Distribuciones discretas y continuas

Transcripción

1 1.- La luz verde de un semáforo está encendida 15 s cada vez, el ámbar 5, y la roja 55 s. Suponiendo que las condiciones de tráfico inducen variaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los automóviles, de formar que llegar cuando el semáforo está verde es un suceso aleatorio. Calcular la función de probabilidad de éxitos en 4 pruebas independientes..- En un taller hay 10 máquinas iguales, se ha visto que una máquina determinada un día de cada 5 está averiada. a) Si es de 500 la perdida diaria ocasionada por tener una máquina averiada, calcular la perdida media diaria. b) La probabilidad de que un cierto día no se encuentre ninguna máquina averiada. 3. Sabiendo que la probabilidad de que un estudiante de segundo de Topografía termine la carrera es 0.8, calcular: a) Probabilidad de que un grupo de 0 alumnos terminen 16. b) Si dividimos a los alumnos de segundo en grupos de 0, cuál será el número medio de alumnos por grupo que terminarán la carrera? c) Varianza de la distribución. 4.- Al inspeccionar 100 juntas de soldaduras producidas por una máquina de soldar se encontraron 10 defectuosas. Al soldar 5 uniones, cuál es la probabilidad de encontrar al menos una defectuosa? Calcular la media. 5.- Se supone que el n de bacterias por mm 3 de agua en un estanque es una variable aleatoria que sigue una distribución Poisson de parámetro λ = 1. Cuál es la probabilidad de que no haya bacterias en 1 mm 3 de agua? 6.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno anote mal un dato en una medición es 0.000, en una lista de 000 datos. Determinar: A) El tipo de distribución. B) La probabilidad de que existan exactamente 4 datos incorrectos. C) El número medio de datos mal anotados. 7. Por un punto de una carretera pasan vehículos de acuerdo con la distribución de Poisson, a razón de seis vehículos por minuto. Hallar: A) Probabilidad de que transcurran 0 segundos y pase más de 5 vehículos. B) Si un peatón tarda 10 segundos en cruzar la carretera, calcular la probabilidad de que no pase ningún vehículo. 8.- El ordenador que realiza las 1000 nóminas de una empresa efectúa en cada una de ellas un redondeo al número entero más próximo. Se supone que el redondeo en el importe de cada nómina produce un error que sigue una distribución uniforme entre 0.5 y 0.5 euros. Calcular la probabilidad de que la suma del importe de 1000 nóminas tenga un error total entre 0 y 0 euros. 9.- Sabiendo que los errores de observación, X, de una determinada magnitud siguen una distribución N(0,1.5), calcular: a) Probabilidad de que al hacer una observación el error sea mayor que 0,5. b) El error x tal que P( X < x) = 0.95 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 1

2 10.- Un proceso de fabricación tiene tres fases consecutivas de tal manera que la duración en minutos de cada una de ellas viene dada, respectivamente, por las siguientes variables aleatorias independientes: N(50,5), N(70,3) y N(80, ). a) Cuál es la duración total media del proceso? b) Cuál es la probabilidad de que el proceso tenga una duración total inferior a 15 minutos? c) Determinar con probabilidad del 0.97 el tiempo máximo que puede durar el proceso Los cierres de triángulos de una red están normalmente distribuidos con media 1 y desviación típica. Calcular la probabilidad de que un cierre sea: a) mayor que. b) mayor que 1 y menor que. c) negativo. d) en valor absoluto menor que Sabiendo que la demanda aleatoria de teodolitos durante un día en una fábrica sigue una distribución N(70,3), calcular: a) Probabilidad de vender más de 60 teodolitos. b) Número de teodolitos que debe fabricar cada día para satisfacer la demanda el 95% de los días Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chicuadrado, con 3 grados de libertad. Se pide: a) La moda b) La mediana 14.- Una niña coge todos los días el autobús para ir al colegio en una parada que está frente a su casa. El tiempo de espera diaria es una variable aleatoria con distribución χ de media 5 minutos. a) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera sea n inferior a 5 minutos? b) Cuál es el tiempo de espera máxima con probabilidad 0,5? 15.- Cada una de las tres coordenadas de un punto P del espacio son v. a. con distribución N(0,1). Calcular: a) Probabilidad de que el cuadrado de la distancia de dicho punto al origen de coordenadas sea mayor que b) Media del cuadrado de la distancia al origen Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chicuadrado, con 6 grados de libertad. Se pide: a) Probabilidad de que la variable tome un valor inferior a 3. b) Probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre 4 y 5. c) El valor del primer cuartil El peso medio de los estudiantes varones de una universidad es de 68 kg y la desviación típica es de 10 kg. Suponiendo que hay 500 y están distribuidos normalmente, hallar el número de estudiantes que: a) pesan entre 48 y 7 kg. b) más de 91kg. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

3 c) exactamente 68 kg (Los pesos de los quinientos estudiantes fueron redondeados al entero más próximo) Una empresa decide otorgar un premio entre los distribuidores si venden trescientos veinte o más productos por día. El número de productos vendidos al día por los distribuidores A y B está normalmente distribuido de la forma siguiente: Distribuidor Media Varianza A B Se pide: a) Qué porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor A? b) Qué porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor B? c) Si se asocian los distribuidores A y B. Qué porcentaje de los días obtendrían premio? 19.- Se sabe que una fábrica produce un 4 por mil de artículos defectuosos. Se piden cinco artículos a la fábrica. Cuál es la probabilidad de que haya uno defectuoso? Y de que haya al menos uno defectuoso. 0.- Se supone que en un determinado país el número de individuos albinos sigue una distribución de Poisson de parámetro λ= 5. Calcular la probabilidad de que elegida una muestra de la citada población, se presenten los siguientes casos: a) Ningún individuo sea albino. b) Halla menos de dos individuos albinos. c) Al menos se encuentren 3 individuos albinos. 1.- La media del número de libros leídos al cabo de un año por los habitantes de una ciudad determinada es 15 y la desviación típica.5. Si la distribución se considera normal, calcular: a) Porcentaje de personas que leen menos de 11 libros al año. b) Porcentaje de personas que leen más de 0 libros al año. c) Porcentaje de personas que leen más de 7 libros y menos de 1 libros al año. d) Valores que hay que tomar a ambos lados de la media, y a igual distancia, para que el área correspondiente bajo la curva sea igual a 0.5. e) Número de libros que ha de leer, como mínimo, una persona para que esté situada entre el 80% de los que mayor número de libros leen al año..- Sabiendo que la mortandad de las orugas a las 48 horas de aplicarles los insecticidas Actelic y Metoxidoro se distribuyen según N(8,4.5) y N(58,4.9) respectivamente. Se pide: a) Probabilidad de que mueran menos de 0 orugas en 48 horas al aplicarles Actelic. b) Probabilidad de que la diferencia de orugas muertas entre los dos grupos Metoxidoro y Actelic sea mayor que 40. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 3

4 3.- La función de densidad de una χ n de Pearson es a) Calcular la moda según los valores de n. b) Calcular la mediana para n=10. n 1 x n x - f(x) = e si x 0 Γ ( n ) 4.- Una línea eléctrica se avería cuando la tensión T sobrepasa la capacidad C de la línea. Si la tensión sigue el modelo de una distribución N(100,0) y la capacidad según una distribución N(140,10), se pide: a) La probabilidad de que la tensión supere el valor de 150. b) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución de la capacidad. c) La probabilidad de avería. 5.- En un proceso de fabricación de productos en vidrio ocurren defectos o burbujas. Se sabe que, en promedio, uno de cada 1000 de estos artículos tiene una o más burbujas. Para una muestra aleatoria de 8000 productos, se pide: a) Probabilidad de que tenga menos de siete artículos con burbujas. b) Mediana de la distribución. c) Varianza de la distribución. 6.- La altura en centímetros de los habitantes de una comunidad es una variable aleatoria X N(175,10). Para ser admitido como militar se debe tener un altura entre 165 y 00 y para pertenecer al cuerpo de zapadores se exige además una altura mayor de 190 cm. Se pide: a) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea soldado. b) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea zapador. c) Probabilidad de que un soldado cualquiera sea zapador. d) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución. 7.- El tiempo necesario para realizar un examen sigue una distribución normal de media 100 minutos y de desviación típica 10 minutos. Sabiendo que el examen empieza a las 11horas 30 minutos. Se pide: a) La probabilidad de que un alumno acabe antes de las 1h 30m. b) La probabilidad de que un alumno acabe después de las 13h. c) El tiempo máximo que debe fijar un profesor para que acaben el 90% de los alumnos. d) Si se examinan 10 alumnos, la probabilidad de que al menos uno de ellos acabe el examen antes de las 13h. 8.- Una prueba del examen de Estadística consiste en un cuestionario de 10 preguntas con tres posibles respuestas, solamente una de ellas correcta. Si contestamos a todas las preguntas de manera aleatoria, calcular: a) La probabilidad de aprobar, es decir, contestar correctamente, al menos 5 de las 10 preguntas. b) La probabilidad de no contestar bien a ninguna de ellas. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 4

5 9.- El contenido de una lata de refresco se distribuye normalmente con una media µ=33 cl y desviación típica σ=1cl. a) Cuál es la probabilidad de que el contenido de una lata sea superior a 34 cl? b) Si tenemos 3 latas, cuál es la probabilidad de que él contenido total sea inferior a 100 cl? c) Qué contenido de refresco máximo le corresponde una probabilidad 0,68? 30.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chicuadrado, con 3 grados de libertad. Obtener la mediana La probabilidad de que un alumno resuelva cualquier problema es 0,8. El examen consiste en resolver 7 problemas. Si contesta bien a 4 o más problemas aprueba, pero si contesta solamente a 3 problemas tiene la posibilidad de hacer un examen de repesca, calcular: a) La probabilidad de aprobar. b) La probabilidad de realizar un segundo examen. 3.- Un servidor de una pequeña red de ordenadores recibe una media de 7 accesos al minuto. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que reciba más de 10 accesos en un minuto. b) Probabilidad de que en un minuto reciban exactamente 7 accesos. c) Varianza de la distribución Sabiendo que la demanda diaria de un artículo X en una fábrica sigue una distribución N(600, 5), calcular: a. Probabilidad de vender menos de 550 artículos X en un determinado día. b. Número de artículos X que se debe fabricar para satisfacer la demanda el 90% de los días. c. Porcentaje de días que venderá 600 artículos X Dada una distribución χ 3 calcular el valor de la abscisa que corresponde al área sombreada del gráfico cuyo valor es 0,05: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 5

6 35.- Sabiendo que la probabilidad de que un estudiante de la ETSITGC termine la carrera es 0,7. Calcular: a) Probabilidad de que en un grupo de 10 alumnos terminen 7. b) Si empiezan la carrera un grupo de 10 alumnos, cuál será el número medio de alumnos que terminarán la carrera? 36.- A un hospital llegan, de media, 1 persona por minuto. Calcular: a) Probabilidad de que no llegue ninguna persona en 1 minuto. b) Probabilidad de que lleguen al menos dos personas en un minuto. c) La mediana de la distribución número de personas que llegan en un minuto. d) Varianza de la distribución Si el 5% de las piezas fabricadas por una determinada marca son defectuosas. En un lote de 0 piezas, calcular el número máximo de piezas defectuosas que se podrá garantizar con una probabilidad del 90% Suponiendo que cada niño tiene una probabilidad de 0.49 de ser varón. Calcular la probabilidad de que una familia de 5 hijos: a) Tenga dos niños. b) Tenga al menos un niño. c) Tenga una niña. d) Tenga al menos una niña La probabilidad de que un vehículo con más de 10 años pase con éxito la I.T.V. es de 4/5. a) Hallar la probabilidad de que exactamente dos de los siguientes 4 vehículos con más de diez años que se inspeccionen pasen la prueba con éxito. b) Hallar la probabilidad de que al menos pase la prueba un vehículo de los siguientes 4 vehículos con más de diez años Por término medio se reciben tres accesos a una página web durante un minuto cualquiera, utilizar el modelo de Poisson para calcular la probabilidad de que en un minuto cualquiera: a) Nadie acceda a la página. b) Se reciban más de dos entradas en un minuto El promedio de la frecuencia con la que llegan los coches a un determinado peaje es de cinco coches en 0 minutos. Calcular la probabilidad de que: a) No llegue ningún coche en un periodo de 0 minutos. b) Llegue solo un coche en un periodo de 0 minutos. 4.- Calcular la media y la varianza de una variable aleatoria binomial de parámetros P µ σ X<µ+σ. n=15 y p=0.4, es decir X es B(15, 0.4). Calcular ( ) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 6

7 43.- La cantidad diaria de latas de refresco, despachado por una máquina ubicada en la sala de espera de un aeropuerto es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [60, 100]. Calcular: a) Calcular la función de distribución. b) La probabilidad de que un día determinado la cantidad de latas de refresco despachadas por la máquina sea de más de 74 pero menos de 95 latas. c) La probabilidad de que un día determinado la máquina despache más de 75 latas Un fabricante de acero cree que una de las máquinas de rolado está produciendo láminas de metal con espesores variables. El espesor es una variable aleatoria uniforme con valores entre 150 y 00 milímetros. Cualquier lámina que tenga menos de 160 milímetros de espesor deberá desecharse, pues no es aceptable por los compradores. a) Calcular el espesor medio y la desviación típica de las láminas. b) Representar la función de densidad y la de distribución. c) Calcular la proporción de láminas producidas por esta máquina que se desechan El peso de un limón está distribuido según una distribución N(15, 10) en gramos. Cuál es la probabilidad de que una caja con 50 limones pese menos de 6 kg? Si llenamos bolsas de ocho limones, cuál es la probabilidad de que las bolsas pesen entre 975 y 105 gramos? 46.- El consumo diario de una determinada marca de frigoríficos medido en kw/h, es una variable aleatoria normal. El 5% de los días consume menos de.5 kw/h, y el 80% de los días consume menos de.7 kw/h. Cuál es la media y varianza del consumo diario del frigorífico? 47.- Al finalizar las pruebas de selectividad, uno de los tribunales comprobó que de 50 alumnos presentados, 00 obtuvieron una calificación inferior a 6. Supuesta normal la distribución de las calificaciones, con una desviación típica de.5, se pide: a) Calcular la media de las calificaciones. b) Si se considera suspenso a los que han obtenido una calificación inferior a 5, qué tanto por ciento de suspensos habrá habido. c) Cuántos alumnos obtuvieron una nota igual a 6? 48.- El etíope Bekele, posee la mejor marca mundial y puede correr la prueba de los 000 metros en un tiempo distribuido según una N(4:5.86, 0:03.00). Su contrincante el keniano S. Morir puede hacer esa misma distancia en un tiempo según una distribución N(4:55.7, 0:0.00). Bekele estableció la mejor marca mundial parando el crono en 4: a) Qué probabilidad tenía de establecer dicha marca? b) Cuál es la probabilidad de que Bekele ganase a S. Morir? c) Cuál es la probabilidad de que ganase en caso de perder 3 segundos por hacer una mala salida? 49.- Un estudio demostró que los tiempos de vida de cierta clase de baterías de automóvil se distribuye normalmente con una media de 148 días y una desviación típica de 185 días. Si el fabricante desea garantizar sus baterías por 36 meses, qué porcentaje de baterías deberán ser cambiadas estando en vigor la garantía? U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 7

8 50.- En una carrera de Fórmula 1, el consumo de combustible de un determinado vehículo sigue una distribución χ por vuelta. Cuando quedan 0 vueltas para el final de 3 la carrera, entra el vehículo a repostar. Cuál es la cantidad mínima de combustible que tiene que repostar para que la probabilidad de que acabe la carrera sea mayor de 0.95? 51.- Calcular las siguientes probabilidades P > 13.4 P 1.55 ( χ 1 ) ( χ 6 ). P( 9.6 < χ 1 < 33.6) ( χ 9 >χ ) = P( χ 9 <χ ) = 0.10 ( < χ 1 <χ ) = ( t8 < 6) P( 0.6 t 10 < 0.879); P ( t8 t) 0. 9; P 0.05 P 0. ; P < = ( t ) P 0. 6 < t = La media del número de errores de ortografía por página es 3. Calcular la probabilidad de que: a) En una página existan exactamente dos errores. b) En una página existan al menos dos errores. c) En cinco páginas existan exactamente doce errores Un examen consta de 4 problemas, la probabilidad de que un alumno resuelva bien cualquier problema es 0,8. a) Obtener la función de probabilidad de la variable aleatoria X= número de problemas resueltos bien. b) Hallar la probabilidad de realizar bien, al menos, dos problemas. c) Cuál será la moda? 54.- La longitud L en milimitros de las piezas fabricadas en un proceso es una variable aleatoria que se distribuye según una N(10,0.1). Se pide: a) P(9.5<L<10.5) b) El valor x tal que P(L<x)= En la fabricación de un cierto tipo de piezas se sabe que el % son defectuosas. Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 piezas haya: a) defectuosas? b) ninguna defectuosa? c) menos de defectuosas? 56.- El coeficiente de inteligencia de los universitarios tiene de media 110 y la desviación típica 15. Si la distribución se considera normal, calcular: a) Porcentaje de estudiantes con coeficiente mayor de 110 y menor de 10. b) El coeficiente mínimo, para que un estudiante sea superdotado. Se denomina superdotados a aquellos que poseen un cociente intelectual que se encuentran por encima del 98% de la población En cierto gimnasio se ha comprobado que de los matriculados días después de Navidades el 30% de ellos no vuelven pasado el mes de enero y el 70% restante U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 8

9 permanecen todo el año. Si suponemos que este año, se inscriben 100 alumnos días después de Navidades. Respecto de los inscritos después de Navidades a) Identificar la variable aleatoria del problema e indicar qué distribución sigue. b) Cuál es la probabilidad de que 5 o menos no vuelvan pasado enero? c) Cuál es la probabilidad de que exactamente 30 alumnos no vuelvan pasado enero? d) Cuál es la probabilidad de que más de 35 alumnos no vuelvan pasado enero? Al hacer la inscripción realizan un único pago anual de 750 euros. Cada alumno que permanece todo el año genera un gasto anual de 10 euros (se considera que los alumnos que permanecen menos de un mes no generan gasto). e) Cuál es el beneficio anual esperado? 58.- Supongamos que el 5% de la población que ingresa en los hospitales de Madrid por urgencias tiene menos de 9 años. Supongamos, también, que el número de ingresos es suficientemente grande como para que al elegir un usuario al azar y apartarlo, no se altere dicho porcentaje. Se eligen al azar 16 enfermos ingresados por urgencias. Calcular: a) La probabilidad de que ninguno de ellos tenga menos de 9 años. b) La probabilidad de que 3 o menos ingresados tengan menos de 9 años. c) La probabilidad de que tengan menos de 9 años menos de 3 ingresados. d) La probabilidad de que tengan menos de 9 años más de ingresados. e) La probabilidad de que tengan menos de 9 años ingresados o más. f) La probabilidad de que el número de ingresados con menos de 9 años este comprendido entre y 5 ambos inclusive. g) El número medio de ingresados con menos de 9 años. h) La desviación típica de ingresados con menos de 9 años 59.- El tiempo en minutos de un viaje (ida y vuelta) de los camiones que transportan material hacia una obra de construcción en una carretera, está distribuido uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos. a) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos? b) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea menor a 65 minutos? c) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea exactamente 65 minutos. d) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos si se sabe que la duración del viaje es mayor que 55 minutos? e) Determinar el tiempo medio y la desviación estándar de la duración de los viajes Un estudio de la DGT estima que el número de horas prácticas necesarias para la obtención del permiso de conducir sigue una distribución N(4, 3). a) Qué probabilidad hay de obtener el permiso de conducir con menos de 0 horas de prácticas? b) Cuántas horas de prácticas ha necesitado un conductor para obtener el permiso si el 68% de los conductores ha necesitado más horas que él? Si la autoescuela ingresa por alumno una parte fija en concepto de matrícula de 300 euros, más 5 euros por hora de práctica. c) Calcular el ingreso por alumno esperado. d) Calcular la desviación típica del ingreso por alumno. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 9

10 61.- Para una distribución N(9, ), calcular: a) El valor del percentil 60. a) El valor del primer cuartil. b) Valores centrales entre los que queda comprendido el 40% de las observaciones. 6.- Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a una oposición, se distribuyen normalmente con media 6,5 y varianza 4. a) Calcular la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos. b) Calcular el porcentaje de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos. c) Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7.5? 63.- De una distribución normal se conoce: El percentil 70 es igual a 88 y 0.7 la probabilidad de que la variable tenga un valor inferior a 60. Hallar los parámetros que definen esta distribución normal Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: P 4 p P 3 p P 3.5 < 5.9 = p a) ( χ6 ) = ; b) ( χ 6 > ) = ; c) ( χ 6 ) ; d) ( 7 ) P χ 4 = p 65.- Calcular el valor, x, de la variable que verifica: P < x 0.90 P > x 0.05 P x = a) ( χ 5 ) = ; b) ( χ 5 ) = ; c) ( χ 5 ) ; d) ( χ 5 ) e) P( x < χ 5 < 5) = ; f) P( χ 6 < x) = 0.95 ; g) P( χ 6 > x) = 0.05 ; h) P( χ 7 x) = ; i) P( χ 7 < x) = P < x = Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: P t 0.3 p P t 1 p P t.5 p a) ( 9 ) = ; b) ( 9 < ) = ; c) ( 15 > ) = ; d) ( 7 > ) = e) P( 0.75 < 1.5) = p ; f ) P( t > 3.75 ) = p; ( ) t P t p g) P 1.75 t < 1.5 = p Calcular el valor, x, de la variable que verifica: P t x P t x P t x a) ( 5 < ) = ; b) ( 5 < ) = ; c) ( 5 ) = ; d) ( 5 ) e) P( x < t5 < x) = ; f) P( x < t 5 < 1.75) = ; e) P( t6 < x) = ; f) P( t < x) = ; g) P( t x) = ; h) P( x < t < x) = P t < x = ; 68.- En un sondeo sobre la actitud de los clientes hacia un determinado producto se encuentra que hay un 70% de clientes que están a favor. Si se extrae una muestra aleatoria de 10 sujetos obtener las probabilidades siguientes: a) Que 3 clientes estén a favor. b) Que más de 3 clientes estén a favor. c) Que menos de 3 clientes estén a favor. d) Que como máximo 3 clientes estén a favor. e) Que como mínimo haya 6 clientes a favor. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 10

11 f) Que estén a favor al menos el valor esperado de clientes que están a favor. g) Probabilidad de que estén en contra 4 o más clientes. h) Qué cantidad de clientes le corresponde al percentil 85? 69.- El contenido de un bote de cerveza se distribuye normalmente con media 33 cl, y desviación estándar 3 cl. a) Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga más de 34 cl? b) Cuál es la probabilidad de que un determinado bote tenga menos de 30 cl. c) En un envase de 6 botes cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos? 70.- Solo 4 de los 00 alumnos de una Escuela Técnica miden menos de 168 cm, si la estatura media de dichos alumnos es de 174 cm, cuál es la varianza en las estaturas? 71.-La probabilidad de curación de un determinado tratamiento quirúrgico es Se pide: a) Calcular la probabilidad de que en un grupo de 10 enfermos se curen la mitad. b) La probabilidad de que al menos se curen dos. c) Mediana. 7.- Las ventas mensuales de dos tiendas de ordenadores siguen distribuciones X N(10,8) e Y N(50,6). Calcular la probabilidad de que: a) La primera, X, venda 100 o más ordenadores. b) La segunda, Y, venda menos de 40 ordenadores. c) Entre ambas vendan entre 150 y 180 ordenadores En un estudio sobre la preferencia de los clientes hacia una determinada marca X se ha obtenido que el 40% de los clientes tienen la marca X como su marca favorita. Si se extrae una muestra aleatoria de 8 sujetos obtener las probabilidades siguientes: a) Que clientes tengan la marca X como su marca favorita. b) Que menos de 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita. c) Que como máximo 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita. d) Que como mínimo haya 5 clientes que tengan la marca X como su marca favorita. e) Calcular la media y varianza El contenido de un bote de zumo se distribuye normalmente con media 33 cl, y desviación estándar 1 cl. a) Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga 1. Exactamente 33 cl?. Al menos 33.5 cl? 3. Menos de 3 cl? 4. Entre 3 y 34 cl? b) Calcular la cantidad de centilitros que le corresponde a los percentiles P95, P5 y la mediana. c) En un envase de 6 botes cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos? U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 11

12 75.- a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: P 3 p P 3 p P 7 p; 1) 7 ; ) 7 ; 3) 7 4) P t p; 5) P t p ; 6) P 1 t 1 8 b) Calcular el valor, x, de la variable que verifica: P x 0.95 P x ) 5 ; ) 5 3) P t6 x 01. ; 4) P 6 x. 8 t 01 p Se ha realizado un examen de tipo test con un gran número de preguntas. Las puntuaciones finales del test se dan sobre 50 puntos (enteros del 0 al 50). Las puntuaciones finales en actas son redondeadas al entero más próximo a partir de las puntuaciones reales, esto es, obtienen 1, por ejemplo, los alumnos con nota en el intervalo [11.5, 1.5). Para aprobar el examen se exige una puntuación de 5. Si suponemos que las puntuaciones antes de ser redondeadas siguen una distribución normal de media 30 y varianza 5: a) Qué puntuación máxima (no redondeada) delimita el % de las notas más bajas? b) Qué puntuación mínima (no redondeada) delimita el 0% de las notas más altas? c) Qué porcentaje de alumnos aparecerán en las actas de notas finales (redondeadas) con 5 puntos exactamente? d) Cuál será el porcentaje de suspensos en actas (notas finales redondeadas)? 77.- En un parque eólico la distancia entre aerogeneradores situados linealmente sigue el modelo de una distribución N(150, 0.4) metros. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que dos aerogeneradores vecinos: a 1 ) Tengan una separación menor que 149. a ) Tengan una separación comprendida entre y a 3 ) Tengan una separación mayor que b) Cuartiles de la distribución El tiempo en minutos que tarda un atleta en recorrer 100 metros sigue una distribución Normal, N(10,0.5). En una carrera por relevos de 4x100 metros, cuál es la probabilidad de batir el record establecido en 37 minutos? U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 1

13 1.- La luz verde de un semáforo está encendida 15 s cada vez, el ámbar 5, y la roja 55 s. Suponiendo que las condiciones de tráfico inducen variaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los automóviles, de formar que llegar cuando el semáforo está verde es un suceso aleatorio. Calcular la función de probabilidad de éxitos en 4 pruebas independientes. La probabilidad de éxito llegar será: p 15 1 = = En 4 pruebas tenemos una distribución B(4,1/5) P(X = k) = n k 4 k k p k q n k = k P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = ) = P(X = 3) = P(X = 4) = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 13

14 .- En un taller hay 10 máquinas iguales, se ha visto que una máquina determinada un día de cada 5 está averiada. a) Si es de 500 la perdida diaria ocasionada por tener una máquina averiada, calcular la perdida media diaria. b) La probabilidad de que un cierto día no se encuentre ninguna máquina averiada. Consideramos la variable aleatoria X= número de máquinas averiadas en un día Tenemos una distribución B(10,1/5) P(X = k) = n k p k. q n k= k 10 k k 5 5 a) Cuya media es 1 E[X] = np = 10 = Perdida igual a por 500= b) P(X = 0) = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 14

15 3. Sabiendo que la probabilidad de que un estudiante de segundo de Topografía termine la carrera es 0.8, calcular: a) Probabilidad de que un grupo de 0 alumnos terminen 16. b) Si dividimos a los alumnos de segundo en grupos de 0, cuál será el número medio de alumnos por grupo que terminarán la carrera? c) Varianza de la distribución. Consideramos la variable aleatoria X= número de alumnos que terminan la carrera Tenemos una distribución B(0,0.8) P(X = k) = n k p k q n k 0 k. 0,8 1 0,8 k = ( ) 0 k 0 0,8 1 0, a) P(X = 16) = ( ) , b) Cuya media es E[X] = np = 0 0,8 =16 c) Cuya varianza es V[X] = npq = 0 0,8 0, = 3, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 15

16 4.- Al inspeccionar 100 juntas de soldaduras producidas por una máquina de soldar se encontraron 10 defectuosas. Al soldar 5 uniones, cuál es la probabilidad de encontrar al menos una defectuosa? Calcular la media. Consideramos la variable aleatoria X= número soldaduras defectuosas, donde la probabilidad de encontrar una soldadura defectuosa es p = 10/100 = 0,1 Tenemos una distribución B(5,0.1) P(X = k) = n k p k q n k. 5 = 0,1 k ( 1 0,1 ) 5 k k 5 0 P( X 1) 1 P( X 1) 1 P( X 0) 1 0,1 ( 1 0,1) 5 = < = = = 0 0, Cuya media es E[X] = np = 5 0,1 = 0,5 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 16

17 5.- Se supone que el n de bacterias por mm 3 de agua en un estanque es una variable aleatoria que sigue una distribución Poisson de parámetro λ = 1. Cuál es la probabilidad de que no haya bacterias en 1 mm 3 de agua? Llamamos X a la variable aleatoria " Número de bacterias en 1 mm 3 de agua", su función de k k λ λ 1 1 probabilidad es P(X = k) = e si λ >0. En nuestro caso: P(X = k) = e y para k! k! P(X = 0) = e = 0! e U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 17

18 6.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno anote mal un dato en una medición es 0.000, en una lista de 000 datos. Determinar: A) El tipo de distribución. B) La probabilidad de que existan exactamente 4 datos incorrectos. C) El número medio de datos mal anotados. a) Puede ser una distribución binomial de parámetros n=000 y p=0,000 o bien una distribución de Poisson de media np=0,4; ya que se trata de una variable aleatoria discreta con dos situaciones éxito o fracaso. Puesto que np es inferior a 5 utilizaremos la distribución de Poisson (Ley de casos raros). b) Distribución de Poisson de parámetro λ=0,4, luego cuatro datos incorrectos c) Media: λ=np= 0,4 0, 4 P(X 4) e 4! 0, 4 P(X k) e k! 4 0,4 = = 0, k 0,4 = = y exactamente U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 18

19 7. Por un punto de una carretera pasan vehículos de acuerdo con la distribución de Poisson, a razón de seis vehículos por minuto. Hallar: A) Probabilidad de que transcurran 0 segundos y pase más de 5 vehículos. B) Si un peatón tarda 10 segundos en cruzar la carretera, calcular la probabilidad de que no pase ningún vehículo. Distribución de Poisson de parámetro λ=6 en 60 segundos, luego para 0 segundos la k k λ λ frecuencia de paso de vehículos es : P(X = k) = e = e k! k! a) 5 k P(X > 5) = 1 P(X 5) = 1 e 0, k! k= 0 b) Para 10 segundos λ=1 1 P(X 0) e 0! 0 1 = = 0, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 19

20 8.- El ordenador que realiza las 1000 nóminas de una empresa efectúa en cada una de ellas un redondeo al número entero más próximo. Se supone que el redondeo en el importe de cada nómina produce un error que sigue una distribución uniforme entre 0.5 y 0.5 euros. Calcular la probabilidad de que la suma del importe de 1000 nóminas tenga un error total entre 0 y 0 euros. La distribución uniforme en el intervalo [ a,b ] tiene por función de densidad: 0 si x < a 1 f (x) = si a x b b-a 0 si b<x con media a+ b µ= y varianza ( ) b a σ =. 1 En nuestro caso: 0 si x < 0.5 f (x) = 1 si -0.5 x si 0.5<x con media 0 y varianza 1 σ = 1 Si una variable es suma de n variables independientes, con medias µ i y varianzas σ i, su distribución tenderá a ser normal, con media igual a la suma de medias y varianza igual a la suma de las varianzas, cuando n, número de sumandos, tienda a infinito. Es decir, la variable se aproximará a N µ i, σi. i i La varianza de una distribución uniforme es: 1 n, luego en n según el teorema es 1 1. Por tanto para n=1000, tenemos N 0, = N 0, 1 3 P( 0 < X < 0) = P(X < 0) P(X 0) =F(0)-F(-0) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 0

21 9.- Sabiendo que los errores de observación, X, de una determinada magnitud siguen una distribución N(0,1.5), calcular: a) Probabilidad de que al hacer una observación el error sea mayor que 0,5. b) El error x tal que P( X < x) = 0.95 a) Sea X la observación que tiene la misma distribución que la población. cuya función de distribución es: 1(t µ ) 1(t x 1 0) x 1 σ 1.5 F(x) = P(X x) = e dt = e dt σ π 1.5 π Así pues: P( X > 0,5) = 1 P( X 0,5) = 1 F(0,5) = = b) P( X x) P( x X x) 0.95 F(x) P(X x) < = < < = = < = x = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 1

22 10.- Un proceso de fabricación tiene tres fases consecutivas de tal manera que la duración en minutos de cada una de ellas viene dada, respectivamente, por las siguientes variables aleatorias independientes: N(50,5), N(70,3) y N(80, ). a) Cuál es la duración total media del proceso? b) Cuál es la probabilidad de que el proceso tenga una duración total inferior a 15 minutos? c) Determinar con probabilidad del 0.97 el tiempo máximo que puede durar el proceso. X1 N(50,5) ; X N(70,3) ; X3 N(80, 4), luego Y = X1+ X + X3 N( µσ, ) a) µ= EY= EX + EX + EX = =00 Con [ ] [ ] [ ] [ ] 1 3 [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) σ = VY= VX + VX + VX = = b) P Y < 15 = F(15) = ( ) c) P Y < t = F(t) = 0.97 t = ( ) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

23 11.- Los cierres de triángulos de una red están normalmente distribuidos con media 1 y desviación típica. Calcular la probabilidad de que un cierre sea: a) mayor que. b) mayor que 1 y menor que. c) negativo. d) en valor absoluto menor que 1. La variable aleatoria cierre de triángulo X N(1, ) cuya función de distribución es: 1(t µ ) 1 (t 1) x σ x 1 1 F(x) = P(X x) = e dt = e dt σ π π a) P(X > ) = 1 P(X ) =1-F() b) P(1 < X < ) = P(X < ) P(X 1) =F()-F(1) c) P(X < 0) =F(0) d) P( X < 1) = P( 1 < X < 1) = P(X < 1) P(X 1) = P(X < 1) 1 = F(1) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 3

24 1.- Sabiendo que la demanda aleatoria de teodolitos durante un día en una fábrica sigue una distribución N(70,3), calcular: a) Probabilidad de vender más de 60 teodolitos. b) Número de teodolitos que debe fabricar cada día para satisfacer la demanda el 95% de los días. La variable aleatoria número de teodolitos fabricados en un día X N(70,3) cuya función de distribución es: 1(t µ ) 1(t 70) x σ 3 x 1 1 F(x) = P(X x) = e dt = e dt σ π 3 π a) P(X > 60) = 1 P(X 60) = 1 F(60) b) P(X x) =0.95 x = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 4

25 13.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chicuadrado, con 3 grados de libertad. Se pide: a) La moda b) La mediana X χn= 3 a) Buscaremos el máximo en la función de densidad #1: CHI_SQUARE(x, 3) d #: CHI_SQUARE(x, 3) dx - x/ - x/ x #3: + - x x - x/ d - x/ x #4: + - dx x x - x/ - x/ x #5: - 4 x 4 Resolviendo la ecuación f (x)=0 #7: x = x = 1 F(M) = P χ < M = 0.5 M = b) ( n= 3 ) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 5

26 14.- Una niña coge todos los días el autobús para ir al colegio en una parada que está frente a su casa. El tiempo de espera diaria es una variable aleatoria con distribución χ de media 5 minutos. n a) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera sea inferior a 5 minutos? b) Cuál es el tiempo de espera máxima con probabilidad 0,5? a) P( n= 5 5) χ < = b) ( n= 5 ) P χ < x = 0.5 x = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 6

27 15.- Cada una de las tres coordenadas de un punto P del espacio son v. a. con distribución N(0,1). Calcular: a) Probabilidad de que el cuadrado de la distancia de dicho punto al origen de coordenadas sea mayor que b) Media del cuadrado de la distancia al origen. Un punto P(X1,X,X3) donde Xi a) P ( ) ( n= 3 0,35 1 P n= 3 0,35) N(0,1) si calculamos ( ) = + + χ d(o,p) X X X = 1 3 n 3 χ > = χ > = b) E χ n= 3 = n = 3 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 7

28 16.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chicuadrado, con 6 grados de libertad. Se pide: a) Probabilidad de que la variable tome un valor inferior a 3. b) Probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre 4 y 5. c) El valor del primer cuartil. χ X n= 6 a) P( n= 6 3) χ < = P 4<χ < 5 = P χ < 5 P χ < 4 = b) ( n= 6 ) ( n= 6 ) ( n= 6 ) P χ < Q = 0.5 Q 1 = c) ( n= 6 1) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 8

29 17.- El peso medio de los estudiantes varones de una universidad es de 68 kg y la desviación típica es de 10 kg. Suponiendo que hay 500 y están distribuidos normalmente, hallar el número de estudiantes que: a) pesan entre 48 y 7 kg. b) más de 91kg. c) exactamente 68 kg (Los pesos de los quinientos estudiantes fueron redondeados al entero más próximo). La variable aleatoria peso X N(68,10) cuya función de distribución es: 1(t µ ) 1(t 68) x σ 10 x 1 1 F(x) = P(X x) = e dt = e dt σ π 10 π a) P(48 < X < 7) = P(X < 7) P(X 48) = F(7) F(48) 0, En una población de 500 estudiantes será: 500.(0, ) aproximadamente 316 b) P(X > 91) = 1 P(X 91) = 1 F(91) = 1 0, En una población de 500 estudiantes será: 500.( ) aproximadamente 5 c) P(X = 68) = 0 P(67,5 < X < 68,5) = P(X < 68,5) P(X 67,5) = F(68,5) F(67,5) En una población de 500 estudiantes será: 500.( ) aproximadamente 0 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 9

30 18.- Una empresa decide otorgar un premio entre los distribuidores si venden trescientos veinte o más productos por día. El número de productos vendidos al día por los distribuidores A y B está normalmente distribuido de la forma siguiente: Distribuidor Media Varianza A B Se pide: a) Qué porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor A? b) Qué porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor B? c) Si se asocian los distribuidores A y B. Qué porcentaje de los días obtendrían premio? La variable aleatoria nº de productos distribuidor A X N(90,0) La variable aleatoria nº de productos distribuidor B Y N(300,10) a) P(X > 30) = 1 P(X 30) = 1 F(30) = , por tanto, el 6,68 por 100 de los días obtendrá premio el distribuidor A. b) P(Y > 30) = 1 P(Y 30) = 1 F(30) = , el,8 por 100 de los días obtiene premio el distribuidor B c) Si se asocian el número de productos vendidos al día tendrá de media 590, y desviación típica σ X+ Y= σ X+σ Y= = 500 P(X + Y > 30) = 1 P(X + Y 30) = 1 F(30) = 1-0=1 Obtendrían premio el 100% de los días U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 30

31 19.- Se sabe que una fábrica produce un 4 por mil de artículos defectuosos. Se piden cinco artículos a la fábrica. Cuál es la probabilidad de que haya uno defectuoso? Y de que haya al menos uno defectuoso. Consideramos la variable aleatoria X= articulo defectuoso, donde la probabilidad es p = 4/1000 = 0,004 Tenemos una distribución B(5,0.004) P(X = k) = n k p k q n k. 5 = 0,004 k ( 1 0,004 ) 5 k k a) 5 1 P( X 1) 0, 004 ( 1 0, 004) 5 = = 1 0, b) 5 0 ( ) ( ) ( ) ( ) P X 1 = 1 P X < 1 = 1 P X = 0 = 1 0, , 004 = 1 0, , U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 31

32 0.- Se supone que en un determinado país el número de individuos albinos sigue una distribución de Poisson de parámetro λ= 5. Calcular la probabilidad de que elegida una muestra de la citada población, se presenten los siguientes casos: a) Ningún individuo sea albino. b) Halla menos de dos individuos albinos. c) Al menos se encuentren 3 individuos albinos. Llamamos X a la variable aleatoria " Número de individuos albinos", su función de k λ λ probabilidad es P(X = k) = e si λ >0. k! k 5 5 En nuestro caso: P(X = k) = e y para k! a) b) 5 1 = = 5 0! e 0 5 P(X 0) e = P(X < ) = P(X = 0) + P(X = 1) = e + e = 6e = 0! 1! e 5 c) P(X 3) = 1 P(X < 3) = 1 ( P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = ) ) = 1 e e - e = 1- e 0! 1!! 0, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 3

33 1.- La media del número de libros leídos al cabo de un año por los habitantes de una ciudad determinada es 15 y la desviación típica.5. Si la distribución se considera normal, calcular: a) Porcentaje de personas que leen menos de 11 libros al año. b) Porcentaje de personas que leen más de 0 libros al año. c) Porcentaje de personas que leen más de 7 libros y menos de 1 libros al año. d) Valores que hay que tomar a ambos lados de la media, y a igual distancia, para que el área correspondiente bajo la curva sea igual a 0.5. e) Número de libros que ha de leer, como mínimo, una persona para que esté situada entre el 80% de los que mayor número de libros leen al año. X 15 La variable aleatoria nº de libros X N(15,.5) Y = N(0,1).5 a) P(X < 11) = F(11) ,48% b) P(X > 0) = 1 P(X 0) = 1 F(0) ,8% c) P(7 < X < 1) = P(X < 1) P(X 7) =F(1)-F(7) ,44% d) P(r < X < s) =0.5 F( s ) = F(r) = 0, Los valores pedidos son: ( , ) e) P(X > x) = 0.8 = 1 P(X x) = 1 F( x) F( x ) =0. x = libros U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 33

34 .- Sabiendo que la mortandad de las orugas a las 48 horas de aplicarles los insecticidas Actelic y Metoxidoro se distribuyen según N(8,4.5) y N(58,4.9) respectivamente. Se pide: a) Probabilidad de que mueran menos de 0 orugas en 48 horas al aplicarles Actelic. b) Probabilidad de que la diferencia de orugas muertas entre los dos grupos Metoxidoro y Actelic sea mayor que 40. Sea A la mortandad de las orugas con Actelic, N(8,4.5), cuya función de distribución es: 1(t µ ) 1(t 8) x σ 4.5 x 1 1 F A (x) = P(A x) = e dt = e dt σ π 4.5 π Sea M la mortandad de las orugas con Metoxidoro, N(58,4.9), cuya función de distribución es: 1(t µ ) 1(t x 1 58) x 1 σ 4.9 F M (x) = P(M x) = e dt = e dt σ π 4.9 π a) Así pues: P( A < 0) = F A (0) b) Ahora la distribución M A N( 58 8, 4.9 ) = N( 30, ) P( M A > 40) = 1 P( M A < 40) = 1 F(40) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 8

35 3.- La función de densidad de una χ n de Pearson es n 1 x n x - f(x) = e si x 0 Γ ( n ) a) Calcular la moda según los valores de n. b) Calcular la mediana para n=10. a) Para calcular la moda debemos obtener el máximo de la función de densidad n/ x/ d x #: dx n/ n - (n + )/ - x/ (n - 4)/ x (x - n + ) - #3: n n 4 1-1! x (x n + )x - f '(x) = e =0 x = n, si n> n+ n 1! 1/ x/ x #6: 1/ 1 - x/ #7: b) Para n=10 La mediana, x, es tal que F(x) = f(t)dt = 0,5 0 x 4 - x/ x #10: dx = x #11: x = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 9

36 4.- Una línea eléctrica se avería cuando la tensión T sobrepasa la capacidad C de la línea. Si la tensión sigue el modelo de una distribución N(100,0) y la capacidad según una distribución N(140,10), se pide: a) La probabilidad de que la tensión supere el valor de 150. b) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución de la capacidad. c) La probabilidad de avería. T N 100, 0 C N 140,10 ( ) y ( ) a) P(T > 150) = 1 P(T 150) = 1 F T (150) b) P(r < C < s) =0,95 FC ( s ) =P(C<s) = 0,05+0,95=0, , F C(r) = P(C < r) = 0, 05 10, Los valores pedidos son: ( , ) c) Ahora la distribución T C N( , 0 ) + 10 = N( 40, ) P( T> C) = P( T C> 0) = 1 P( T C< 0) = 1 F(0) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 30

37 5.- En un proceso de fabricación de productos en vidrio ocurren defectos o burbujas. Se sabe que, en promedio, uno de cada 1000 de estos artículos tiene una o más burbujas. Para una muestra aleatoria de 8000 productos, se pide: a) Probabilidad de que tenga menos de siete artículos con burbujas. b) Mediana de la distribución. c) Varianza de la distribución. Consideramos la variable aleatoria X= número de artículos con burbujas con p=0,001 y n=8000. Podemos considerar una distribución Binomial o una distribución de Poisson Para una distribución B(0.001,8000) n k 8000 k p 1 p = 0, , 001 k k 10 k 10 k P(X = k) = ( ) ( ) 8000 < = 6 10 k k= 0 k 0, k a) P(X 7) 0, 001 ( 1 0, 001) 8000 F(M) = P(X M) = 0, , 001 0,5 M 10 k k= 0 k M = 8 k b) ( ) c) Varianza=np(1-p)=8000 0,001 0,991=7.99 Otra forma de resolver el problema, dado que n es grande y p pequeño es con una Distribución de Poisson de parámetro λ=np=8: k k λ λ 8 8 P(X = k) = e = e k! k! 6 k 8 8 a) P(X < 7) = e k! k= 0 b) 8 = = M = 8 k! M k 8 F(M) P(X M) e 0,5 k= 0 c) La varianza coincide con la media λ=8. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 31

38 6.- La altura en centímetros de los habitantes de una comunidad es una variable aleatoria X N(175,10). Para ser admitido como militar se debe tener un altura entre 165 y 00 y para pertenecer al cuerpo de zapadores se exige además una altura mayor de 190 cm. Se pide: a) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea soldado. b) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea zapador. c) Probabilidad de que un soldado cualquiera sea zapador. d) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución. La variable aleatoria altura X N(175,10) a) P(165 < X < 00) = P(X < 00) P(X 165) = F(00) F(165) b) P(190 < X < 00) = P(X < 00) P(X 190) = F(00) F(190) c) d) P(190 < X < 00) P(165 < X < 00) F(r) = P(X < r) = 0.05 r = P( r < X < s) = 0.95 F(s) = P(X < s) = s = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 3

39 7.- El tiempo necesario para realizar un examen sigue una distribución normal de media 100 minutos y de desviación típica 10 minutos. Sabiendo que el examen empieza a las 11horas 30 minutos. Se pide: a) La probabilidad de que un alumno acabe antes de las 1h 30m. b) La probabilidad de que un alumno acabe después de las 13h. c) El tiempo máximo que debe fijar un profesor para que acaben el 90% de los alumnos. d) Si se examinan 10 alumnos, la probabilidad de que al menos uno de ellos acabe el examen antes de las 13h. La variable aleatoria TIEMPO X a) P(X < 60) = F(60) N(100,10) cuya función de distribución es: 1 (t µ ) 1 (t 100) x σ 10 x 1 1 F(x) = P(X x) = e dt = e dt σ π 10 π b) P(X > 90) = 1 P(X 90) = 1 F(90) c) P(X t) = F(t) = 0,90 t = minutos a partir de las 11:30 horas resulta que el examen debe acabar a las 13h 3m d) P(que acabe al menos uno de los 10 antes de 90 minutos)= =1-P(que no acaben ninguno de los 10 antes de 90 minutos)= =1-P(los 10 acaben depués de 90 minutos)= =1-(P(uno acabe depués de 90 minutos)) 10 = =1-P(X>90) 10 =1-(1-P(X<90)) 10 =1-(1-F(90)) 10 = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 33

40 8.- Una prueba del examen de Estadística consiste en un cuestionario de 10 preguntas con tres posibles respuestas, solamente una de ellas correcta. Si contestamos a todas las preguntas de manera aleatoria, calcular: a) La probabilidad de aprobar, es decir, contestar correctamente, al menos 5 de las 10 preguntas. b) La probabilidad de no contestar bien a ninguna de ellas. Consideramos la variable aleatoria X= número de respuestas correctas Tenemos una distribución B(10,1/3) k 10 k n k 10 k P(X = k) = p ( 1 p) = 1 k k k 10 k a) P(X 5) = 1 P(X < 5) = 1 1 k= 0 k b) P(X = 0) = 1 0 = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 34