7. Distribución normal

Transcripción

1 7. Distribución normal Sin duda, la distribución continua de probabilidad más importante, por la frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas, es la distribución normal, gaussiana o de Laplace-Gauss. Fue descubierta y publicada por primera vez en 1733 por De Moivre. A la misma llegaron, de forma independiente, Laplace (181) y Gauss (1809), en relación con la teoría de los errores de observación astronómica y física. Anatoli Timoféyevich Fomenko Gaussian Distributions I and II 1

2 Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie (tallas, pesos, diámetros, perímetros,...). Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen,... Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco. Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la media. Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores. Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson se aproximan a la normal. Distribuciones binomiales con n grande (n >30) y p ni pequeño (np > 5) ni grande ( n (1-p) > 5 ).

3 Distribución normal o gaussiana Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la desviación típica, σ. Su función de densidad es: N(μ,σ) = P( x) = σ 1 π e ( μ) x σ (σ > 0) La curva normal adopta un número infinito de formas, determinadas por sus parámetros μ y σ. 3

4 Características de la distribución Normal Tiene forma de campana, es asintótica al eje de las abscisas (para x = ± ) Simétrica con respecto a la media (µ) donde coinciden la mediana (Mn) y la moda (Mo). Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores µ ± σ. Puntos de inflexión σ σ µ - σ µ + σ µ, Mo, Mn + 4

5 Distribución normal con µ =0 para varios valores σ 1.6 p(x) σ=0.5 σ=0.5 σ= x 5

6 N(μ,σ) = P( x) = σ 1 π e ( μ) x σ (σ > 0) σ = 5 σ = 5 =10 σ Curvas normales con distintas medias y desviaciones estándar. 6

7 N(μ, σ): Interpretación geométrica Podemos interpretar la media como un factor de traslación. Y la desviación típica como un factor de escala, grado de dispersión, 7

8 N(μ, σ): Interpretación probabilista Entre la media y una desviación típica tenemos siempre la misma probabilidad: aproximadamente el 68%. Entre la media y dos desviaciones típicas aprox. 95% Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están a distancia σ, tenemos probabilidad 68% a distancia σ, tenemos probabilidad 95% a distancia 5 σ tenemos probabilidad 99% 8

9 N(μ,σ) = P( x) = Podemos obtener la función de distribución F(x) integrando la función de densidad de probabilidad: σ 1 π e ( x μ) σ F( x) = σ 1 π x e ( v μ) σ dv De modo que la probabilidad de una variable aleatoria normal X en un intervalo a x b es: P( a En particular: X b) = σ F( b) ( v μ) 1 π e σ F( a) = dv = 1 σ 1 π b a e ( v μ) σ No podemos calcular analíticamente el valor de la integral! Tabularemos sus valores numéricos... dv 9

10 Cómo calcular probabilidades asociadas a una curva normal específica? Dado que tanto µ como σ pueden asumir infinitos valores, es impracticable tabular las probabilidades para todas las posibles distribuciones normales. Para solucionarlo, se utiliza la distribución normal reducida o tipificada. Se define una variable z = x - µ σ Es una traslación, y un cambio de escala de la variable original. 10

11 La nueva variable z se distribuye como una NORMAL con media µ = 0 y desviación típica σ = 1 Recordemos de nuevo que en cualquier distribución normal las probabilidades delimitadas entre : ± σ = 68 % ± σ = 95 % ± 3σ = 99 % 95% 68% 99% 68% 95% 99% z 11

12 Tipificación Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se denomina valor tipificado z, de una observación x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones típicas, es decir: z = x µ σ En el caso de variable X normal, la interpretación es clara: asigna a todo valor de N(μ, σ), un valor de N(0,1) que deja exáctamente la misma probabilidad por debajo. Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo. 1

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14 Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes y se asignará al que tenga mejor expediente académico: El estudiante A tiene una calificación de 8 en un sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(6,1). El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(70,10). No podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a los 80 de B, pero como ambas poblaciones se comportan de modo normal, podemos tipificar y observar las puntuaciones sobre una distribución de referencia N(0,1). Como z A > z B, podemos decir que el porcentaje de compañeros del mismo sistema de estudios que ha superado en calificación al estudiante A es mayor que el que ha superado B. En principio A es mejor candidato para la beca. z z A B = = x x A B µ σ A µ σ B A B = = 8 6 = = 1

15 Apliquemos el cambio de variable tipificada a la función de distribución F(x): F( x) = σ 1 π x e ( v μ) σ dv - μ z = ν σ dv = σ dz p( z) = F( z) = 1 π p( Z e z z) ; = < 1 π z z e < u du Las probabilidades de la variable tipificada (z) están tabuladas para los diferentes valores de la variable. Para calcular probabilidades, una vez transformada, la variable a valores de z, se busca en una tabla el área correspondiente. 15

16 p( z) = 1 π e z ; < z < Característica de la distribución normal tipificada (reducida o estándar): F( z) = p( Z z) = 1 π z e u du No depende de ningún parámetro. Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1. La curva f(x) es simétrica respecto al eje de ordenadas y tiene un máximo en este eje. Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z =

17 Hay varios tipos de tablas de la distribución normal La que se explica aquí representa las áreas para los diferentes valores de z desde 0 hasta +. Los valores negativos de z NO están tabulados, ya que la distribución es simétrica

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19 La tabla consta de: *Margen izquierdo : Los enteros de z y su primer decimal. * Margen superior: segundo decimal * Cuerpo de la tabla: áreas correspondientes, acumuladas, desde 0 hasta

20 EJEMPLOS: 1.- Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre 0 y -.03?.- Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre -.03 y +.03? 3. Hallar P( z >1.5 ) 4. Hallar P ( < z < ) 5. Hallar P ( 0.34 < z <.30 ) 0

21 Ejemplo 1 Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre 0 y -.03? Cómo la curva es simétrica P (-.03 < z < 0) = P (0 < z <.03)? z

22 Ejemplo 1 Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre 0 y -.03? Se busca en la tabla el área correspondiente a z = % z

23 Ejemplo Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre -.03 y.03? En el ejemplo 1, vimos que la probabilidad de que z estuviera entre 0 y.03 = La misma área hay entre 0 y -.03, por lo tanto P ( -.03< z<.03) = ? 95.76% 47.88% 47.88% z

24 Ejemplo 3 Cuál es la probabilidad de que un valor de z sea mayor a 1.5? 1.- La probabilidad de 0 < z < + = La probabilidad de 0 < z < 1.5 = La probabilidad de z > 1.5 = = % 39.44% 10.56% z ? 4

25 Ejemplo 4 Hallar P( < z < ) P(0 < z <0.34) = = P(-0.34 < z < 0) P (0 < z < ) = % P( < z < ) = = % 50% z

26 Ejemplo 5 Hallar P( 0.34 < z <.30) P(0< z <0.34) = P( 0 < z <.30) = P (0.34 < z <.30) = = % z 6

27 EJEMPLO Sea una variable distribuida normalmente con media µ = 4 y desviación típica σ = 1.5. Cuál es la probabilidad de encontrar un valor x 6 (P(x 6 ))? 7

28 µ = 4 σ = 1.5 Hallar P ( x > 6 ) 1.- transformar x en un valor de z z = (6-4)/1.5 = 1.33 z = x σ μ.- Hallar P ( 0 < z < 1.33) = = ? x z 8

29 Hasta ahora vimos como dado un valor x de la variable, hallar probabilidades transformando (estandarización) la variable en valores de x - µ z = σ Cómo hallar un valor de x, dada la probabilidad? Ejemplo: Sea una variable distribuida normalmente con µ =4 y σ =. Hallar el valor de x que deja por encima de él un 38.0% (0.380). Se debe desestandarizar : x = z σ + µ = Se busca en la tabla el valor más aproximado: corresponde a z = Sustituyendo en la fórmula = x =? 38.0% 9

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31 Nota: Cuando n > 0, np 5, y n(1-p) 5 la distribución binomial puede aproximarse por una normal con µ = np σ = np(1 p) 31

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34 En una empresa se ha visto que en un 10% de sus facturas se cometen errores y se desea calcular la probabilidad que de 100 facturas, 1 de ellas los contengan: µ = 100(.10) = 10 σ = np(1 p) = 3 z 1 z z z = = = = P(1) = = 0.105

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43 Calcular π con la aguja de Buffon 43

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