Variables aleatorias continuas

Transcripción

1 Variables aleatorias continuas

2 VARIABLE ALEATORIA UNIFORME

3 Definición Se dice que una variable X tiene una distribución uniforme en el intervalo [a;b] si la fdp de X es: 1 si a x b f(x)= b-a 0 en otro caso Demostrar que la FDA está dada por 0 si x < a x a F(x)= si a x b b a 1 si x > b

4 Representación gráfica variable aleatoria uniforme F(x) f(x) 1 b a 1 a b x a b x fdp FDA

5 Ejemplo Los trenes de cierta línea de subterráneos corren cada media hora entre la medianoche y las seis de la mañana. Cuál es la probabilidad de que un hombre que entra a la estación a una hora al azar, durante ese período tenga que esperar por lo menos 0 minutos? Cuál es la variable aleatoria y cuál es su distribución? La probabilidad sólo depende de la longitud del intervalo y no de la ubicación del mismo.

6 Características numéricas Demostrar que si X tiene distribución uniforme en [a;b], entonces: ( b-a ) a+b E(x)= V(x)= 1

7 Distribución exponencial Se utiliza generalmente cuando se miden tiempos de espera. Ejemplos de este tipo de distribuciones son: el tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse (datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14) o el tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente.

8 Distribución exponencial Se dice que X, que toma todos los valores no negativos, tiene una distribución exponencial, con parámetro α > 0 Si su fdp está dada por: α α α α =.0 = 1.0 = 0.5 = 0. f(x) - α e α x si x 0 = 0 si x <

9 Verificar que es una legítima fdp: α x b α x α e f ( x ) dx = α e dx = lím dx = α b b α x α e α x lím = lím e + 1 = 1 α b 0 b La FDA está dada por: F(x) 1 1 e αx si x 0 F(x) = 0 si x<0 Demostrar las características numéricas de la función exponencial: 1 1 E ( x ) = V ( x ) = α α x

10 Ejemplo La distribución de vida durante la cual cierta marca de computadora funciona eficazmente, es decir, el tiempo en horas, de duración hasta la primera falla, es exponencial con una vida media de 360 hs. Cuál es la probabilidad de que una computadora funcione eficazmente: a) Menos de 180 hs? b) Más de 70 hs?

11 c)si tres de tales computadoras son elegidas al azar para pruebas de duración. Cuál es la probabilidad de que una dure a lo sumo, 180 hs, otra dure entre 180 y 70 hs y otra, al menos 70 hs? d) Cuál es la probabilidad de que de tres computadoras, al menos dos funcionen eficazmente después de 70 hs?

12 Propiedad fundamental de la distribución exponencial La distribución exponencial no tiene memoria : Poseer información de que el elemento que consideramos ha sobrevivido un tiempo S (hasta el momento) no modifica la probabilidad de que sobreviva t unidades de tiempo más. La probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en un día, o en segundo) no depende del tiempo que lleve funcionando. Demostración

13 Distribución normal Pierre Simon de Laplace ( ) 187) Karl F. Gauss ( ) 1855) Sin duda la distribución continua de probabilidad más importante, por la frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas, es la distribución normal, gaussiana o de Laplace- Gauss. Fue descubierta y publicada por primera vez en 1733 por De Moivre. A la misma llegaron, de forma independiente, Laplace (181) y Gauss (1809), en relación con la teoría de los errores de observación astronómica y física.

14 Razones principales para su estudio 1) Numerosos fenómenos pueden aproximarse mediante esta distribución: Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie (tallas, pesos, diámetros, perímetros,...). Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen,... Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco. Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores ) Se usa para aproximar distribuciones de variables discretas: Como la binomial o la de Poisson se aproximan a la normal. Distribuciones binomiales con n >10 y (np > 5) y (n(1-p) > 5). 3) Proporciona la base de la inferencia estadística por su relación con el tlc

15 Distribución Normal Se dice que x que toma todos los valores reales, tiene una distribución normal, si su fdp está dada por: 1 x µ σ 1 f( x ) = e c o n - < x < σ π < µ < y σ > 0

16 ( ) Notación x N µ, σ su fdp está dada por 1 x µ σ 1 f(x ) = e c o n - < x < σ π < µ < y σ > 0 Ejercicio: verificar que es una fdp legítima. 1 x µ t σ e dx = e σ dt = σ π σ π 1 1 t 1 e d t π = = 1 π π n o s e p u e d e o b t e n e r d e f o r m a f in it a I n t e g r a l d e P o is s o n

17 Principales características de la distribución Normal Es una curva uniforme con ordenadas siempre positivas, definida para todo real x. Tiene forma de campana, es decir, es monótona creciente hacia ambos lados del máximo, y es asintótica al eje de las abscisas Es simétrica con respecto de la recta x=µ donde coinciden la mediana (Me) y la moda (Mo ). Para x = ±, el límite f(x) =0. La función tiene un máximo en x = µ. Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores µ ± σ. Verificar esta propiedad.

18 Características de la distribución Normal Puntos de inflexión σ σ µ - σ µ + σ µ, Mo, Me +

19 Distribución normal con µ =0 para varios valores σ σ=0.5 σ=0.5 σ=1 p(x) x

20 Curvas normales con distintas medias y desviaciones estándar σ=5 σ=5 σ =

21 N(µ, σ): Interpretación geométrica La media se puede interpretar como un factor de traslación. Y la desviación típica como un factor de escala, grado de dispersión,

22 Características numéricas Demostrar que: E ( x ) = µ y V ( x ) = σ