfacer la demanda el 90% de los días. c. Porcentaje de días que venderá 600 artículos X. a. P(X 550) F(550) 0, b. F(x) P(X x) 0,90 x = , luego se necesitan 633 artículos c. P(599,5 x 600,5) P(x 600,5) P(x 599,5) F(600,5) F(599,5) 0, Por tanto, el porcentaje de días que se vende 600 artículos será 1,6% 4.- Dada una distribución área sombreada del gráfico cuyo valor es 0,05: 3 calcular el valor de la abscisa que corresponde al F(x) P x 0, 05 x U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 4

5 Distribuciones (discretas y continuas) EVALUACIÓN CONTINUA (Tipo III) 1-XII Sabiendo que la probabilidad de que un estudiante de la ETSITGC termine la carrera es 0,7. Calcular: a) Probabilidad de que en un grupo de 10 alumnos terminen 7. b) Si empiezan la carrera un grupo de 10 alumnos, cuál será el número medio de alumnos que terminarán la carrera? Consideramos la variable aleatoria X= número de alumnos que terminan la carrera Tenemos una distribución Binomial: B(10,0.7) P(X = ) = n p q 10 n. 0,7 1 0,7 10 a) P(X = 7) = 0, , b) Cuya media es E[X] np 100,7 7 = 10. A un hospital llegan, de media, 1 persona por minuto. Calcular: a) Probabilidad de que no llegue ninguna persona en 1 minuto. b) Probabilidad de que lleguen al menos dos personas en un minuto. c) La mediana de la distribución número de personas que llegan en un minuto. Distribución de Poisson de parámetro λ=1 en 1 minuto: 1 P(X ) e = e!! 1 a) 1 P(X 0) e 0! b) 1 P(X ) 1 P(X ) 1 e =1- e ! c) F(x) P(X x) 0,5 x 1 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 5

6 3.- Sabiendo que los errores de observación de una determinada magnitud siguen una distribución X N(0;1.5), calcular: a) Probabilidad de que al hacer una observación tenga un error mayor que 0.5. b) Un error x tal que P(X x) 0,95. c) P( X 1.5). a) P(X 0,5) 1P(X 0,5) 1F(0,5) b) P(X x) 0,95 x = c) P( X 1.5) P( 1.5 X 1.5) P(X 1.5) P(X 1.5) P(X 1.5) 1 F(1.5) Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chi-cuadrado, con 3 grados de libertad. Obtener el primer cuartil F(Q ) P Q 0.5 Q U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 6

7 Distribuciones (discretas y continuas) EVALUACIÓN CONTINUA 31-V Al inspeccionar 100 artículos producidos por una máquina se encontraron 10 defectuosos. Se pide: a) En una caja con 5 artículos, cuál es la probabilidad de encontrar al menos uno defectuoso? b) En un total de 100 artículos, cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 10 defectuosos? ( puntos).- Se sabe que la media de datos mal anotados por un alumno en una medición es 4. Determinar: A) El tipo de distribución. B) La probabilidad de que existan exactamente 4 datos incorrectos. C) La varianza de la distribución ( puntos) 3.- Sabiendo que los errores de observación, X, de una determinada magnitud siguen una distribución N(0,1), se pide: a) Escribir la función de distribución. b) Probabilidad de que al hacer una observación el error sea mayor que 0,5. P X x 0.95 c) El error x tal que (3 puntos) 4.- El tiempo de espera diaria a un autobús es una variable aleatoria con distribución n de media 5 minutos. a) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera sea inferior a 5 minutos? b) Cuál es el tiempo de espera máxima con probabilidad 0,5? ( puntos) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 1

8 1.- Al inspeccionar 100 artículos producidos por una máquina se encontraron 10 defectuosos. Se pide: a) En una caja con 5 artículos, cuál es la probabilidad de encontrar al menos uno defectuoso? b) En un total de 100 artículos, cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 10 defectuosos? Consideramos la variable aleatoria X= número de artículos defectuos0s, donde la probabilidad de encontrar uno defectuoso es p = 10/100 = 0,1 a) Tenemos una distribución B(5,0.1) P(X = ) = n p q n. 5 = 0,1 1 0, PX 1 1 PX 1 1 PX 0 1 0,1 1 0, , b) Ahora es una distribución B(100,0.1) P(X = ) = n p q n ,1 1 0, PX10 0,1 10,1 90 0, = 5.- Se sabe que la media de datos mal anotados por un alumno en una medición es 4. Determinar: A) El tipo de distribución. B) La probabilidad de que existan exactamente 4 datos incorrectos. C) La varianza de la distribución. a) Utilizaremos la distribución de Poisson (Ley de casos raros). b) Distribución de Poisson de parámetro λ=4, luego exactamente cuatro datos incorrectos c) Es igual al parámetro: λ= 4 4 P(X 4) e 4! 4 P(X ) e! 4 4 0, y 3.- Sabiendo que los errores de observación, X, de una determinada magnitud siguen una distribución N(0,1), se pide: a) Escribir la función de distribución. b) Probabilidad de que al hacer una observación el error sea mayor que 0,5. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

9 b) El error x tal que PX x 0.95 a) Sea X la observación que tiene la misma distribución que la población. cuya función de distribución es: 1(t ) 1(t0) 1 x 1 x x t F(x) P(X x) e dt e dt e dt 1 b) Así pues: P X 0,5 1P X 0,5 1F(0,5) 10, , c) PX xp( x X x) 0.95 F(x) P(X x) x = 1, El tiempo de espera diaria a un autobús es una variable aleatoria con distribución n de media 5 minutos. a) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera sea inferior a 5 minutos? b) Cuál es el tiempo de espera máxima con probabilidad 0,5? a) P n b) n5 P x 0.5 x = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 3

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