3. VARIABLES ALEATORIAS

Transcripción

1 . VARIABLES ALEATORIAS L as variables aleatorias se clasiican en discretas y continuas, dependiendo del número de valores que pueden asumir. Una variable aleatoria es discreta si sólo puede tomar una cantidad inita o ininita numerable de valores. Si por el contrario, la variable aleatoria puede tomar cualquier valor de un conjunto ininito no numerable, entonces la variable es continua. Desde luego, el análisis de una variable aleatoria discreta diiere del de una variable aleatoria continua. Esto se epresa a continuación.. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD. El comportamiento aleatorio de una variable aleatoria discreta se analiza a través de una unción de probabilidad. Deinición: Sea una variable aleatoria discreta, cuyo rango (conjunto de valores posibles) es el conjunto que denotamos por R. Se deine la unción de probabilidad de como: : R [,] tal que ( ) P( ) para todo valor R. Esto es, la unción de probabilidad de es una unción que asigna a cada valor de del rango de, la probabilidad de que la variable aleatoria lo asuma en la siguiente realización del eperimento. Ejemplo.. Supongamos que la variable aleatoria representa el número de automóviles que pasan por una caseta de peaje en un período de un día. El rango de la variable aleatoria es R {,,,...}; es decir, todos los enteros no negativos. Como el rango es un conjunto ininito numerable, la variable aleatoria es discreta. La unción de probabilidad de es la unción que determina para cada valor, la probabilidad de que ese valor sea el observado; es decir, ( ) P( ) es la probabilidad de que en un día no pase ningún carro por la caseta mencionada M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez UNAM-Facultad de Ingeniería

2 ( ) P( ) es la probabilidad de que en un día pase eactamente un automóvil por la caseta de peaje, etcétera... PROPIEDADES La unción de probabilidad de una variable aleatoria discreta tiene las siguientes propiedades: ) Sus valores están entre y ( ) R ) La suma de los valores de () cuando se consideran todos los valores del rango, es igual a uno. R ( ) ) La probabilidad de que la variable aleatoria presente alguno de los valores que pertenecen a un conjunto, es la suma de las probabilidades de los valores particulares. P ( ) ( ) Ejemplo... Considere el eperimento que consiste en lanzar un dado y observar el número de puntos que tiene en su cara superior. La variable aleatoria será el número de puntos en la cara superior del dado, después del lanzamiento. El rango de la variable aleatoria es R {,,,,5,6}. La unción de probabilidad de se muestra en la siguiente tabla: 5 6 () /6 /6 /6 /6 /6 /6 M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez UNAM-Facultad de Ingeniería

3 Es decir, ()P() P(el resultado del lanzamiento es ) /6 ()P() P(el resultado del lanzamiento es ) /6. La probabilidad de que el resultado esté entre y 5 es: P( 5) P() P() P() P(5) () () () (5) /6 /6 /6 /6 /6 P ( 5) 6. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD. Por la naturaleza de las variables aleatorias continuas, no es posible hacer su análisis a través de una unción de probabilidad como en el caso discreto, pero en su lugar se utiliza otra unción conocida como unción de probabilidad o simplemente de densidad. Deinición: Si es una variable aleatoria continua cuyos valores posibles son todos los números que pertenecen al conjunto R, se deine la unción de densidad de como la unción: : R R que cumple con las siguientes condiciones: ) La unción () no toma valores negativos. ( ) ) El área bajo la unción es uno. R R ( ) d ) La probabilidad de que la variable aleatoria presente un valor cualquiera dentro de un intervalo, es el área bajo la unción y sobre el intervalo. P ( ) ( ) d M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez UNAM-Facultad de Ingeniería

4 Ejemplo.. Si la variable aleatoria tiene unción de densidad ; ( ) ; en otro caso se puede observar que, gráicamente, () tiene la orma: El área bajo la curva es A d A Y la probabilidad de que esté entre y.5 es:.5 P(.5) d 6 P(.5) M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez UNAM-Facultad de Ingeniería

5 Es muy común que en un eperimento nos interesemos por la probabilidad de que la variable aleatoria asuma, más que un valor particular, un valor cualquiera en un rango, o bien, por identiicar aquellos puntos o intervalos en los que se acumula mayor probabilidad. Es por ésta razón que se deine una unción, la unción de distribución (acumulativa) de una variable aleatoria. La unción de distribución de una variable aleatoria releja la orma en que se acumula la probabilidad a lo largo del rango de la variable aleatoria.. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Deinición: Si es una variable aleatoria se deine a la unción de distribución de como la unción que se denota por F () y que asigna a cada valor R, la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual a dicha. Esto es, F ( ) P ( ) El cálculo de F ( ) se realiza de la siguiente manera: Si es discreta, F ( ) () Si es continua F ( ) a () d pequeño que podría asumir la variable aleatoria... PROPIEDADES Esta unción de distribución tiene las siguientes propiedades:, en donde a es el valor más M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez UNAM-Facultad de Ingeniería 5

6 . Dado que es una probabilidad, solamente puede tomar valores entre cero y uno, es decir, F ( ) R. Para el mayor valor del rango de, la unción de distribución toma el valor de uno, F ( ). Para el menor valor del rango de, la unción de distribución toma el valor de cero, F ( - ). La unción F ( ) es una unción no decreciente, escalonada si la variable es discreta o creciente si es continua. 5. Permite calcular ácilmente la probabilidad de que esté en el intervalo semi abierto (a, b] como P (a < b ) F ( b ) - F ( a ) Ejemplo... Sea una variable aleatoria con unción de probabilidad la que se muestra en la tabla. Construya la unción de distribución de, y utilícela para calcular la probabilidad de que sea mayor que y menor o igual que.5 Resolución: () F ( -5 ) P ( -5) P( -5). F ( - ) P ( -) P( -5) P( -)... F ( ) P ( ) P( -5) P( -) P( )....5 F (.5 )P(.5)P( -5)P( -)P( )P(.5) F ( ) P(.5)P( -5)P( -)P( )P(.5)P() M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez UNAM-Facultad de Ingeniería 6

7 Para mayor acilidad se puede mostrar la unción de distribución en una tabla, junto con la unción de probabilidad, () F ()...5. Por lo tanto, P(- <.5 ) F (.5) - F (-)...59 Hagamos un ejemplo más. Ejemplo... La comisión por ventas que una empresa orece a sus agentes crece dependiendo de los rangos de ventas individuales, la tasa de crecimiento es una variable aleatoria que tiene unción de densidad () c ; c ; < ; en otro caso. en donde c es una constante. Calcule la probabilidad de que para un agente en particular el crecimiento en sus comisiones esté entre.5 y.. M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez UNAM-Facultad de Ingeniería 7

8 Resolución Lo primero que debemos hacer es determinar el valor de la constante c de manera que la unción () planteada sea realmente una unción de densidad. La primera condición que debe cumplir la unción es ser positiva para todo valor de. Para ello, en esta unción, basta con que c>. La segunda condición que debe cumplir es integrar uno. Veamos: c c c d c d c por lo tanto, la unción de densidad de la variable aleatoria es () ; ; ; < en otro caso. La gráica de la unción de densidad es la siguiente, c Construyamos ahora la unción de distribución de : Si < Si < < M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez UNAM-Facultad de Ingeniería

9 M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez UNAM-Facultad de Ingeniería 9 Si <, F () dy y Si < <, F () y y dy y dy y Por lo tanto, > < <. ; ; ; ; () P(.5 < <.) F (.) - F (.5) ( ) ( ) PARÁMETROS DE LAS DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS. Con el in de lograr una mejor descripción de una variable aleatoria es necesario utilizar características numéricas, las características numéricas de una variable aleatoria se pueden clasiicar en: - Medidas de tendencia central - Medidas de dispersión - Parámetros de orma

10 .. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las medidas de tendencia central son importantes ya que serán utilizadas como valores representativos de dicha variable. Dependiendo de la naturaleza del eperimento será más recomendable alguna de ellas. Las tres medidas de tendencia central más importantes son: ) MODA: Es aquel valor en el rango de la variable aleatoria para el cual la unción de probabilidad o de densidad, según sea el caso, alcanza su máimo. ) MEDIANA: La mediana es el valor ~ de la variable aleatoria para el cual la unción de distribución vale.5. Desde luego, es el valor en la rango de la variable aleatoria que divide el rango en dos conjuntos con igual probabilidad; esto es, ~ es tal que: F ( ~ ).5 ) VALOR ESPERADO (MEDIA): El valor esperado de una variable aleatoria, también conocido como media o esperanza matemática, se puede interpretar como el valor que en promedio tomaría una variable aleatoria en un número grande de repeticiones del eperimento, aunque también se puede interpretar como el valor que cabe esperar que tome la variable aleatoria en la siguiente realización del eperimento. El valor esperado de una variable aleatoria se deine como sigue: a. Si es discreta E ( ) µ ( ) b. Si es continua: E( ) µ ( ) d Ejemplo... Calcule el valor esperado de la variable aleatoria con unción de densidad: M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez UNAM-Facultad de Ingeniería

11 Resolución: ; 9 ( ) ; 9 ; en otro caso E( ) ( ) d d E ( ) µ 5 Veamos qué pasa en el caso discreto. d (9) 5(9) 5 Ejemplo... Si la variable aleatoria tiene la distribución que se muestra en la tabla. Calcule la media, mediana y moda de. Resolución: -5 () Construyamos primero la unción de distribución de La media µ es: E( ) µ () F () E( ) µ 5(.5) (.) (.) (.7) (.) (.) La mediana ~ es el valor para el cual F ( ~ ).5 Como F ().7 <.5 M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez UNAM-Facultad de Ingeniería

12 y F (). >.5 Entonces ~ Para obtener la moda, observemos que el máimo valor de () es. y se alcanza cuando, entonces: moda m... VALOR ESPERADO Deinición: Si g() es una unción de la variable aleatoria, se deine el valor esperado de g() como: E[ g( )] g( ) g( ) ( ) ( ) d si si es discreta es continua Vale la pena mencionar que el valor esperado es un operador lineal; es decir, tiene las siguientes propiedades: ) Si c es una constante, E(c)c ) Si c es una constante, E(c)cE() ) Si g() es una unción de y h() es otra unción de la misma variable aleatoria, entonces: E[g()h()]E[g()]E[h()].. MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de dispersión se pueden utilizar como herramientas para medir la validez de la media µ como representativa de la variable aleatoria, ya que muestran qué tanto cercanos están, en promedio, los valores de, de µ. Las principales medidas de dispersión se tratan a continuación. M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez UNAM-Facultad de Ingeniería

13 ) VARIANZA Deinición Si es una variable aleatoria, se deine su varianza como: Por tanto, si es discreta: Var() σ E[(-µ) ] Si es continua: Var ( ) ( ) σ µ ( ) Var( ) σ ( µ ) ( ) d Pues bien, si se desarrolla el cuadrado de la deinición de σ, se obtiene una orma muchas veces más sencilla de calcular a la varianza. Var ( ) σ E[( µ ) ] E( ) µ en donde: E[ y µ es el cuadrado de E(). ] ( ) ( ) d si si es discreta es continua La varianza de una variable aleatoria tiene las siguientes propiedades: ) Si c es una constante, Var(c) ) Si c es una constante Var(c)c Var() Sin embargo, aunque la varianza es una medida de dispersión, es diícil interpretarla ya que sus unidades son cuadráticas, por ser el promedio de valores elevado al cuadrado. Ésta diicultad se puede sortear tomando la raíz cuadrada de la varianza. ) DESVIACIÓN ESTÁNDAR Deinición Si es una variable aleatoria se deine su desviación estándar como la raíz cuadrada de la varianza; es decir: M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez UNAM-Facultad de Ingeniería

14 σ Var() ) COEFICIENTE DE VARIACIÓN Deinición Sea una variable aleatoria. Se deine su coeiciente de variación como: σ C. V.( ) µ Mide la variación promedio de la variable aleatoria alrededor de la media µ, como una proporción de la misma µ. Por lo tanto, es una medida adimensional. Ejemplo... Cuál es la variabilidad que tiene el número de hijos varones en una amilia de hijos?. Resolución: Sea V la variable aleatoria que representa el número de hijos varones en una amilia de hijos. La unción de probabilidad de es: E()µ Entonces; R {,,.,} () / / / / ( ) M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez UNAM-Facultad de Ingeniería

15 Var ( ) E ( ) µ () () σ ( ) () () Por lo tanto, la desviación estándar es σ σ Var( ) ; es decir, la dispersión alrededor de la media es, en promedio, / hijos. Esto es: / C. V.( ) / Qué otras características tiene la distribución de la variable aleatoria? Es simétrica? Veamos algunos parámetros de orma... PARÁMETROS DE FORMA ) COEFICIENTE DE SESGO El coeiciente de sesgo es una medida del grado de asimetría de la distribución de la variable aleatoria. Deinición. Sea es una variable aleatoria. Se deine su coeiciente de sesgo como: a ( ) E[( µ ) ] σ El coeiciente de sesgo se compara contra el cero para decidir acerca de la asimetría de la distribución. M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez UNAM-Facultad de Ingeniería 5

16 a( ) > < La distribución es simétrica La distribución tiene sesgo positivo La distribución tiene sesgo negativo Distribución simétrica Distribución con sesgo positivo Distribución con sesgo negativo ) COEFICIENTE DE CURTOSIS El coeiciente de curtosis de una variable aleatoria es una medida del grado de apuntamiento de la distribución. Deinición. Si es una variable aleatoria, se deine su coeiciente de curtosis como: E[( µ ) ] k ( ) σ El coeiciente de curtosis se compara contra el número que es el coeiciente de curtosis de una distribución normal estándar. Si k() es mayor que signiica que la distribución es más alta que la normal estándar. Esto es: M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez UNAM-Facultad de Ingeniería 6

17 k( ) > < La distribución es mesocúrtica La distribución es leptocúrtica La distribución es platicúrtica Distribución mesocúrtica Distribución leptocúrtica Distribución platicúrtica M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez UNAM-Facultad de Ingeniería 7