Tema 4. MODELOS DE DISTRIBUCIONES DISCRETOS.
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- Germán Salazar Cabrera
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1 Estadística Tema 4 Curso /7 Tema 4. MODELOS DE DISTRIBUCIONES DISCRETOS. Objetivos Conceptos: Conocer los siguientes modelos discretos de probabilidad: uniforme, binomial, geométrico y Poisson. De cada uno de ellos: * Tipo de eperimentos que modelizan * Función de masa * Esperanza y varianza * Propiedades gráficas y de asimetría * Propiedades de reproductividad (suma de v.a.) Saber hacer: Dada una variable aleatoria: * Reconocer el modelo de probabilidad que sigue * Calcular probabilidades, utilizando las tablas o bien a partir de las fórmulas adecuadas * Hallar esperanza y varianza. Dada una variable estadística: * Estudiar si se ajusta a alguno de los modelos de probabilidad estudiados * Determinar los parámetros correspondientes a dicho modelo Problemas de eámenes (web): SIN: Febrero : Problema (a) (b) (c) Septiembre. Problema (c)(d) Febrero 5: Problema Junio 4: Problema CON: Septiembre : 4 (d) (modelos A y B) Diciembre 4: (m) (n) Junio 5: (d) (e) Septiembre 5: (c)(d)
2 Estadística Tema 4 Curso / Introducción. Hay situaciones que siguen modelos de distribución de probabilidad muy similares: Resultados al lanzar una moneda, un dado, una ruleta, el sorteo de la ONCE,... Número de caras al lanzar 3 monedas, número de seises al lanzar tres dados,... Número de tiradas hasta que sale la primera cara, número de tiradas hasta que sale el primer seis,... Buscaremos patrones, modelos que se adapten a situaciones frecuentes. En general, los modelos son simplificaciones de la realidad, no se ajustan eactamente a ella, pero nos sirven para poder comprenderla mejor Distribución uniforme discreta. Modelo Tipo de eperimento Ejemplos Uniforme discreta X: resultado de un eperimento en el que todos los valores posibles tienen la misma probabilidad ) Resultados al lanzar un dado. ) Resultados al jugar a una ruleta Función de { /,...,n} masa i R i = ; P( X = i ) = n E(X) = i I i n n V(X)= i E( X) CAF= (simétrica) i I Ejemplos: ) Resultados al lanzar un dado P( X = i) = ; i =,,3,4,5,; E(X)= k = 3.5 ; V(X)= k ( ) 3.5 = =.9 35 ) Resultados al jugar a una ruleta P( X = i) = ; i =,,,...,3 ; E(X)= 37 3 k = 8 37 ; V(X)= k ( ) 3 8 = 4 37 Observamos en la representación gráfica, la simetría en los dos casos: Discrete Uniform Distribution,8,5,,9,,3 3 4 Lower limit,uppe,,37
3 Estadística Tema 4 Curso / Distribución binomial. Modelo Tipo de eperimento Ejemplos Bernouilli B(,p) X: número de éitos en un eperimento tal que: Sólo hay dos resultados posibles {,} La probabilidad de éito () es constante: p ) Acertar la respuesta de una pregunta de test contestando al azar Si es de Verdadero o Falso, p=/ Si hay 3 alternativas p=/3 En general, con n alternativas p=/n. ) Obtener una pieza correcta o defectuosa p=p(obtener pieza defectuosa) Función de masa { }, ; P( X = ) = p ; P( X = ) = p E(X) = p V(X)= p( p) p CAF = ; p( p) la simetría depende de p: es simétrica si p=.5. Ejemplo: ) Acertar la respuesta de una pregunta de test con 3 alternativas contestando al azar: Como p=/3, E(X)=/3. V(X)= ( ) = ; dt = = CAF = 3 =.7 > ( ) 3 3 (asimetría a la derecha) Bernoulli Distribution,8,,4,,5,5 Event prob.,
4 Estadística Tema 4 Curso /7 Modelo Tipo de eperimento Binomial B(n,p) X: número de éitos en n eperimentos de Bernouilli independientes (p: probabilidad de éito ) X: Número de respuestas acertadas en un eamen de preguntas de test, con 3 alternativas, contestando al azar. Ejemplos X ~ B(,/3) (n=, p=/3) Y: Número de piezas defectuosas en una partida de piezas, sabiendo que la probabilidad de obtener una pieza defectuosa es del %. Y ~ B(,.) (n=, p=.) Función de masa n r r =,,,..., n ; P( X = r) = p ( p) r n r E(X)= np V(X)= np( p) Simetría CAF = p np( p) ; la simetría depende de p: Binomial Distribution Binomial Distribution Binomial Distribution Event pro., Event pro.5, Event pro.8, p<.5, CAF>, p=.5, CAF=, p>.5, CAF<, asimetría a la derecha simétrica asimetría a la izquierda Otras propiedades Reproductividad de la binomial: Si X e Y son v.a. independientes tales que X B(n,p), Y B(m,p), entonces X+Y B(n+m,p) Ejemplo : X: Número de respuestas acertadas en un eamen de preguntas de test, con 3 alternativas, contestando al azar. Hallar la probabilidad de acertar 7 respuestas y de acertar 5 o más respuestas: 7 3 P( X = 7) =. 7 = 3 3 4
5 Estadística Tema 4 Curso / P( X 5) = = El número esperado de respuestas acertadas contestando al azar es E(X)= (/3)=3.33. Y la desviación típica: dt = V ( X ) = = Como p<.5, es asimétrica a la derecha: Binomial Distribution,3,5,,5,, Event prob.,tria,333333, Ejemplo : Sea Y: Número de piezas defectuosas en una partida de piezas, sabiendo que la probabilidad de obtener una pieza defectuosa es del %. Y ~ B(,.) (n=, p=.). Se quiere conocer el número esperado de piezas defectuosas si se reciben 5 partidas de piezas. Sea Z: Número de piezas defectuosas en 5 partidas de piezas, sabiendo que la probabilidad de obtener una pieza defectuosa es del %. Suponiendo que el número de piezas defectuosas en cada partida son independientes, tenemos que Z=Y +Y + +Y 5, siendo Y i ~ B(,.). Por la propiedad de reproductividad de la binomial: Z=Y +Y + +Y 5 ~ B(++++,.) ~ B(,.). Por tanto, el valor esperado es E(Z)=.= pieza. Si se quiere hallar la probabilidad de obtener más de una pieza defectuosa en las 5 partidas: 99 PZ ( > ) = PZ ( ) = ( PZ ( = ) + PZ ( = ) ) = (.99) + (.) (.99) =.74 PZ> ( ) =.. 5
6 Estadística Tema 4 Curso / Distribución geométrica. Modelo Tipo de eperimento Geométrica G(p) X: número de eperimentos de Bernouilli independientes realizados antes del primer éito (p: probabilidad de éito ) X: Número de tiradas de una moneda hasta que obtenemos una cara. Ejemplos X ~ G(.5) Y: Número de piezas revisadas hasta que aparece la primera defectuosa (probabilidad de pieza defectuosa, %) Y ~ G(.) Función de masa E(X) = p p r =,,,... ; P( X = r) = ( p) r p - p V(X) = p p CAF = > p asimetría a la derecha. Ejemplo: Y: Número de piezas revisadas antes de que aparezca la primera defectuosa. Y ~ G(.) Hallar la probabilidad de revisar piezas antes de que aparezca la primera pieza defectuosa y la probabilidad de revisar más de piezas antes de que aparezca la primera pieza defectuosa: ( ) ( ) PY= ( ) =.99. =. 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k.99 PY ( > ) = =..99 =..99 PY ( > ) =.3 El número medio de piezas revisadas hasta que aparece la primera defectuosa es: E(Y)= Y su desviación típica:. = 99 piezas... dt = V ( X ) = = 99.5 (.),,8,,4, Geometric Distribution 4 8 Event prob., En la gráfica se ve su asimetría a la derecha.
7 Estadística Tema 4 Curso / Distribución de Poisson. Modelo Poisson P(λ) X: número de éitos en un intervalo [a,b] (tiempo, espacio,... ) en alguna de las siguientes condiciones: Tipo de eperimento Proceso de Poisson: o Los sucesos ocurren de forma independiente (sin memoria : el número de eitos en un intervalo no influye en el número de éitos en el intervalo siguiente) o El número medio de éitos (λ) permanece estable n eperimentos de Bernouilli tales que: o n +, p (n 5, p.) o np permanece constante (λ=np ) Ejemplos X: Número de erratas por página de un libro (número medio de erratas: ) X ~ P() Y: Número de visitas a un sitio web en una hora (número medio de visitas: 8) X ~ P(8) Z: Número de días de lluvia en verano Podemos definir: Z i : llueve o no llueve en el día i-ésimo, Z i ~ B(,.5). Entonces, podríamos decir que Z=Z +Z + +Z 9 ~ B(9,.5) (por la reproductividad de la binomial) Tenemos n=9 5, p=.5., E(Z)=np=4.. Podemos considerar Z P(4.) Binomial Distribution, Event prob.,tria,,5,9 4,,,,,8,4,,8,4 3 3 Función de masa r =,,,... ; P( X = r) = e r λ λ r! E(X) = λ V(X) = λ CAF = > : asimetría a la derecha λ Según λ crece, se hace cada vez más simétrica 7
8 Estadística Tema 4 Curso / ,8,,4, Otras propiedades Reproductividad de la Poisson: Si X e Y son v.a. independientes tales que: X P(λ), Y P(μ), entonces X+Y P(λ+μ). Ejemplos: ) Y: Número de visitas a un sitio web en una hora. X ~ P(8) Hallar la probabilidad de que el sitio sea visitado por personas, y la probabilidad de que lo visiten menos de 8 personas en una hora: 8 8 PY ( = ) = e =.99. (λ=8)! 7 k 8 ( < 8) = ( = ) + ( = ) ( = 7) = =.45 k! PY PY PY PY e La esperanza es λ=8, y la desviación típica dt = V ( X ) = λ = 8 =.8 visitas. 8 El coeficiente de simetría CAF = =.35 >, que indica una 8 ligera asimetría a la derecha:,5,,9,, ) Dada una partida de piezas, tal que la probabilidad de ser defectuosa es del %, Hallar la probabilidad de encontrar eactamente piezas defectuosas Hallar la probabilidad de encontrar menos de 5 piezas defectuosas Si Z: Número de piezas defectuosas en una partida de piezas, el modelo que sigue dicha variable aleatoria es B(,.). Como n=>5 y p=.<., podemos considerar que Z P() (np=). Por tanto, ( = ) e =.5 PZ! 8
9 Estadística Tema 4 Curso /7 PZ< = PZ= + PZ= + + PZ= e = k! 4 k ( 5) ( ) ( )... ( 4).9 (Si se hacen los cálculos, considerando Z~B(,.), se obtiene: 99 PZ ( = ) = (.) (.99) = k k PZ ( < 5) = (.) (.99) =. 8.9 k Es recomendable para trabajar con la Poisson, pues para cantidadesmuy grandes de n y muy pequeñas de p, puede haber más errores de redondeos y las cuentas son más farragosas.) 3) Sabemos que el número medio de erratas por página en un libro es. Hallar la probabilidad de que un libro de páginas tenga más de erratas. Sea X: Número de erratas por página de un libro, de la que sabemos que X ~ P() Si el libro tiene páginas de teto, y definimos L: número de erratas del libro, tendremos L=X +X + +X, y por la reproductividad de la Poisson: L ~ P(++ +) ~ P(). La probabilidad de que el libro tenga más de erratas, sería: k ( > ) = P( Y ) = e k! =.95 PY. Ejercicio: Proponer un modelo de probabilidad para cada una de las siguientes v.a.: X: Número de ordenadores de una partida de que se estropean en el periodo de garantía, sabiendo que la probabilidad de que un ordenador esté estropeado es del %. X: Número de tiradas de un dado hasta que sale el primer X3: Resultado en un bombo del sorteo de la ONCE X4: Número de llamadas diarias que se hacen por teléfono móvil Encontrar un ejemplo de eperimento para cada modelo de distribución. 9
10 Estadística Tema 4 Curso /7 Ajuste de una variable estadística a un modelo teórico Objetivo: elegir un modelo encontrar los parámetros del modelo Medios: definición de la variable: qué mide? en qué condiciones? medidas descriptivas (media, varianza, simetrías, frecuencias,...) representaciones gráficas Verificación: Contrastes no paramétricos con Statgraphics (Distribution Fitting): p-valor >.3 para aceptar la hipótesis (cuanto mayor sea, con más confianza se acepta el modelo propuesto) Ejemplo: X4: Número de llamadas diarias que se hacen por teléfono móvil (Datos tomados en el curso 4/5) Como la variable mide número de eitos (llamadas) en un intervalo de tiempo (un día), eso nos hace pensar en un modelo de Poisson. Como E(X)=.5 y V(X)=.5, que son valores más o menos similares, sería posible un modelo de Poisson de parámetro λ=.5 (la media). (Con esos datos, sería menos posible un modelo binomial, pues en dicho modelo la varianza siempre es menor que la media) Observamos la representación gráfica del diagrama de barras (asimetría a la derecha) y lo comparamos con la distribución de probabilidad de la P(.5), y vemos que son similares. Diagrama de barras Función de masa de frecuencias relativas P(.5) Barchart for Llamadas diarias percentage Por tanto, la hipótesis que tendríamos que verificar es si X4~P(.5). Utilizando la opción de Statgraphics Describe/Distributios/Distribution Fitting, y seleccionando la opción del modelo Poisson, obtenemos: Goodness-of-Fit Tests for Llamadas diarias :
11 Estadística Tema 4 Curso /7 Fitted Poisson distribution: mean =.54 Chi-Square = with d.f. P-Value = Como p-valor=.75>.3, aceptamos que la variable número de llamadas diarias, puede tener una distribución de Poisson de parámetro λ=.5. Si consideramos la variable Y: Número de llamadas que se hacen por teléfono móvil en un fin de semana, considerando los datos del curso /7, tenemos lo siguiente: Como la variable mide número de eitos (llamadas) en un intervalo de tiempo (fin de semana), eso nos hace pensar en un modelo de Poisson. Como E(X)=5. y V(X)=3.5, que son valores muy dispares, esto nos indica que difícilmente sigue un modelo de Poisson. La representación gráfica del diagrama de barras y la de la distribución de probabilidad de la P(5), no se parecen. Por tanto, no es muy probable que siga un modelo de Poisson. Esto se corrobora utilizando la opción de Statgraphics Describe/Distributios/Distribution Fitting, y seleccionando la opción del modelo Poisson, obtenemos P-Value =,5775 <.3, por lo que rechazamos la idea de que la variable Y siga un modelo de Poisson. Piechart for Llamadas finde Llamadas finde frequency ,8,5,,9,, , Ejercicios: Con los datos recogidos en este curso,estudiar si siguen algún modelo de distribución las siguientes variables ( Nº de asignaturas matriculadas Nº de asignaturas aprobadas Nº de asignaturas aprobadas habiéndose matriculado de asignaturas Nº de asignaturas aprobadas habiéndose presentado a asignaturas
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